高三数学专题复习直线与圆锥曲线

（21）（本小题满分12分）

x2y2如图，已知椭圆221(ab0)的离心率

ab为

yACF1P2，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F1,F2 2B为顶点的三角形的周长为4(21)，一等轴双曲线 的顶点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上异于项点 的任一点，直线PF2与椭圆的交点分别为A、 1和PFB和C、D.

（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；

oDF2x （Ⅱ）设直线PF2的斜率分别为k1、k2，证明：k1k21； 1、PF （Ⅲ）是否存在常数，使得ABCDABCD恒成立？若存在，求的值；

若不存在，请说明理由.

22．（本小题满分14分）

x2y21交于Px1,y1、已知动直线l与椭圆C: Qx2,y2两不同点，且△OPQ32的面积SOPQ=6,其中O为坐标原点. 2（Ⅰ）证明x12x22和y12y22均为定值;

（Ⅱ）设线段PQ的中点为M，求|OM||PQ|的最大值；

（Ⅲ）椭圆C上是否存在点D,E,G，使得SODESODGSOEG△DEG的形状；若不存在，请说明理由.

(21)（本小题满分13分）

6?若存在，判断2在平面直角坐标系xOy中，F是抛物线C: x22py(p＞0)的焦点，M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点，过M,F,O三点的圆的圆心为Q,点Q到抛物线C的准线的距离为

3. 4(Ⅰ)求抛物线C方程;

(Ⅱ)是否存在点M,使得直线MQ与抛物线C相切与点M ?若存在,求出点M的坐标;若

不存在,说明理由;

(Ⅲ)若点M的横坐标为2,直线l:ykx圆Q有两个不同的交点D,E,求当

1 与抛物线C有两个不同的交点A,B,l与4122≤k≤2时，ABDE的最小值. 2

2013山东理科

x2y2322、椭圆C:221(ab0)的左、右焦点分别是F1,F2,离心率为错误！未找到

ab21引用源。，过F1,且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

PM（Ⅱ）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1,PF2,设F1PF2的角平分线

交C的长轴于点M(m,0)，求m的取值范围；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点.设直线PF1,PF2 的斜率分别为k1,k2，若k0，试证明

11为定值，并求出这个kk1kk2定值.

一、直线与圆锥曲线的位置关系

判定直线与圆锥曲线的位置关系时，通常是将直线方程与曲线方程联立，消去变量y(或x)得变量x(或y)的方程：

ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．

若a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有： Δ>0⇔直线与圆锥曲线 ； Δ＝0⇔直线与圆锥曲线 ； Δ<0⇔直线与圆锥曲线 ．

若a＝0，则直线与圆锥曲线相交，且有一个交点． 二、弦长公式 [疑难关注]

1．直线与圆锥曲线的位置关系，主要涉及弦长、弦中点、对称、参数的取值范围、求曲线方程等问题．解题中要充分重视根与系数的关系和判别式的应用．

2．当直线与圆锥曲线相交时：涉及弦长问题，常用“根与系数的关系”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)；涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化．同时还应充分挖掘题目中的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍．解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”．

x2y2

1．(课本习题改编)直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系是( )

94

A．相交 B．相切

C．相离 D．不确定

2．(2013年泉州质检)“直线与双曲线相切”是“直线与双曲线只有一个公共点”的( ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

3．(2013年台州模拟)已知过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F且倾斜角为60°的直线l与|AF|抛物线在第一、四象限分别交于A，B两点，则的值为( )

|BF|

A．5 C．3

B．4 D．2

4．(课本习题改编)已知直线l过抛物线y2＝4x的焦点，且被抛物线截得的弦AB的长为8，则弦AB的中点到y轴的距离为________．

x2y2

5．(2013年东北四市联考)已知F1、F2为椭圆＋＝1的两个焦点，过F1的直线交椭

259圆于A、B两点．若|F2A|＋|F2B|＝12，则|AB|＝________.

考向一 直线与圆锥曲线的位置关系

x2y2

[例1] (2012年高考安徽卷)如图，点F1(－c,0)，F2(c,0)分别是椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)

ab的左、右焦点，过点F1作x轴的垂线交椭圆C的上半部分于点P，过点F2作直线PF2的垂a2

线交直线x＝于点Q.

c

(1)如果点Q的坐标是(4,4)，求此时椭圆C的方程； (2)证明：直线PQ与椭圆C只有一个交点．

x2y2

1．(2012年高考广东卷)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：2＋2＝1(a>b>0)的

ab

左焦点为F1(－1,0)，且点P(0,1)在C1上．

(1)求椭圆C1的方程；

(2)设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2：y2＝4x相切，求直线l的方程． 考向二 相交弦问题

[例2] 设过原点的直线l与抛物线y2＝4(x－1)交于A，B两点，且以AB为直径的圆恰好过抛物线焦点F.求： (1)直线l的方程； (2)|AB|的长．

本例中将“以AB为直径的圆恰好过抛物线焦点F”改为“AB的中点为(2,3)”，求l的方程． 考向三 定点、定值的探索与证明

[例3] (2012年高考湖南卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1上的点均在圆C2：(x－5)2＋y2＝9外，且对C1上任意一点M，M到直线x＝－2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值．

(1)求曲线C1的方程；

(2)设P(x0，y0)(y0≠±3)为圆C2外一点，过P作圆C2的两条切线，分别与曲线C1相交于点A，B和C，D，

证明：当P在直线x＝－4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值．

2．(2012年高考福建卷)如图，等边三角形OAB的边长为83，且其三个顶点均在抛物线E：x2＝2py(p>0)上． (1)求抛物线E的方程；

(2)设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y＝－1相交于点Q，证明以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点．

【答题模板】 圆锥曲线最值问题的解题策略

x2y23

【典例】 (13分)如图，椭圆M：2＋2＝1(a>b>0)的离心率为，直线x＝±a和y＝±b

ab2所围成的矩形ABCD的面积为8.

(1)求椭圆M的标准方程；

(2)设直线l：y＝x＋m(m∈R)与椭圆M有两个不同的交点P，Q，l与矩形ABCD有两个|PQ|

不同的交点S，T，求的最大值及取得最大值时m的值．

|ST|

1．(2012年高考北京卷)在直角坐标系xOy中，直线l过抛物线y2＝4x的焦点F，且与该抛物线相交于A，B两点．其中点A在x轴上方，若直线l的倾斜角为60°，则△OAF的面积为________．

x2y2

2．(2012年高考福建卷)如图，椭圆E：2＋2＝1(a>b>0)的左焦点为F1，右焦点为F2，

ab1

离心率e＝.过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8.

2

(1)求椭圆E的方程．

(2)设动直线l：y＝kx＋m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x＝4相交于点Q.试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M

的坐标；若不存在，说明理由

一、选择题

x2y2

1．(2013年揭阳模拟)过点P(4,4)且与双曲线－＝1只有一个公共点的直线有( )

169A．1条 C．3条

B．2条 D．4条

x2y2

2．(2013年海口模拟)若AB是过椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)中心的一条弦，M是椭圆上任

ab意一点，且AM、BM与两坐标轴均不平行，kAM，kBM分别表示直线AM、BM的斜率，则kAM·kBM＝( )

c2

A．－2

ac2

C．－2

b

b2

B．－2

aa2

D．－2

b

3．设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则

直线l的斜率的取值范围是( )

11－， A.22C．[－1,1]

B．[－2,2] D．[－4,4]

|4－x2|仅有三个交点，

114．(2013年福州模拟)已知直线l：y＝x＋m与曲线C：y＝ 22则实数m的取值范围是( )

A．(－2，2) C．(1，2)

B．(－2，2) D．(1，3)

x2y2

5．(2013年衡水模拟)已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)，F(c,0)是它的右焦点，经过坐标

ab→→→→→→

原点O的直线l与椭圆相交于A，B两点，且FA·FB＝0，|OA－OB|＝2|OA－OF|，则椭圆的离心率为( )

A.2 C.2－1 二、填空题

x22

6．(2013年浙江五校联考)已知F1为椭圆C：＋y＝1的左焦点，直线l：y＝x－1与

2椭圆C交于A、B两点，则|F1A|＋|F1B|的值为________．

7．已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(0，－1)，直线l与抛物线C相交于A，B两点．若AB的中点为(2，－2)，则直线l的方程为________．

3→→，－1作抛物线y＝ax2的两条切线PA，PB(A，B为切点)，若PA·8．过点PPB＝0，2则a＝________.

x2y2

9．(2013年洛阳模拟)已知双曲线－＝1的离心率为p，焦点为F的抛物线y2＝2px

412p|AF|

与直线y＝k(x－)交于A，B两点，且＝p，则k的值为________．

2|FB|

三、解答题

10．(2013年郑州模拟)已知圆C：(x＋3)2＋y2＝16，点A(3，0)，Q是圆上一动点，AQ的垂直平分线交CQ于点M，设点M的轨迹为E.

(1)求轨迹E的方程；

B.3 D.3－1

(2)过点P(1,0)的直线l交轨迹E于两个不同的点A，B，△AOB(O是坐标原点)的面积S4

＝，求直线AB的方程． 5

x22

11．已知椭圆C：2＋y＝1(a>1)的上顶点为A，右焦点为F，直线AF与圆M：(x－3)2

a＋(y－1)2＝3相切．

(1)求椭圆C的方程；

→→

(2)若不过点A的动直线l与椭圆C交于P，Q两点，且AP·AQ＝0. 求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．

12．(能力提升)(2012年高考北京卷)已知曲线C：(5－m)x2＋(m－2)y2＝8(m∈R)． (1)若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，求m的取值范围；

(2)设m＝4，曲线C与y轴的交点为A，B(点A位于点B的上方)，直线y＝kx＋4与曲线C交于不同的两点M，N，直线y＝1与直线BM交于点G，求证：A，G，N三点共线．

x2y2b22b2=1,即解: （Ⅰ）当xc代入椭圆方程C:221,得y,由题意知aabaa2b2.

x23c所以e,a2,b1.所以, 椭圆方程C:y21.

42a（Ⅱ）设P(x0,y0),当0x02时,

①当x03时,直线PF2的斜率不存在,易知P(3,)或P(3,). 若P(3,),直线PF1的方程为x43y30.由题意得121212|m+3|3m, 7由于3m3,所以m33. 4若P(3,),同理可得m1233. 4②当x03时,设直线PF1,PF2的方程分别为yk1(x3),yk2(x3).

1k12(m3)2|mk13k1||mk23k2|由题意得,整理得. 2221(m3)1+k11+k212k21又∵x204y2且ky0y001,1x,k2x, 0303∴(m3)24(x203)24x20(3x04)23x04(m3)24(x222m33x2,即03)4x0(04)m33x,

04又∵3m3,0x02,且x03, ∴m33x04(m3)(3x.整理得m3x033304)4,所以0m2,且m4. 综合①②可得, 0m32. 当-2x300时,同理可求得-2m0. 综上所述, m的取值范围是(-332,2).

(Ⅲ)设P(x0,y0)(y00),则直线l的方程为yy0k(xx0),

x2由

y21.整理4yy0k(xx0).(14k2)x28(ky0k2x0)x4(y2202ky0k2x01)0.

由题意=0,(4x220)k2x0y0k1y200.

又∵x204y201, ∴16y20k28x0y0kx200,可得kx04y. 0由（Ⅱ）知k0y012x01yx2103,kx03,k1k2y, 0∴

1kk11k(1k1)4y02x08, 1kk21k2x0y0∴1kk1为定值，这个定值为8. 1kk2

得