最值问题1代数式的最值

代数式的最值

典例分析

【例1】 若x0，则23x

4的最小值是_________． x

【例2】 设a、bR，则ab3，则2a2b的最小值是_________．

【例3】 若a、bR，且ab1，则ab的最大值是 ．

- 1 -

1a【例4】 已知不等式xy≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为（ ）

xyA．8

B．6 C．4 D．2

【例5】 当x___时，函数yx2(2x2)有最 值，其值是 ．

【例6】 正数a、b满足

【例7】 若x、yR*且x4y1，则xy的最大值是_____________．

- 2 -

a19，则a的最小值是 ．

bby2【例8】 设x≥0,y≥0，x1，则x1y2的最大值为 ．

2

211【例9】 已知x0，y0，xy1，则11的最小值为

xy

【例10】 设ab0，那么a2A．2

- 3 -

1的最小值为（ ）

b(ab) B．3 C．4 D．5

【例11】 设x2y21，则1xy1xy的最大值是 最小值是 ．

【例12】 已知

232x0，y0，则xy的最小值是 ． xy

【例13】 已知x2y2a,m2n2b,其中x,y,m,n0，且ab，求mxny的最大值．

11【例14】 a0,b0,ab4,求ab的最小值．

ab22

y2【例15】 设x，y，z为正实数，满足x2y3z0，则的最小值是 ．

xz

- 4 -

【例16】 已知x、yR，且2x5y20，当x ，y 时，xy有最大值为 ．

【例17】 若a、bR，且ab1，则ab的最大值是 ，此时a ，b ．

【例18】 求函数yx210x92的最小值．

【例19】 将边长为1m的正三角形薄铁皮沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记

梯形的周长s梯形的面积2，则s的最小值是 ．

- 5 -

x2x3【例20】 设实数x，y满足3≤xy≤8，4≤≤9，则4的最大值是 ．

yy

2【例21】 求函数yx

1x3的最小值．

【例22】 求函数f(x)x2x1112的最小值． xx

【例23】 已知x≥3，求yx

- 6 -

4的最小值． x

【例24】 求函数yx25x42的最小值．

【例25】 函数f(x)9x9x2(3x3x)的最小值为（ ）

A．1

【例26】 ⑴求函数yx2

B．2

C．3

D．2

4的最小值，并求出取得最小值时的x值． 2x16x21⑵求y2的最大值．

x4

- 7 -

ax2x1【例27】 ⑴求函数y（x1且a0）的最小值．

x13⑵求函数y12x的取值范围．

x

【例28】 ⑴求函数yx2(2x2)的最大值．

⑵求yx242的最小值．

2x1x210⑶求函数y的最值．

2x9

【例29】 ⑴已知x51，求函数y14x的最小值．

54x43⑵求函数y12x的取值范围．

x22⑶求函数yx(2x)的最大值．

- 8 -

a2b2(ab)2【例30】 ⑴已知a，，指出等号成立的条b是正常数，ab，x，y(0，)，求证：≥xyxy件；

⑵利用⑴的结论求函数f(x)

【例31】 分别求g(x)x23x

291（x(0，)）的最小值，指出取最小值时x的值． x12x213132和2(x0)f(x)x3x2(x0)的最小值．

x2xx2xx43x23【例32】 求函数y的最小值．

x21

【例33】 函数fxA．

x的最大值为（ ） x11 B．

22 5C．2 2 D．1

- 9 -

【例34】 设函数f(x)2xA．有最大值

11(x0)，则f(x)（ ） x B．有最小值 C．是增函数

D．是减函数

【例35】 设Sx2y22(xy)，其中x，y满足log2xlog2y1，则S的最小值为 ．

【例36】 设a0，b0，若3是3a与3b的等比中项，则

A．8 B．4 C．1 D．

【例37】 已知：x0，求4x211

的最小值为（ ） ab

1 43的最小值． x

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【例38】 已知：x,y,z0,xyz1，求

【例39】 已知a、b、cR且abc1，求4a14b14c1的最大值．

149的最小值． xyz

11π【例40】 求y11的最小值0a． 2sinacosa

【例41】 若a0,b0，且ab2，求a2b2的最小值．

【例42】 已知a0,b0，ab1，求证：a11b≤2． 22

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【例43】 已知给定正数a，b和未知数x，y，且x0，y0，满足ab10，

ab1，xy的最小值为18，求a，b的值．

【例44】 若a，bR，且ab1ab，分别求ab和ab的最小值．

【例45】 若a是12b与12b的等比中项，则

2aba2b的最大值为（ A．

2515 B．2524 C．5 D．2

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xy

）