集合之间的基本关系知识题型分类总结

一、 Venn图（韦恩图）

(1)定义：在数学中，经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图，这种表示集合的方法叫做图示法. (2)适用范围：元素个数较少的集合. (3)使用方法：把元素写在封闭曲线的内部.

二、子集的概念

集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集，记作A⊆B或B⊇A

用韦恩图表示为

三、 集合相等

如果集合A是集合B的子集(A⊆B)，且集合B是集合A的子集(B⊆A)，此时，集合A与集合B中的元素是一样的，因此，集合A与集合B相等，记作A＝B.

四、 真子集的概念

如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，称集合A是集合B的真子集，A真包含于B,记为A⊊B

五、 空集

(1)定义：不含任何元素的集合叫做空集. (2)用符号表示为：∅.

(3)规定：空集是任何集合的子集.，空集示任何非空集合的真子集

六、 子集的有关性质

(1)任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A.

(2)对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么A⊆C.

题型分类

题型一 有限集合的子集确定问题

已知集合A中有n个元素，则A的子集有𝟐n个，非空子集有𝟐n-1个，非空真子集有𝟐n-2个

例1 写出集合{a，b，c，d}的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集；

变式练习1 已知集合M满足{2,3}⊆M⊆{1,2,3,4,5}，求集合M及其子集个数.

2.集合𝐴={𝑥∈𝑁|−1<𝑥<4}的真子集个数为(

)

A. 7 B. 8 C. 15 D. 16

3.已知集合𝐴={𝑥|𝑎𝑥2+2𝑥+1=0}，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值是( )

A. 1 A. 4

B. −1 B. 3

C. 0或1

C. 2

D. −1，0或1

)

4.已知集合𝑆={1,2}，设S的真子集有m个，则𝑚=(

D. 1

题型二 集合间关系的判定

1．用适当的符号填空： （1）2__________xx24x40； （2）x3x4__________x62x8.

2．判断下列两个对象的关系：

（1）0与； （2）(a,b)与(b,a)； （3）与； （4）0与.

例2 指出下列各对集合之间的关系：

(1)A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}； (2)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}； (3)A＝{x|－1＜x＜4}，B＝{x|x－5＜0}；

(4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}.

141

例3：已知集合A＝{x|x＝(2k＋1)，k∈Z}，B＝{x|x＝k±，k∈Z}，则集合A，

999

B之间的关系为( )

题型三 集合相等

例4 已知M＝{2，a，b}，N＝{2a,2，b2}，若M＝N，求a与b的值.

变式练习1：设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝{0，，b}，则b－a等于( )

2.已知集合𝐴={0,1，𝑥}，𝐵={𝑥2,y，−1}，若𝐴=𝐵，则𝑦=________．

ba题型四 由集合间的关系求参数范围问题

例5 已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1＜x＜m＋1}，且B⊆A，求实数m的取值范围.

变式练习1已知集合A＝{x|1≤x≤2}，集合B＝{x|1≤x≤a，a≥1}. (1)若AÜB，求a的取值范围； (2)若B⊆A，求a的取值范围.

例6：设M＝{x|x2－2x－3＝0}，N＝{x|ax－1＝0}，若N⊆M，求所有满足条件的

a的取值集合.

变式练习2 设集合A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，a∈R}，若B⊆A，求实数a的取值范围.

3.若集合Mxx2x60,Nxax10，且NM，求实数a的值.

4.已知集合Ax2x5，Bxm1x2m1 （1）若BA，求实数m的取值范围； （2）若AB，求实数m的取值范围.

5．（1）已知集合 A={x|a+1£x£2a-1},B={x|-2£x£5}，且AB，则a的取值范围是___________； （2）已知集合Axx__________.

240，集合Bxax1，若BA，则实数a的值是

6.已知集合A={x|x²-4=0}，集合B={x|ax-2=0}，若B⊆A，求实数a的取值集合．

7.已知集合A={x|1≤x≤2}，B={x|1≤x≤a，a≥1}． （1）若A⊊B，求a的取值范围； （2）若B⊆A，求a的取值范围．

课后练习

1.集合A＝{x|0≤x＜3，x∈N}的真子集的个数为( ) A.4 B.7 C.8 D.16

2.设集合M＝{x|x＞－2}，则下列选项正确的是( ) A.{0}⊆M B.{0}∈M C.∅∈M D.0⊆M

3.已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0k1k1

4.若集合M＝{x|x＝＋，k∈Z}，集合N＝{x|x＝＋，k∈Z}，则( )

2442A.M＝N C.MÜN

B.M⊆N D.以上均不对

5.已知集合M＝{y|y＝x2－2x－1，x∈R}，集合N＝{x|－2≤x≤4}，则集合M与

N之间的关系是( )

6.若集合A＝{1,3，x}，B＝{x2,1}，且B⊆A，则满足条件的实数x的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4

8.设集合M＝{x|2x2－5x－3＝0}，集合N＝{x|mx＝1}，若N⊆M，则实数m 的取值集合为________.

9.设A＝{x|110.已知集合A＝{x|x＜－1，或x＞4}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若B⊆A，求实数

a的取值范围.

课后检测

一、选择题

1.在下列关系中错误的个数是( )

①1∈{0,1,2}； ②{1}∈{0,1,2}； ③{0,1,2}⊆{0,1,2}； ④{0,1,2}＝{2,0,1}； ⑤{0,1}⊆{(0,1)}；

A.1 B.2 C.3 D.4 141

2.已知集合A＝{x|x＝(2k＋1)，k∈Z}，B＝{x|x＝k±，k∈Z}，则集合A，B999之间的关系为( )

A.AÜB B.BÜA C.A＝B D.A≠B

3.已知集合A＝{x|x是三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}，C＝{x|x是等腰直角三角形}，D＝{x|x是等边三角形}，则( )

A.A⊆B B.C⊆B C.D⊆C

4.设集合A＝{－1,1}，集合B＝{x|x2－2ax＋b＝0}，若B≠，B⊆A，则(a，

D.A⊆D

b)不能是( )

A.(－1,1) B.(－1,0) C.(0，－1)

D.(1,1)

5.设B＝{1,2}，A＝{x|x⊆B}，则A与B的关系是( )

A.A⊆B B.B⊆A C.B∈A D.A＝B

二、填空题

6.若集合A＝{x|2≤x≤3}，集合B＝{x|ax－2＝0，a∈Z}，且B⊆A，则实数a＝________.

三、解答题

1.已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0A⊆C⊆B的集合C.

2.已知集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0}的子集只有两个，求实数a的值.

3.已知集合A＝{1,3，－x3}，B＝{x＋2,1}，是否存在实数x，使得B是A的子集？若存在，求出集合A，B；若不存在，请说明理由.