柯西不等式习题

(a2b2)(c2d2)(acbd)2(a,b,c,dR,当且仅当adbc时,等号成立.)

二、二维形式的柯西不等式的变式

(1)a2b2c2d2acbd(a,b,c,dR,当且仅当adbc时,等号成立.) (2)a2b2c2d2acbd(a,b,c,dR,当且仅当adbc时,等号成立.)

(3)(ab)(cd)(acbd)2(a,b,c,d0,当且仅当adbc时，等号成立.)

三、二维形式的柯西不等式的向量形式

.(当且仅当是零向量,或存在实数k,使k时,等号成立.)

借用一句口号说：有条件要用；没有条件，创造条件也要用。比如说吧，对a^2 + b^2 + c^2，并不是不等式的形状，但变成(1/3) * (1^2 + 1^2 + 1^2) * (a^2 + b^2 + c^2)就可以用柯西不等式了。

基本方法

（1）巧拆常数：

例1：设a、b、c为正数且各不相等。求证：

2229 abbccaabc（2）重新安排某些项的次序：

例2：a、b为非负数，a+b=1，x1,x2R求证：(ax1bx2)(bx1ax2)x1x2

（3）改变结构：

例3、若a>b>c 求证：

11abbc4ac （4）添项：

例4：a,b,cR求证：

abbccacab32 【1】、设a(2,1,2), b6，则ab之最小值为________；此时b________。答案：

18; (4,2,4) 解析：abab ∴ab18 ∴18ab18

ab之最小值为

18，此时b2a(4,2,4)

【2】 设a (1，0，

2)，b (x，y，z)，若x2

y2

z2

16，则最大值为 。

【解】

∵ a (1，0， 2)，b (x，y，z) ∴ a．b x 2z

由柯西不等式[12 0 ( 2)2](x2 y2 z2) (x 0 2z)2

ab的

5 16 (x 2z)2 45 x 45

45

 a．b  45，故a．b的最大值为45

【3】空间二向量a(1,2,3)，b(x,y,z)，已知b56，则(1)ab的最大值为多少(2)此时b

Ans：(1) 28：(2) (2,4,6)

【4】设a、b、c为正数，求(abc)(4a9b36)的最小值。Ans：121 c【5】. 设x，y，z R，且满足x2 y2 z2 5，则x 2y 3z之最大值为

解(x 2y 3z)2 (x2 y2 z2)(12 22 32) 5．14 70

∴ x 2y 3z最大值为70

【6】 设x，y，z R，若x2 y2 z2 4，则x 2y 2z之最小值为 时，(x，y，z)

解(x 2y 2z)2 (x2 y2 z2)[12 ( 2) 2 22] 4．9 36

∴ x 2y 2z最小值为 6，公式法求 (x，y，z) 此时

xyz622 1222(2)2223∴ x244，y，z 333【7】设x,y,zR，x2y2z225，试求x2y2z的最大值M与最小值m。

Ans：M15;m15

【8】、设x, y, zR, x2y2z225，试求x2y2z的最大值与最小值。 答：根据柯西不等式

(1x2y2z)[1(2)2](xyz)

2222222 即(x2y2z)2925 而有15x2y2z15

故x2y2z的最大值为15，最小值为–15。

【9】、设x, y, zR, 2xy2z6，试求x2y2z2之最小值。 答案：考虑以下两组向量

u = ( 2, –1, –2) v =( x, y, z ) 根据柯西不等式(uv)2uv，

就有

[2x(1)y(2)z]2[22(1)2(2)2](x2y2z2)即

(2xy2z)29(x2y2z2) 将2xy2z6代入其中，得 369(x2y2z2) 而

22有

x2y2z24 故x2y2z2之最小值为4。

【10】设x,y,zR，2xy2z6，求x2y2z2的最小值m，并求此时x、y、z之值。

Ans：m4;(x,y,z)(4,2,4333)

【11】 设x，y，z R，2x 2y z 8 0，则(x 1)2 (y (z 3)2之最小值为

解： 2x 2y z 8 0

2(x 1) 2(y 2) (z 9，

考虑以下两组向量

u = ( , , ) ，v =( , , ) (uv)2u2v2

[2(x 1) 2(y 2) (z 3)]2 [(x 1)2 (y 2) 2 2

]．(22 22 12)

(x 1)2 (y 2) 2 (z 3) 2

(9)29 9

2)2

3)

3) (z

【12】设x, y, zR，若2x3yz3，则x2(y1)2z2之最小值为________，又此

时y________。

解： 2x3yz3 2x 3(y 1) z ( )，

考虑以下两组向量

u = ( , , ) ，v =( , , )

3618 ∴最小值

714解析：[x2(y1)2z2][22(3)212](2x3y3z)2[x2(y1)2z2]xy1zt, 231

372x3yz3,2(2t)3(3t1)t3 27 ∴t ∴y

【13】 设a，b，c均为正数且a b c 9，则

4a9b16之最小值为 c解：考虑以下两组向量

u = ( , , ) ，v =( , , )

234491622abc)2  ()(a (uv)2uv (abcabc b c)

(4a9b16)．9 c (2 3 4)2 81

4916abc81 9 9

【14】、设a, b, c均为正数，且a2b3c2，则之最小值为________，此

时a________。 解：考虑以下两组向量

u = ( , , ) ，v =( , , )

122322)()2()2](123)2 (uv)2uv [(a)2(2b)2(3c)2][(abc1a2b3c ∴()18，最小值为18 等号发生于 u//v 故

1a2b3ca1a2b2b3c3c

∴a 又a2b3c2 ∴a bc

13【15】. 设空间向量a的方向为

，，，0 ，， ，csc2 9

csc2 25 csc2 的最小值为 。

解∵ sin2 sin2 sin2 2由柯西不等式

∴ (sin2 sin2 sin2)[(123252)()()] sinsinsin (1 3 5)2

2(csc2 9csc2 25csc2) 81

∴ csc2 9csc2 25csc2

8181 ∴ 故最小值为 22【注】本题亦可求tan2 9 tan2 25tan2 与cot2 9cot2 25cot2

之最小值，请自行练习。

【16】. 空间中一向量a与x轴，y轴，z轴正向之夹角依次为

，，（，，

均非象限角），求

149的最小值。 222sinsinsin解 : 由柯西不等式

[((122232)()()](sin2sin2sin2)sinsinsin

123sinsinsin)2 sinsinsin(149)()()](sin2sin2sin2)(123)2 222sinsinsin∵2( sin2 sin2 sin2 2 ∴

149149)36()18 222222sinsinsinsinsinsin∴

149的最小值 222sinsinsin 18

【17】.空间中一向量a的方向角分别为,,，求

92516的最小值。 222sinsinsin答72利用柯西不等式解之

【18】、设x, y, zR，若(x1)2(y2)2z24，则3xy2z之范围为何又3xy2z发生最小值时，x

2222222答案：[( x1)(y2)z][3(1)(2)](3x3y22z)24(14)(3xy2z5) 2143xy2z5214

52143xy2z5214若3xy2z5214又

x1y2zt∴3(3t1)(t2)2(2t)5214 312∴t

143141 ∴x77【19】 设ABC之三边长x，y，z满足x 2y + z = 0及3x + y ABC之最大角是多少度

2z = 0，则

【解】x2yz03xy2z0 x：y：z =

2112：

1123：

1231= 3：5：7

设三边长为x = 3k，y = 5k，z = 7k则最大角度之cos∴

= 120

(3k)2(5k)2(7k)2 ==

2(3k)(5k)1，2【20】. 设x，y，z 最小值。

(x1)2(y2)2(z3)21，求x R且1654 y z之最大值，

Ans 最大值7；最小值 3

【解】

(x1)2(y2)2(z3)21 ∵

1654由柯西不等式知

[42 (5)2 22]()2()2()2

254x1y2z3 4．(x1y2)5．()2． 45z3() 22 25 1 (x y z 2)2 5 |x y z 2|

5 x y z 2 5 ∴ 3 x y z 7

故x y z之最大值为7，最小值为 3

【21】. 求2sin 3cos sin cos cos 的最大值与最小值。

答. 最大值为22，最小值为

22

【详解】

令向量a

(2sin，3cos， cos

)，b (1，sin，cos)

由柯西不等式 |a．b|  |a||b|得

| 2sin 3cos sin cos cos |

4sin23cos2cos2，

1sin2cos24(sin2cos2)(1sin2cos2)22

所求最大值为22，最小值为

22

【22】△ABC的三边长为a、b、c，其外接圆半径为R，求证：

(a2b2c2)(1112证明：由三角形中的正弦定理得 )36R222sinAsinBsinC14R214R214R2a，所以22，同理22，22于是左边= sinA2RsinAasinBbsinCc4R24R24R22R2R2R2(abc)(222)(aaa)36R2。

abcabc222【23】求证:点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离d=

|Ax0By0C|AB22.

证明:设Q(x,y)是直线上任意一点,则Ax+By+C=0.因为

|PQ|2=(x-x0)2+(y-y0)2,A2+B2≠0,由柯西不等式得

22

(A2+B2)［(x-x0)2+(y-y0)2］≥［A(x-x0)+B(y-y0)］=［(Ax+By)-(Ax0+By0)］=(Ax0+By0+C)2,

所以|PQ|≥

|Ax0By0C|AB22.

当

xx0yy0AxByC|AxByC|0202时,取等号,由垂线段最短得d=0202. ABABAB【24】已知正数x,y,z满足x+y+z=xyz,且不等式

111≤λ恒成立,求λxyyzzx的范围.

解析:由二元均值不等式及柯西不等式,得

1111111z≤(xyyzzx2xy2yz2zx2xyzxxyzy)

xyz31zxy3故λ的取值范围是［,+∞). (121212)()22xyzxyzxyz2温馨提示

本题主要应用了最值法,即不等式(

111≤λ恒成立,等价于xyyzzx111111)max≤λ,问题转化为求f(x,y,z)=的最大值. xyyzzxxyyzzx【25】设a,b,c,x,y,z均为正实数,且满足a2+b2+c2=25,x2+y2+z2=36,ax+by+cz=30.求

abc的值.

xyz解析:根据已知等式的特点,可考虑用柯西不等式.

由柯西不等式等号成立的条件,知axbcabc=λ,再由等比定理,得=λ.因此只yzxyz需求λ的值即可.由柯西不等式,得302=(ax+by+cz)2≤(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)=25×36,当且仅当axbc=λ时,上式等号成立. yz于是a=λx,b=λy,c=λz,从而有λ2(x2+y2+z2)=25,∴λ=±

abc5. xyz65(舍负),即6