数学8年级上册 第十一章：数的开方 知识点 平方根 内容 概念:如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根 算术平方根：正数a的正的平方根 记作：√a 性质：正数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根 概念：如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做a的立方根 性质：任何实数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0 考点： ①√𝐚（a的取值范围a≥𝟎） ②√𝐚(√𝐚的取值范围√𝐚≥𝟎) 𝟑③√𝐚(a的取值范围为任意实数) 𝐚 (𝐚≥𝟎)④√𝐚𝟐=∣𝐚∣={ −𝐚 (𝐚<0)例：√（−𝟓）=−（−𝟓）=5 ⑤√𝐚𝟑=a(a为任意实数) 𝟑例：√𝟐𝟑=2, √（−𝟐）=—2 𝟑𝟑备注 立方根 𝟐𝟑 实数 1. 包括有理数和无理数 考点：判断下列的数哪些是无2. 实数与数轴上的点一一对应 理数？ 常见的无理数（无限不循环小数）有理数：分数和整数的统称 有：①π 22如：，0.28, 0都是有理数 𝟑7②开方开不尽的数，如√𝟐，√𝟓等 内容 同底数幂相乘，底数不变，指数相加 𝐚𝐦×𝐚𝐧=𝐚𝐦+𝐧 幂的乘方，底数不变，指数相备注 逆用：𝐚𝐦+𝐧=𝐚𝐦×𝐚𝐧 第十二章：整式的乘除 知识点 幂 的 运 算 同底数幂的乘法 幂的乘方 积的乘法 例：𝟐𝟑+𝟒=𝟐𝟑×𝟐𝟒 逆用：𝐚𝐦𝐧=(𝐚𝐦)𝐧=(𝐚𝐧)𝐦 乘 (𝐚𝐦)𝐧=𝐚𝐦𝐧 例：𝐚𝟐𝐦=(𝐚𝟐)𝐦=(𝐚𝐦)𝟐 积的乘方，把积的每一个因式逆用：𝐚𝐧𝐛𝐧=(𝐚𝐛)𝐧 分别相乘，再把所得的幂相乘 𝟐𝟎𝟏𝟑𝟐𝟎𝟏𝟑𝟓𝟏𝟏例（）×（）=𝟏𝟏𝟓(𝐚𝐛)𝐧=𝐚𝐧𝐛𝐧 (𝐚𝐛𝐜)𝐧=𝐚𝐧𝐛𝐧𝐜𝐧 𝟐𝟎𝟏𝟑𝟓𝟏𝟏（×）=1 𝟏𝟏𝟓 同底数幂的除法 整 式 的 乘 法
同底数幂相处，底数不变，指数相减 𝐚𝐦÷𝐚𝐧=𝐚𝐦−𝐧 单项式与单项式相乘，只要将它们的系数、相同的字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式中出现的字母，连同它的指数一起作为积的一个因式 逆用：𝐚𝐦−𝐧=𝐚𝐦÷𝐚𝐧 例：若𝟑𝐦=𝟓,𝟑𝐧=2,则𝟑𝐦−𝟐𝐧的值是? 例：𝟑𝐱𝟐𝐲·𝟐𝐱𝐲𝟑 =[3·(-2)]·(𝐱𝟐·x)·(y·𝐲𝟑) =−𝟔𝐱𝟑𝐲𝟒 单项式与单项式相乘 单项式与多项式相乘 单项式与多项式相乘，将单项例：(-2𝐚𝟐）·(𝟑𝐚𝟐−𝟓𝐚𝐛) 式分别乘以多项式的每一项，=(-2𝐚𝟐）·𝟑𝐚𝟐+(-2𝐚𝟐）·再将所得的积相加 (−𝟓𝐚𝐛) =-6𝐚𝟒+10𝐚𝟑𝐛 1
多项式与多项式 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加 例：（X+2）（X—3） =𝐗𝟐−𝟑𝐗+𝟐𝐗−𝟔 =𝐗𝟐−𝐗−𝟔 例：24𝐚𝟑𝐛𝟐÷𝟑𝐚𝐛𝟐 =（24÷𝟑）（𝐚𝟑÷𝐚）（𝐛𝟐÷𝐛𝟐） =8𝐚𝟐 整 式 的 除 法 单项式相除，把系数、同底数 幂分别相除作为商的因式，对单项式除于单项式 于只在被除式中出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式 多项式除于单项式，先用这个多项式除于单项式 多项式的每一项除于这个单项式，再把所得的商相加 例: (9𝐱𝟒−𝟏𝟓𝐱𝟐+𝟔𝐱)÷(3x) =9𝐱𝟒÷𝟑𝐱−𝟏𝟓𝐱𝟐÷𝟑𝐱+𝟔𝐱÷𝟑𝐱=3𝐱𝟑−𝟓𝐱+𝟐 例：(a+b)(a-b)=𝐚𝟐−𝐛𝟐 逆用：𝐚𝟐−𝐛𝟐=(a+b)(a-b) 例：(𝐚+𝐛)𝟐=𝐚𝟐+𝟐𝐚𝐛+𝐛𝟐 逆用𝐚𝟐+𝟐𝐚𝐛+𝐛𝟐=(𝐚+𝐛)𝟐 例：(𝐚−𝐛)𝟐=𝐚𝟐−𝟐𝐚𝐛+𝐛𝟐 逆用𝐚𝟐−𝟐𝐚𝐛+𝐛𝟐=(𝐚−𝐛)𝟐 常考点： ①两种因式分解法一起运用（先提公因式，然后再运用公式法） 例：𝟑𝐱𝟐+𝟔𝐱𝐲+𝟑𝐲𝟐 =𝟑(𝐱𝟐+𝟐𝐱𝐲+𝐲𝟐)=𝟑(𝐱+𝐲)𝟐 乘 法 公 式 平方差公式 两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差 两数和的平方公式 两数和的平方，等于这两数的平方和加上它们的积的2倍 两数差的平方公式 两数差的平方，等于这两数的平方和减去它们的积的2倍 定义：把一个多项式化为几个 整式的积的形式，叫做多项式 的因式分解 因式分解的方法： 因式分解 ①提公因式法 ②运用乘法公式法 𝐚𝟐−𝐛𝟐=(a+b)(a-b) 𝐚𝟐+𝟐𝐚𝐛+𝐛𝟐=(𝐚+𝐛)𝟐 𝐚𝟐−𝟐𝐚𝐛+𝐛𝟐=(𝐚−𝐛)𝟐 ②“1”常常要变成“12” 例：(𝐱𝐲)𝟐−𝟏 =(𝐱𝐲)𝟐−𝟏𝟐 =(𝐱𝐲+𝟏)（𝐱𝐲−𝟏） 第十三章：全等三角形 知识点 全等三角形 内容 性质：全等三角形的对应边和对应角相等 三角形全等的判定： 1. （边边边）S.S.S.：如果两个三角形的三条边都对应地相等，那么这两个三角形全等。 2.（边、角、边）S.A.S.：如果两个三角形的其中两条边都对应地相等，且两条边夹着的角都对应地相等，那么这两个三角形全等。 3.（角、边、角）A.S.A.：如果两个三角形的其中两个角都对应地相等，且两个角夹着的边都对应地相等的话，那么这两个三角形全等。 4.（角、角、边）A.A.S.：如果两个三角形的其中两个角都对应地相等，且对应相等的角所对应的边对应相等，那么这两个三角形全等。 5.（斜边、直角边）H.L.：如果两个直角三角形中一条斜边和一条直角边都对应相等，那么 2
备注 常考点： ①公共边 ②公共角 ③两直线平行（两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补） ④对顶角（对顶角相等） 需要注意： 判定两直角三角形全等： 五个判定都可用，特殊：斜边直角边 这两个三角形全等。 等 腰 三 角 形 性质 ①等腰三角形的两腰相等 ②等腰三角形的两底角相等 ③等腰三角形“三线合一”（顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合） ④等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴 ⑤等腰三角形的两底角的平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等） 考点： ①若∆𝐀𝐁𝐂,𝐀𝐁=𝐀𝐂,则说明∆𝐀𝐁𝐂是等腰三角形 ②等腰三角形“三线合一” 1. 若𝐀𝐁=𝐀𝐂 AD⊥𝐁𝐂 A则BD=BC, ∠BAD=∠CAD 2.自己补充完整 判定 ①定义法：在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形。 ②判定定理：在同一三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：等角对等边）。 B性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 已知：若 EF⊥𝐀𝐁,垂足为点C,AC=BC,点D是直线EF上任意一点 结论：DA=DB 性质定理的逆定理：到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上 已知：DA=DB 结论：点D在线段AB的垂直平分线上 性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等 已知：OP平分∠AOB，且PD⊥𝐎𝐀，PE⊥𝐎𝐁， 结论：PE=PD 性质定理的逆定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上 已知：PD⊥𝐎𝐀，PE⊥𝐎𝐁且PE=PD 结论：OP平分∠AOB DC 线段的垂直平分线 考点： 若直线EF是线段AB的垂直平D分线， 则： ① DA=DB B②∆𝐃𝐀𝐁是等CF因此 腰三角形，具有等腰三角形的一切性质 EBEPODAA 角平分线 互逆命题与互逆定理 尺规作图 第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题 五个基本的作图方法： ①作一条线段等于已知线段 ②作一个角等于已知角③作已知角的平分线 ④过一点作已知线段的垂线 ⑤作已知线段的垂直平分线 性质：①是特殊的等腰三角形，因此具有等腰三角形的一切性质。（等腰三角形包括等边三角形，等腰大于等边） ②等边三角形的三条边相等 ③等边三角形的三个角相等，都为60º。 考点：判断一个命题或定理的逆命题为真为假 考点：综合考察，例如用尺规作图画直角三角形，等腰三角形等等 等边三角形 判定：①定义：三条边都相等的三角形是等边三角形 ②三个角都相等的三角形是等边三角形 ③有一个角等于60º的等腰三角形是等边三角形 3
第十四章：勾股定理
知识点 勾股定理 勾股定理的逆定理 内容 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 𝑎2+𝑏2=𝑐2 如果三角形的三边长a、b、c有关系𝑎2+𝑏2=𝑐2，那么这个三角形是直角三角形，且边c所对的角为直角 步骤： ①假设结论的反面是正确的 ②然后得出推理或定理与已知条件相矛盾 ③从而说明假设不成立，原结论正确 备注 c b a 拓展: 如果三角形的三边长a、b、c有关系𝒂𝟐+𝒃𝟐≠𝒄𝟐，那么这个三角形不是直角三角形，且边c所对的角为直角 反证法 勾股定理的应用 （把实际问题转化为数学问题） ①常见的勾股数：3、4、5或5、12、13或6、8、10、 ②路程最短问题：展开圆柱或者正方体，长方体的面积 ③航行问题 ④已知直角三角形的两条边，求第三条边 第十五章：数据的收集与处理 知识点 频数、频率、总次数 内容 频数：每个对象出现的次数 频率：每个对象出现的次数与总次数的比值（或者百分比） 公式： 频率=频率=频数频数总次数总次数备注 考点拓展： ①频数之和等于总次数 ②频率之和为1 ③频率P取值范围（0≪P≪1） ④ 频率可以表示为小数，分数，或者百分数（必须统一） ⑤弄清频数、频率、总次数 三者之间的关系，只其二必可算出第三个 ①各部分的百分比之和等于𝟏𝟎𝟎％或者等于1 ②各部分的百分比不等于1，不能用扇形统计图表示 , 总次数=频数频率 ×𝟏𝟎𝟎％ 频数=总次数×频率 数据的表示 扇形统计图 考查各部分占总体大小的百分比 条形统计图 考查各部分具体数据 折线统计图 考查总体的变化趋势 综合考查 各部分的具体数据为频数 常运用于股市与气温的统计 ①扇形统计图与条形统计图一起考，条形统计图的具体数据为频数，扇形统计图的百分比为频率，从而可以根据公式计算出总次数 ②根据统计表，会制作条形统计图（单位值，间隔值要相等） ③根据统计表，会制作扇形统计图（计算百分比和百分数） ④扇形圆心角的度数=百分比×𝟑𝟔𝟎𝟎 ⑤扇形的面积之比=各部分所占百分数之比=各部分圆心角之比 4
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