专题：椭圆的焦点三角形

一 知识梳理

定义：椭圆（双曲线）上一点和两焦点组成的三角形叫焦点三角形；有一个角为直角的焦点

三角形叫焦点直角三角形。

性质一：该三角形一边长为焦距，另两边的和为定值。所以周长为定值2a+2c

x2y2性质二：已知椭圆方程为221(ab0),两焦点分别为F1,F2,设焦点三角

ab形PF1F2中F1PF2,则SF1PF2b2tan证明：记|PF1|r1,|PF2|r2，

2.

y P 由椭圆的第一定义得r1r22a,(r1r2)4a.

F1 O F2 x 2在△F1PF2中，由余弦定理得：r1r22r1r2cos(2c). 2222配方得：(r1r2)2r1r22r1r2cos4c. 即4a2r1r2(1cos)4c.

22222(a2c2)2b2r1r2.

1cos1cos由任意三角形的面积公式得：

SF1PF21sinr1r2sinb2b221cos2sin22b2tan.

22cos22cosSF1PF2b2tan.

2x2y2性质三：已知椭圆方程为221(ab0),两焦点分别为F1,F2,设焦点三角

ab2b2形PF1F2中F1PF2,则cos2112e2.并且点P在y轴上是张角最大。

a证明：设PF1r1,PF2r2,则在F1PF2中，由余弦定理得：

r12r22F1F2(r1r2)22r1r24c24a24c2 cos1

2r1r22r1r22r1r222b22b212112e2.当切仅当r1r2，即点P在y轴是cosr1r22a()2取的最小值，而角取得最大值。

二 典型例题

x2y21的长轴AB分成8分，过每个分点作ｘ轴的垂线交椭圆的上半例1 如图把椭圆

2516部分于P1,P2,……P7七个点，F

是椭圆的一个焦点，则

PFP2F......P7F_____ 1解：只需取椭圆的另一焦点与P1,P2,……P7七个点分

别连接，由结论1和对称性可知

1PFPF......PF14535 1272x2y21上的一点，F1、F2是例2若P是椭圆

100其焦点，且F1PF260，1）求△F1PF2的面积2）求点P的坐标

x2y2例3已知F1、F2是椭圆221(ab0)的两个焦点，椭圆上一点P使

abF1PF290，求椭圆离心率e的取值范围。

由焦点三角形性质二， cos90012e2.



2≤e＜1 2三 练习题

y2x2F2的连线互相垂直，1上一点P与椭圆两个焦点F1、1. 椭圆则△F1PF24924的面积为（ ）

A. 20 B. 22 C. 28 D. 24

x2y21的左右焦点为F1、F2， P是椭圆上一点，当△F1PF2的面积2. 椭圆4为1时，PF1PF2的值为（ ）

A. 0 B. 1 C. 3 D. 6

x2y21的左右焦点为F1、F2， P是椭圆上一点，当△F1PF2的面积 3. 椭圆4最大时，PF1PF2的值为（ ）

A. 0 B. 2 C. 4 D. 2

x24．已知椭圆2y21（a＞1）的两个焦点为F1、F2，P为椭圆上一点，

a且F1PF260，则|PF1||PF2|的值为（ ） A．1 B．

13 C．

4 3 D．

2 35. 已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，F1、F2为焦点，点P在椭圆上， 直线PF1与PF2倾斜角的差为90，△F1PF2的面积是20，离心率为求椭圆的标准方程.

x2y21的焦点,在C上满足PF1PF2的点P的个数为？ 6 F1,F2是椭圆C:845， 3 A. 0 B. 1 C. 3 D. 4

x2y21的焦点为F1、F2，点P为其上的动点，当F1PF2为钝角时，点P横7 椭圆94坐标的取值范围是 。

8已知椭圆的两个焦点为F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若F1PF2为等

腰三角形，则椭圆的离心率为（ ） A

221 B C 22 D 21 2222

9已知△ABC的顶点B、C在椭圆x+y=1上,顶点A是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦

4点在BC边上,则△ABC的周长是 . 10设

F1,F2是椭圆+=1的左、右焦点,点M在椭圆上,若△MF1F2是直

角三角形,则△MF1F2的面积等于( ) (A) (B) (C)或16 (D)或16

x2y21的左、右焦点,点M在椭圆上,若△MF1F2变式 设F1,F2是椭圆1是直角三角形,则△MF1F2的面积等于