2022-2023学年四川省成都市蒲江中学九年级(上)期中数学试题及答案解析

2022-2023学年四川省成都市蒲江中学九年级（上）期中数学试

卷

1. 如图所示的几何体的俯视图是( ) A.

B.

C.

D.

2. 下列是一元二次方程的是( ) A. 𝑥2−2𝑥−3=0 B. 2𝑥+𝑦=5 C. 2+𝑥=1 D. 𝑥+1=0

𝑙1//𝑙2//𝑙3，𝑏与𝑙1，𝑙2，𝑙3分别相交于𝐴，𝐵，𝐶和𝐷，𝐸，𝐹.若=，𝐷𝐸=4，直线𝑎，3. 如图，𝐵𝐶5则𝐸𝐹的长为( )

𝐴𝐵

2

𝑥

1

A. 10

4. 若𝑥=5，则A. 7

2𝑦

2

B. 3

𝑥+𝑦

的值为( ) 𝑥

20

C. 12 D. 14

B. 7

5

C. 5

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7

D. 2

7

5. 如图，菱形𝐴𝐵𝐶𝐷中，对角线𝐴𝐶，𝐵𝐷相交于点𝑂，点𝑀是𝐷𝐶的中点．若菱形𝐴𝐵𝐶𝐷的周长

为24，则𝑂𝑀的长为( )

A. 12 B. 8 C. 6 D. 3

6. 如图，小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形(阴影部分)与△𝐴𝐵𝐶相似的是( ) A. B.

C.

D.

7. 如图，已知△𝐴𝐵𝐶与△𝐷𝐸𝐹位似，位似中心为点𝑂，且𝑂𝐴：𝑂𝐷=3：2，则△𝐴𝐵𝐶与△𝐷𝐸𝐹

的面积之比为( )

A. 3：2 B. 3：5 C. 9：4 D. 9：5

8. 下列判断中正确的个数有( )

①全等三角形是相似三角形 ②顶角相等的两个等腰三角形相似 ③所有的等腰三角形都相似 ④所有的菱形都相似 ⑤两个位似三角形一定是相似三角形．

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

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9. 《九章算术》是我国古代数学名著，有题译文如下：今有门，不知其高宽；有竿，不知

其长短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线长恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？设门对角线的长为𝑥尺，下列方程符合题意的是( )

A. (𝑥+2)2+(𝑥−4)2=𝑥2 C. 𝑥2+(𝑥−4)2=(𝑥−4)2

B. (𝑥−2)2+(𝑥−4)2=𝑥2 D. (𝑥−2)2+𝑥2=(𝑥+4)2

10. 如果关于𝑥的方程𝑘𝑥2−√2𝑘+1𝑥+1=0有两个不相等的实数根，那么𝑘的取值范围是

( )

A. 𝑘<2

C. −2≤𝑘<2且𝑘≠0

11. 方程𝑥2−3𝑥=0的解是______．

1

1

1

B. 𝑘<2且𝑘≠0 D. −2≤𝑘≤2

1

1

1

12. 四条线段𝑎，𝑏，𝑐，𝑑成比例，其中𝑏=3，𝑐=2，𝑑=6，那么𝑎=______． 13. 已知点𝑃是线段𝐴𝐵的黄金分割点，𝐴𝑃>𝐵𝑃，若𝐴𝐵=6，则𝑃𝐵=______．

14. 如图，在正方形𝐴𝐵𝐶𝐷中，对角线𝐴𝐶与𝐵𝐷相交于点𝑂，𝐸为𝐵𝐶上一点，𝐹为𝐷𝐸的中点，

若2𝑂𝐹=𝐶𝐸，且𝐶𝐹=√5，则𝐴𝐵的长为______．

2

15. 解方程：

(1)4(𝑥−1)2=9； (2)2𝑥2−3𝑥−4=0．

16. 已知点𝑂是坐标原点，点𝐴、𝐵的坐标分別为(3,1)、(2,−1)．

(1)画出△𝑂𝐴𝐵绕点𝑂顺时针旋转90°后得到的△𝑂𝐴1𝐵1；

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(2)在𝑦轴的左侧以𝑂为位似中心作△𝑂𝐴𝐵的位似图形△𝑂𝐴2𝐵2，使新图与原图相似比为2：1； (3)求出△𝑂𝐴2𝐵2的面积．

17. 如图，点𝐶，𝐷在线段𝐴𝐵上，△𝑃𝐶𝐷是等边三角形，且∠𝐴𝑃𝐵=120°，求证：

(1)△𝐴𝐶𝑃∽△𝑃𝐷𝐵， (2)𝐶𝐷2=𝐴𝐶⋅𝐵𝐷．

18. 如图，要利用一面墙(墙长为25米)建一个矩形场地，用100米的围栏围成三个大小相同

的矩形，设矩形的边长𝐴𝐵为𝑥米，矩形场地的总面积为𝑦平方米． (1)请用含有𝑥的式子表示𝑦(不要求写出𝑥的取值范围)； (2)当𝑥为何值时，矩形场地的总面积为400平方米？

小明的身高如图中线段𝐴𝐵所示；他在地面上的影子如图中线段𝐴𝐶所19. 如图，在路灯𝑀下，示，路灯灯泡在点𝐷正上方．

(1)如果小明的身高𝐴𝐵=1.6𝑚，他的影子长𝐴𝐶=1.4𝑚，且他到路灯的距离𝐴𝐷=2.1𝑚，求灯泡的高．

(2)在(1)的条件下当小明越过路灯到达𝐹𝐺时，发现影长和身高相等，求小明前行的路程．

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20. 如图，在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶=90°，𝐴𝐶=3，∠𝐵𝐴𝐶=60°，𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶交𝐵𝐶于点𝐷，

𝐴𝐶于过点𝐷作𝐷𝐸//𝐴𝐶交𝐴𝐵于点𝐸，点𝑀是线段𝐴𝐷上的动点，连结𝐵𝑀并延长分别交线段𝐷𝐸，点𝐹、𝐺． (1)求𝐶𝐷的长；

(2)若点𝑀是线段𝐴𝐷的中点，求

𝐸𝐹

的值； 𝐷𝐹

(3)点𝑀在移动过程中，当△𝐶𝐺𝐸为直角三角形时，求𝐷𝑀的长．

21. 如图，在平行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，∠𝐴𝐵𝐶的平分线交𝐴𝐶于点𝐸，交𝐴𝐷于点𝐹，交𝐶𝐷的延长

线于点𝐺，若𝐴𝐹=2𝐹𝐷，则

𝐵𝐸

的值为______． 𝐸𝐺

22. 已知𝑎、𝑏、𝑐、满足𝑎+𝑐=𝑐+𝑏=𝑎+𝑏=𝑘，下列各点中①(1,2)；②(1,2)；③(1,−2)；

④(1,−1)在正比例函数𝑦=𝑘𝑥上的点是______.(填序号)

𝑏𝑎𝑐11

23. 已知𝑥1，𝑥2是一元二次方程4𝑘𝑥2−4𝑘𝑥+𝑘+1=0的两个实数根，则使𝑥2+𝑥1−2的值

为整数的实数𝑘的整数值为______．

𝑥1𝑥2

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∠𝐵𝐴𝐶=30°，𝐷是𝐴𝐶上一点，∠𝐶𝐵𝐷的平分线交𝐴𝐶于点𝐸，在△𝐴𝐵𝐶中，且𝐴𝐸=𝐴𝐵，24. 如图，

𝐴𝐷⋅𝐴𝐶=25，则△𝐴𝐵𝐸的面积为______．

25. 已知菱形𝐴𝐵𝐶𝐷中，∠𝐴=120°，𝐴𝐵=4，边𝐴𝐷，𝐶𝐷上有点𝐸、点𝐹两动点，始终保持

𝐷𝐸=𝐷𝐹，连接𝐵𝐸，𝐸𝐹，取𝐵𝐸中点𝐺并连接𝐹𝐺，则𝐹𝐺的最小值是______．

26. 2020年秋冬以来，由于全国大葱种植面积的减少与产量的减产，10月份到12月份，大

10月份大葱的批发价格为5元/公斤，12月份大葱的批发价格涨到7.2葱的批发价格持续走高．元/公斤．

(1)求10月份到12月份大葱批发价格的月平均增长率；

(2)进入12月份以来，某农贸市场按照7.2元/公斤的批发价购进大葱进行销售，销售价格为10元/公斤，每天能销售大葱500公斤．为了扩大销售，增加盈利，最大限度让利于顾客，该农贸市场决定对大葱进行降价销售，根据市场调查发现，大葱的销售单价每降低0.1元，每天的销售量将增加40公斤．求当大葱的销售价格降低多少元时，该农贸市场每天销售大葱的利润为10元？

𝐵𝐶=2𝐴𝐵=4，在矩形𝐴𝐵𝐶𝐷中，点𝐺为边𝐵𝐶上一点，连接𝐴𝐺，过点𝐺作𝐺𝐸⊥𝐴𝐺，27. 如图，

且𝐺𝐸=2𝐴𝐺，𝐺𝐸交𝐷𝐶于点𝐹，连接𝐴𝐸．

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(1)求证：△𝐴𝐵𝐺∽△𝐺𝐶𝐹；

(2)连接𝐶𝐸，求证：∠𝐷𝐶𝐸=∠𝐴𝐸𝐺；

(3)当点𝐸正好在𝐵𝐷的延长线上时，求𝐵𝐺的长．

28. 如图，在平面直角坐标系中，直线𝑦=2𝑥+4与𝑥轴交于点𝐴，与𝑦轴交于点𝐵，过点𝐵的

直线交𝑥轴于𝐶，且△𝐴𝐵𝐶面积为10．

(1)求点𝐶的坐标及直线𝐵𝐶的解析式；

(2)如图1，设点𝐹为线段𝐴𝐵中点，点𝐺为𝑦轴上一动点，连接𝐹𝐺，以𝐹𝐺为边向𝐹𝐺右侧作正方形𝐹𝐺𝑄𝑃，在𝐺点的运动过程中，当顶点𝑄落在直线𝐵𝐶上时，求点𝐺的坐标；

(3)如图2，若𝑀为线段𝐵𝐶上一点，且满足𝑆△𝐴𝑀𝐵=𝑆△𝐴𝑂𝐵，点𝐸为直线𝐴𝑀上一动点，在𝑥轴上𝐸，𝐵，𝐶为顶点的四边形为平行四边形？若存在，是否存在点𝐷，使以点𝐷，请直接写出点𝐷的坐标；若不存在，请说明理由．

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答案和解析

1.【答案】𝐶

【解析】解：从上面看，是一行两个相邻的矩形． 故选：𝐶．

根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．

本题考查了简单组合体的三视图，明确从上面看得到的图形是俯视图是解题的关键．

2.【答案】𝐴

【解析】解：𝐴.是一元二次方程，故本选项符合题意； B.是二元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； C.是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D.是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； 故选：𝐴．

根据一元二次方程的定义逐个判断即可．

本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义的内容是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2次的整式方程，叫一元二次方程．

3.【答案】𝐴

【解析】解：∵𝑙1//𝑙2//𝑙3， ∴𝐸𝐹=𝐵𝐶=5， ∵𝐷𝐸=4， ∴𝐸𝐹=10， 故选：𝐴．

利用平行线分线段成比例定理求解即可．

本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理．

𝐷𝐸

𝐴𝐵

2

4.【答案】𝐶

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【解析】解：∵=，

𝑥5∴𝑦=𝑥， ∴

𝑥+𝑦

𝑥25𝑦2

=𝑥=5．

𝑥+5𝑥

2

7

故选：𝐶．

直接利用已知得出𝑦=𝑥，代入化简即可．

5此题主要考查了比例的性质，正确将已知变形是解题关键．

2

5.【答案】𝐷

【解析】解：∵菱形𝐴𝐵𝐶𝐷的周长等于24， ∴𝐷𝐶=

244=6，

∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是菱形， ∴𝐴𝐶⊥𝐵𝐷， ∵𝑀为𝐷𝐶边中点，

∴在𝑅𝑡△𝐷𝑂𝐶中，𝑂𝑀为斜边上的中线， ∴𝑂𝑀=2𝐷𝐶=3． 故选：𝐷．

根据已知可求得菱形的边长，再根据对角线互相垂直平分，𝑀为𝐷𝐶的中点，从而求得𝑂𝑀的长． 此题主要考查直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，还综合利用了菱形的性质．

1

6.【答案】𝐵

【解析】解：设各个小正方形的边长为1，则已知的三角形的各边分别为√2，2，√10， A、因为三边分别为：√2，√5，3，三边不能与已知三角形各边对应成比例，故两三角形不相似； B、因为三边分别为：1，√2，√5，三边与已知三角形的各边对应成比例，故两三角形相似； C、因为三边分别为：1，√5，2√2，三边不能与已知三角形各边对应成比例，故两三角形不相似； D、因为三边分别为：2，√5，√13，三边不能与已知三角形各边对应成比例，故两三角形不相似， 故选：𝐵．

设各小正方形的边长为1，根据勾股定理分别表示出已知阴影三角形的各边长，同理利用勾股定理表示出四个选项中阴影三角形的各边长，利用三边长对应成比例的两三角形相似可得出左图中的

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阴影三角形与已知三角形相似的选项．

此题考查了相似三角形的判定以及勾股定理的运用；相似三角形的判定方法有：1、二对对应角相等的两三角形相似；2、两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似；3、三边长对应成比例的两三角形相似；4、相似三角形的定义．本题利用的是方法3．

7.【答案】𝐶

【解析】解：∵△𝐴𝐵𝐶与△𝐷𝐸𝐹位似，位似中心为点𝑂， ∴△𝐴𝐵𝐶∽△𝐷𝐸𝐹，

∴△𝐴𝐵𝐶的面积与△𝐷𝐸𝐹面积之比=(故选：𝐶．

利用位似的性质得到∴△𝐴𝐵𝐶∽△𝐷𝐸𝐹，然后根据相似三角形的性质求解．

本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．位似图形必须是相似形；对应点的连线都经过同一点；对应边平行或共线．

𝑂𝐴2

)𝑂𝐷=()2=．

32948.【答案】𝐵

【解析】解：①全等三角形是相似三角形，正确； ②顶角相等的两个等腰三角形相似，正确； ③所有的等腰三角形不一定相似故此选项错误； ④所有的菱形都相似，错误；

⑤两个位似三角形一定是相似三角形，正确． 故选：𝐵．

直接利用相似三角形的判定方法以及位似图形的性质分别判断得出答案．

此题主要考查了相似三角形的判定方法以及位似图形的性质、相似多边形的判定方法，正确掌握相似图形的判定方法是解题关键．

9.【答案】𝐵

【解析】

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【分析】

此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系． 由题意可得门高(𝑥−2)尺、宽(𝑥−4)尺，长为对角线𝑥尺，根据勾股定理可得的方程． 【解答】

解：设门对角线的长为𝑥尺，由题意得： (𝑥−2)2+(𝑥−4)2=𝑥2， 故选：𝐵．

10.【答案】𝐶

𝑘≠0

【解析】解：根据题意得{2𝑘+1≥0，

2

(−√2𝑘+1)−4𝑘>0解得−≤𝑘<且𝑘≠0．

22故选：𝐶．

𝑘≠0

根据一元二次方程的定义、二次根式的意义和判别式的意义得到得{2𝑘+1≥0，然后

2

(−√2𝑘+1)−4𝑘>0解不等式即可．

本题考查了根的判别式：一元二次方程𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0(𝑎≠0)的根与△=𝑏2−4𝑎𝑐有如下关系：当△>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△<0时，方程无实数根．

1

1

11.【答案】𝑥1=0，𝑥2=3

【解析】解：原式为𝑥2−3𝑥=0，𝑥(𝑥−3)=0，𝑥=0或𝑥−3=0，𝑥1=0，𝑥2=3． ∴方程𝑥2−3𝑥=0的解是𝑥1=0，𝑥2=3．

𝑥2−3𝑥有公因式𝑥可以提取，故用因式分解法解较简便．

本题考查简单的一元二次方程的解法，在解一元二次方程时应当注意要根据实际情况选择最合适快捷的解法．

12.【答案】1

【解析】解：根据题意得𝑎：3=2：6， 所以𝑎==1． 63×2

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故答案为1．

利用比例线段的定义得到𝑎：3=2：6，然后根据比例的性质可求出𝑎的值．

本题考查了比例线段：对于四条线段𝑎、𝑏、𝑐、𝑑，如果其中两条线段的比(即它们的长度比)与另两条线段的比相等，如 𝑎：𝑏=𝑐：𝑑(即𝑎𝑑=𝑏𝑐)，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．

13.【答案】9−3√5

【解析】解：∵点𝑃是线段𝐴𝐵的黄金分割点， ∴𝐴𝑃=

√5−1𝐴𝐵=6×22√5−1=3√5−3，

∴𝐵𝑃=𝐴𝐵−𝐴𝑃=6−(3√5−3)=9−3√5． 故答案为9−3√5．

根据黄金分割的定义得到𝐴𝑃=√5−1𝐴𝐵，再把把𝐴𝐵=6代入可计算出𝐴𝑃的长，然后计算𝐴𝐵−𝐴𝑃

2即可．

本题考查了黄金分割：把线段𝐴𝐵分成两条线段𝐴𝐶和𝐵𝐶(𝐴𝐶>𝐵𝐶)，且使𝐴𝐶是𝐴𝐵和𝐵𝐶的比例中项(即𝐴𝐵：𝐴𝐶=𝐴𝐶：𝐵𝐶)，叫做把线段𝐴𝐵黄金分割，点𝐶叫做线段𝐴𝐵的黄金分割点．其中𝐴𝐶=

√5−12𝐴𝐵≈0.618𝐴𝐵，并且线段𝐴𝐵的黄金分割点有两个．

14.【答案】2

【解析】解：在正方形𝐴𝐵𝐶𝐷中，对角线𝐴𝐶与𝐵𝐷相交于点𝑂， ∴𝑂为𝐵𝐷中点， ∵𝐹为𝐷𝐸的中点， ∴𝑂𝐹为△𝐷𝐵𝐸的中位线， ∴𝐵𝐸=2𝑂𝐹． 又∵2𝑂𝐹=𝐶𝐸， ∴𝐷𝐶=𝐵𝐶=2𝐶𝐸．

在𝑅𝑡△𝐷𝐸𝐶中，𝐸𝐷=2𝐹𝐶=2×√5=√5．

2设𝐴𝐵=𝑎，则𝐷𝐶=𝑎，𝐸𝐶=𝑎. 2在𝑅𝑡△𝐷𝐸𝐶中，𝐶𝐸2+𝐷𝐶2=𝐷𝐸2，

1

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即(𝑎)2+𝑎2=5， 2解得：𝑎=2． 故答案为：2．

先依据三角形的中位线定理得到𝐵𝐸=2𝑂𝐹，从而可得到𝐸𝐶=𝐵𝐶，然后依据直角三角形斜边上中线的性质求得𝐷𝐸的长，设𝐴𝐵=𝑎，则𝐷𝐶=𝑎，𝐸𝐶=𝑎，最后，在𝑅𝑡△𝐸𝐷𝐶中，依据勾股定理

2列方程求解即可．

本题主要考查的是正方形的性质、直角三角形斜边上中线的性质、三角形的中位线定理，勾股定理，在直角三角形𝐶𝐸𝐷中应用勾股定理是解题的关键．

1

1

15.【答案】解：(1)4(𝑥−1)2=9，

(𝑥−1)2=4， 𝑥−1=±，

所以𝑥1=，𝑥2=−；

22(2)2𝑥2−3𝑥−4=0， 𝑎=2，𝑏=−3，𝑐=−4，

𝛥=(−3)2−4×2×(−4)=41>0， 𝑥=

−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐

2𝑎

4

3±√41=2×2，

4

5

1

329

所以𝑥1=3+√41，𝑥2=3−√41．

【解析】(1)先把方程变形为(𝑥−1)2=，然后利用直接开平方法解方程；

4(2)先计算出根的判别式的值，然后利用求根公式得到方程的解．

本题考查了解一元二次方程−公式法：掌握用公式法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键．也考查了直接开平方法．

9

16.【答案】解：(1)如图所示：△𝑂𝐴1𝐵1即为所求；

(2)如图所示：△𝑂𝐴2𝐵2即为所求；

(3)由图可知𝐴2(−6,−2)𝐵2(−4,2)，𝐴2𝐵2与𝑥轴的交点为

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(−5,0)，

∴△𝑂𝐴2𝐵2的面积为：𝑆=×5×(2+2)=10．

2【解析】(1)直接利用旋转变换的性质得出对应点位置进而得出答案； (2)直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案；

(3)以𝑥轴为分割线，将△𝑂𝐴2𝐵2分成两部分，即可求得△𝑂𝐴2𝐵2的面积． 此题主要考查了旋转变换以及位似变换，正确得出对应点位置是解题关键．

1

17.【答案】证明：(1)∵△𝑃𝐶𝐷是等边三角形，

∴∠𝑃𝐶𝐷=∠𝑃𝐷𝐶=∠𝐶𝑃𝐷=60°， ∴∠𝐴𝐶𝑃=∠𝑃𝐷𝐵=120°， ∵∠𝐴𝑃𝐵=120°， ∴∠𝐴𝑃𝐶+∠𝐵𝑃𝐷=60°，

∵∠𝐶𝐴𝑃+∠𝐴𝑃𝐶=60°

∴∠𝐵𝑃𝐷=∠𝐶𝐴𝑃， ∴△𝐴𝐶𝑃∽△𝑃𝐷𝐵；

(2)由(1)得△𝐴𝐶𝑃∽△𝑃𝐷𝐵， ∴𝑃𝐷=𝐵𝐷，

∵△𝑃𝐶𝐷是等边三角形， ∴𝑃𝐶=𝑃𝐷=𝐶𝐷， ∴𝐶𝐷=𝐵𝐷， ∴𝐶𝐷2=𝐴𝐶⋅𝐵𝐷．

(1)根据等边三角形的性质得到∠𝑃𝐶𝐷=∠𝑃𝐷𝐶=∠𝐶𝑃𝐷=60°，【解析】于是推出∠𝐴𝐶𝑃=∠𝑃𝐷𝐵=120°，等量代换得到∠𝐵𝑃𝐷=∠𝐶𝐴𝑃，根据相似三角形的性质得到结论； (2)由相似三角形的性质得到

𝐴𝐶

𝐶𝐷𝐴𝐶𝑃𝐷𝐴𝐶

𝐶𝐷𝐴𝐶

𝑃𝐶

=𝐵𝐷，根据等边三角形的性质得到𝑃𝐶=𝑃𝐷=𝐶𝐷，等量代换得到

𝑃𝐶

=𝐵𝐷，即可得到结论．

𝐶𝐷

本题考查了相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的

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关键．

18.【答案】解：(1)依题意得，𝐵𝐶=100−4𝑥．

则𝑦=(100−4𝑥)𝑥．

(2)设𝐴𝐵的长度为𝑥，则𝐵𝐶的长度为(100−4𝑥)米． 根据题意得(100−4𝑥)𝑥=400， 解得𝑥1=20，𝑥2=5．

则100−4𝑥=20或100−4𝑥=80． ∵80>25， ∴𝑥2=5，舍去． 即𝐴𝐵=20，𝐵𝐶=20．

答：当20为何值时，矩形场地的总面积为400平方米． 【解析】(1)设𝐴𝐵的长度为𝑥米，则𝐵𝐶的长度为(100−4𝑥)米； (2)根据矩形的面积公式列出方程．

本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．

19.【答案】解：(1)设灯泡所在位置为点𝑃，连接𝑃𝐶，

∵𝐴𝐵//𝑃𝐷， ∴△𝐴𝐵𝐶∽△𝐷𝑃𝐶， ∴𝐶𝐷=𝑃𝐷，

∵𝐴𝐵=1.6𝑚，𝐴𝐶=1.4𝑚，𝐴𝐷=2.1𝑚， ∴1.4+2.1=𝑃𝐷，

1.4

1.6

𝐴𝐶

𝐴𝐵

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解得𝑃𝐷=4， ∴灯泡的高为4𝑚；

(2)设影子长为𝐸𝐹，连接𝑃𝐸， ∵𝐺𝐹//𝑃𝐷， ∴△𝐹𝐺𝐸∽△𝐷𝑃𝐸， ∴𝐷𝐸=𝑃𝐷，

∵𝐺𝐹=𝐸𝐹=𝐴𝐵=1.6𝑚， ∴𝐷𝐸=𝑃𝐷=4𝑚，

∴𝐴𝐹=𝐴𝐷+𝐷𝐸−𝐸𝐹=2.1+4−1.6=4.5(𝑚)， ∴小明前行的路程为4.5𝑚．

【解析】(1)设灯泡所在位置为点𝑃，连接𝑃𝐶，证△𝐴𝐵𝐶∽△𝐷𝑃𝐶，根据线段比例关系求出𝐷𝑃即灯泡的高度；

(2)设影子长为𝐸𝐹，连接𝑃𝐸，证△𝐹𝐺𝐸∽△𝐷𝑃𝐸，根据线段比例关系求出𝐸𝐹即可求出小明前进的路程．

本题主要考查相似三角形的判定和性质，利用相似三角形得比例关系是解题的关键．

𝐸𝐹

𝐹𝐺

20.【答案】解：(1)∵𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶，∠𝐵𝐴𝐶=60°，

∴∠𝐷𝐴𝐶=2∠𝐵𝐴𝐶=30°，

在𝑅𝑡△𝐴𝐷𝐶中，𝐷𝐶=𝐴𝐶⋅𝑡𝑎𝑛30°=3×=√3；

3(2)∵∠𝐶=90°，𝐴𝐶=3，∠𝐵𝐴𝐶=60°， ∴𝐵𝐶=𝐴𝐶⋅𝑡𝑎𝑛60°=3×√3=3√3， ∴𝐵𝐷=𝐵𝐶−𝐶𝐷=2√3， ∴𝐷𝐸=2， ∵𝐷𝐸//𝐴𝐶， ∴∠𝐹𝐷𝑀=∠𝐺𝐴𝑀， ∵点𝑀是线段𝐴𝐷的中点， ∴𝐷𝑀=𝐴𝑀， 在△𝐷𝐹𝑀和△𝐴𝐺𝑀中，

√31

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{∠𝐹𝐷𝑀=∠𝐺𝐴𝑀𝐷𝑀=𝐴𝑀， ∠𝐷𝑀𝐹=∠𝐴𝑀𝐺

∴△𝐷𝐹𝑀≌△𝐴𝐺𝑀(𝐴𝑆𝐴)， ∴𝐷𝐹=𝐴𝐺， ∵𝐷𝐸//𝐴𝐶，

∴△𝐵𝐸𝐹∽△𝐵𝐴𝐺，△𝐵𝐸𝐷∽△𝐵𝐴𝐶， ∴𝐸𝐹

𝐵𝐸

𝐵𝐸

𝐵𝐷

𝐴𝐺=𝐴𝐵，𝐴𝐵=𝐵𝐶， ∴

𝐸𝐹𝐵𝐸2𝐷𝐹=

𝐴𝐵

=

𝐵𝐷𝐵𝐶

=

2√33√3=3

；

(3)如图，

∵△𝐶𝐺𝐸为直角三角形， ∴∠𝐶𝐺𝐸=90°，

又∵𝐸𝐷⊥𝐵𝐶，∠𝐴𝐶𝐵=90°， ∴四边形𝐷𝐸𝐺𝐶是矩形，

∴𝐸𝐺=𝐶𝐷=√3，𝐷𝐸=𝐶𝐺=2， ∴𝐴𝐺=𝐴𝐶−𝐶𝐺=1， ∵𝐸𝐺//𝐵𝐶， ∴△𝐸𝐹𝐺∽△𝐷𝐹𝐵， ∴𝐸𝐺

𝐸𝐹

1

𝐵𝐷=𝐹𝐷=2， ∴𝐷𝐹=2𝐸𝐹， ∴𝐷𝐹=4

2

3，𝐸𝐹=3， ∵𝐷𝐸//𝐴𝐶， ∴△𝐷𝐹𝑀∽△𝐴𝐺𝑀，

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∴

𝐷𝐹𝐴𝐺=

𝐷𝑀𝐴𝑀34=

1434=， 3∴𝐴𝑀=𝐷𝑀，

∵∠𝐷𝐴𝐶=30°，∠𝐴𝐶𝐷=90°， ∴𝐴𝐷=2𝐷𝐶=2√3， ∴𝐴𝑀+𝐷𝑀=2√3， ∴𝐷𝑀=7．

【解析】(1)由角平分线的性质可求∠𝐷𝐴𝐶=30°，由锐角三角函数可求解；

(2)由“𝐴𝑆𝐴”可证△𝐷𝐹𝑀≌△𝐴𝐺𝑀，可得𝐷𝐹=𝐴𝐺，通过证明△𝐵𝐸𝐹∽△𝐵𝐴𝐺，△𝐵𝐸𝐷∽△𝐵𝐴𝐶，即可求解；

(3)先证四边形𝐷𝐸𝐺𝐶是矩形，可得𝐸𝐺=𝐶𝐷=√3，𝐷𝐸=𝐶𝐺=2，由相似三角形的性质可求𝐷𝐹，𝐷𝑀的长．

本题是三角形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．

8√321.【答案】3

【解析】解：由𝐴𝐹=2𝐷𝐹，可以设𝐷𝐹=𝑘，则𝐴𝐹=2𝑘，𝐴𝐷=3𝑘， ∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是平行四边形， ∴𝐴𝐷//𝐵𝐶，𝐴𝐵//𝐶𝐷，𝐴𝐵=𝐶𝐷， ∴∠𝐴𝐹𝐵=∠𝐹𝐵𝐶=∠𝐷𝐹𝐺，∠𝐴𝐵𝐹=∠𝐺， ∵𝐵𝐸平分∠𝐴𝐵𝐶， ∴∠𝐴𝐵𝐹=∠𝐶𝐵𝐺，

∴∠𝐴𝐵𝐹=∠𝐴𝐹𝐵=∠𝐷𝐹𝐺=∠𝐺， ∴𝐴𝐵=𝐶𝐷=2𝑘，𝐷𝐹=𝐷𝐺=𝑘， ∴𝐶𝐺=𝐶𝐷+𝐷𝐺=3𝑘， ∵𝐴𝐵//𝐷𝐺， ∴△𝐴𝐵𝐸∽△𝐶𝐺𝐸， ∴𝐸𝐺=𝐶𝐺=3𝑘=3， 故答案为：．

23𝐵𝐸

𝐴𝐵

2𝑘

2

2

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由𝐴𝐹=2𝐷𝐹，可以设𝐷𝐹=𝑘，则𝐴𝐹=2𝑘，𝐴𝐷=3𝑘，证明𝐴𝐵=𝐴𝐹=2𝑘，𝐷𝐹=𝐷𝐺=𝑘，再利用相似三角形的性质即可解决问题．

本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．

22.【答案】①④

【解析】解：∵𝑎、𝑏、𝑐、满足

𝑏𝑏𝑎+𝑐=𝑐+𝑏=𝑎+𝑏=𝑘，

𝑏

𝑎𝑐

①当𝑎+𝑏+𝑐=0时，𝑘=𝑎+𝑐=−𝑏=−1，即𝑦=−𝑥，此时点(1,−1)在函数图象上， ②当𝑎+𝑏+𝑐≠0时，𝑘=2𝑎+2𝑏+2𝑐=2，即𝑦=2𝑥，此时点(1,2)在函数图象上， 即在函数图象上的点是①④， 故答案为：①④．

先根据比例的性质和已知求出𝑘的值，再得出函数的解析式，最后再判断即可． 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征和比例的性质，能求出𝑘的值是解此题的关键．

𝑎+𝑏+𝑐

1

1

1

23.【答案】−5，−3，−2

【解析】解：∵𝑥1，𝑥2是一元二次方程4𝑘𝑥2−4𝑘𝑥+𝑘+1=0的两个实数根，

22

∴{△=16𝑘−16𝑘−16𝑘≥0， 4𝑘≠0

∴𝑘<0，

∴𝑥1+𝑥2=1，𝑥1𝑥2=∴

𝑥1𝑥2

𝑥+𝑥21

𝑘+1

， 4𝑘

−2=

2𝑥21+𝑥2−2𝑥1𝑥2

=

(𝑥1+𝑥2)−2𝑥1𝑥2−2𝑥1𝑥2

2

=

1−2𝑘𝑘+14𝑘𝑘+1

−2=𝑘+1−2=𝑘+1，

2𝑘−2−4

由此式子的值为整数，得到𝑘=−5，−3，−2， 故答案为：−5，−3，−2．

由𝑥1，𝑥2是一元二次方程4𝑘𝑥2−4𝑘𝑥+𝑘+1=0的两个实数根，利用根与系数的关系表示出𝑥1+

12𝑥2与𝑥1𝑥2，将𝑥+𝑥−2通分并利用同分母分式的加法法则计算，利用完全平方公式变形后，把表

21

𝑥𝑥

示出𝑥1+𝑥2与𝑥1𝑥2代入，整理后根据此式子的值为整数，即可求出实数𝑘的整数值． 此题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键．

第19页，共27页

24.【答案】4

【解析】解：如图，过点𝐵作𝐵𝐻⊥𝐴𝐶于𝐻，

25

∵𝐵𝐸平分∠𝐶𝐵𝐷， ∴∠𝐷𝐵𝐸=∠𝐶𝐵𝐸， ∵𝐴𝐸=𝐴𝐵， ∴∠𝐴𝐵𝐸=∠𝐴𝐸𝐵，

∵∠𝐴𝐵𝐸=∠𝐴𝐵𝐷+∠𝐷𝐵𝐸，∠𝐴𝐸𝐵=∠𝐶+∠𝐶𝐵𝐸， ∴∠𝐴𝐵𝐷=∠𝐶，

∵∠𝐴𝐵𝐷=∠𝐶，∠𝐴=∠𝐴， ∴△𝐴𝐵𝐷∽△𝐴𝐶𝐵，

∴𝐴𝐵：𝐴𝐷=𝐴𝐶：𝐴𝐵，即：𝐴𝐵⋅𝐴𝐵=𝐴𝐷⋅𝐴𝐶=25， ∴𝐴𝐸=𝐴𝐵=5，

∵∠𝐵𝐴𝐶=30°，𝐵𝐻⊥𝐴𝐶， ∴𝐵𝐻=2，

∴△𝐴𝐵𝐸的面积=×5×=故答案为．

通过证明△𝐴𝐵𝐷∽△𝐴𝐶𝐵，可求𝐴𝐵=𝐴𝐸=5，即可求解．

本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，证明三角形相似是解题的关键．

25412

52

25， 4

5

25.【答案】3

第20页，共27页

【解析】解：如图，过点𝐷作𝐷𝐻⊥𝐵𝐶交𝐵𝐶延长线于点𝐻，延长𝐸𝐹交𝐷𝐻于点𝑀，连接𝐵𝑀，

在菱形𝐴𝐵𝐶𝐷中，∠𝐴=120°，𝐴𝐷//𝐵𝐶， ∴∠𝐴𝐷𝐶=60°， ∵𝐷𝐻⊥𝐵𝐶， ∴∠𝐻𝐷𝐶=30°，

∵𝐷𝐸=𝐷𝐹，∠𝐴𝐷𝐶=60°， ∴△𝐷𝐸𝐹是等边三角形，

∴𝐷𝐸=𝐷𝐹=𝐸𝐹，∠𝐷𝐸𝐹=60°， ∴∠𝑀𝐷𝐹=∠𝐷𝑀𝐹=30°， ∴𝐹𝑀=𝐹𝐷=𝐸𝐹， ∵𝐸𝐺=𝐵𝐺， ∴𝐺𝐹=2𝐵𝑀， ∴当𝐵𝑀最小时𝐹𝐺最小，

根据点到直线的距离垂线段最短可知：𝐵𝑀的最小值等于𝐵𝐻， 在菱形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵=4， ∴𝐴𝐵=𝐵𝐶=𝐶𝐷=4， 在𝑅𝑡△𝐶𝐷𝐻中，∠𝐻𝐷𝐶=30°， ∴𝐶𝐻=𝐶𝐷=2，

∴𝐵𝐻=𝐵𝐶+𝐶𝐻=4+2=6， ∴𝐵𝑀的最小值为6， ∴𝐹𝐺的最小值为3． 故答案为：3．

过点𝐷作𝐷𝐻⊥𝐵𝐶交𝐵𝐶延长线于点𝐻，延长𝐸𝐹交𝐷𝐻于点𝑀，连接𝐵𝑀，根据菱形的性质证明△𝐷𝐸𝐹𝐵𝑀的最小值等于𝐵𝐻，是等边三角形，当𝐵𝑀最小时𝐹𝐺最小，根据点到直线的距离垂线段最短可知：

1

21

第21页，共27页

在𝑅𝑡△𝐶𝐷𝐻中，∠𝐻𝐷𝐶=30°，求出𝐶𝐻的长，进而可得𝐵𝑀的长，可得结论．

本题考查了菱形的性质，最短路线问题，三角形中位线定理等知识点．解决本题的关键是准确作出辅助线．

26.【答案】解：(1)设10月份到12月份大葱的批发价格的月平均增长率为𝑥，

依题意得：5(1+𝑥)2=7.2，

解得：𝑥1=0.2=20%，𝑥2=−2.2(不合题意，舍去)． 答：10月份到12月份大葱的批发价格的月平均增长率为20%．

(2)设大葱的销售价格降低𝑦元，则每公斤的销售利润为10−𝑦−7.2=(2.8−𝑦)元，每天的销售量为500+0.1×40=(500+400𝑦)公斤， 依题意得：(2.8−𝑦)(500+400𝑦)=10， 整理得：20𝑦2−31𝑦+12=0， 解得：𝑦1=0.75，𝑦2=0.8， 又∵要最大限度让利于顾客， ∴𝑦=0.8．

答：当大葱的销售价格降低0.8元时，该超市每天销售大葱的利润为10元．

【解析】(1)设10月份到12月份大葱的批发价格的月平均增长率为𝑥，根据10月份及12月份大葱的批发价格，即可得出关于𝑥的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；

(2)设大葱的销售价格降低𝑦元，则每公斤的销售利润为(2.8−𝑦)元，每天的销售量为(500+400𝑦)公斤，根据每天销售大葱的利润=每公斤的销售利润×每天的销售量，即可得出关于𝑦的值，再结合要最大限度让利于顾客，即可确定𝑦的值．

本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

𝑦

27.【答案】(1)证明：∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷为矩形，

∴∠𝐵=∠𝐶=90°， ∵𝐺𝐸⊥𝐴𝐺，

∴∠𝐴𝐺𝐵+∠𝐶𝐺𝐹=90°，∠𝐵𝐴𝐺+∠𝐴𝐺𝐵=90°， ∴∠𝐵𝐴𝐺=∠𝐶𝐺𝐹， ∴△𝐴𝐵𝐺∽△𝐺𝐶𝐹；

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(2)证明：如图所示，连接𝐴𝐶，交𝐺𝐸于𝑀点，

∵𝐺𝐸=2𝐴𝐺，𝐵𝐶=2𝐴𝐵， ∴𝐵𝐶=𝐴𝐵，

又∵∠𝐴𝐺𝐸=∠𝐵=90°， ∴△𝐴𝐺𝐸∽△𝐴𝐵𝐶，

∴∠𝐴𝐸𝐺=∠𝐴𝐶𝐵，即∠𝐴𝐸𝑀=∠𝐺𝐶𝑀， ∵∠𝐴𝑀𝐸=∠𝐺𝑀𝐶， ∴△𝐴𝑀𝐸∽△𝐺𝑀𝐶， ∴

𝐴𝑀𝐺𝑀𝐺𝐸

𝐴𝐺

=

𝑀𝐸， 𝑀𝐶

又∵∠𝐴𝑀𝐺=∠𝐸𝑀𝐶， ∴△𝐴𝑀𝐺∽△𝐸𝑀𝐶， ∴∠𝐴𝐺𝑀=∠𝐸𝐶𝑀=90°， 即：∠𝐵𝐶𝐷=∠𝐸𝐶𝑀=90°， ∴∠𝐴𝐶𝐵=∠𝐷𝐶𝐸， ∴∠𝐷𝐶𝐸=∠𝐴𝐸𝐺；

(3)解：如图，过点𝐸作𝐸𝐻⊥𝐵𝐶的延长线于𝐻点，设𝐵𝐺=𝑥，

∵𝐹𝐶//𝐸𝐻， ∴△𝐺𝐶𝐹∽△𝐺𝐻𝐸， ∵△𝐴𝐵𝐺∽△𝐺𝐶𝐹，

∴△𝐴𝐵𝐺∽△𝐺𝐻𝐸，𝐺𝐸=2𝐴𝐺， ∴𝐸𝐻=2𝐵𝐺=2𝑥，𝐺𝐻=2𝐴𝐵=4， 则𝐵𝐻=𝐵𝐺+𝐺𝐻=4+𝑥，

第23页，共27页

∵𝐷𝐶//𝐸𝐻， ∴△𝐷𝐶𝐵∽△𝐸𝐻𝐵， ∴

𝐷𝐶𝐵𝐶2𝑥

=

𝐸𝐻𝐵𝐻1

=，

12∴4+𝑥=2， 解得：𝑥=，

经检验，𝑥=是原分式方程的解，

3∴𝐵𝐺的长为．

【解析】(1)根据两组对应角相等的三角形相似进行判定即可；

(2)连接𝐴𝐶，交𝐺𝐸于𝑀点，先证明△𝐴𝐺𝐸∽△𝐴𝐵𝐶得∠𝐴𝐸𝐺=∠𝐴𝐶𝐵，进一步证得△𝐴𝑀𝐸∽△𝐺𝑀𝐶和△𝐴𝑀𝐺∽△𝐸𝑀𝐶，得到∠𝐸𝐶𝑀=90°，最终根据余角性质推出∠𝐴𝐶𝐵=∠𝐷𝐶𝐸，即可得证； (3)过点𝐸作𝐸𝐻⊥𝐵𝐶的延长线于𝐻点，设𝐵𝐺=𝑥，根据△𝐴𝐵𝐺∽△𝐺𝐻𝐸，分别表示出𝐸𝐻、𝐵𝐻，再通过△𝐷𝐶𝐵∽△𝐸𝐻𝐵建立方程求解并检验即可．

本题主要考查相似三角形的判定与性质综合，熟练掌握并灵活运用相似三角形的各种判定方法是解题关键．

4344328.【答案】解：(1)∵直线𝑦=2𝑥+4与𝑥轴交于点𝐴，与𝑦轴交于点𝐵，

∴𝐴(−2,0)，𝐵(0,4)， ∴𝑂𝐴=2，𝑂𝐵=4， ∵𝑆△𝐴𝐵𝐶=2⋅𝐴𝐶⋅𝑂𝐵=10， ∴𝐴𝐶=5， ∴𝑂𝐶=3， ∴𝐶(3,0)，

3𝑘+𝑏=0

, 设直线𝐵𝐶的解析式为𝑦=𝑘𝑥+𝑏，则有{

𝑏=4∴{𝑘=−3． 𝑏=4

∴直线𝐵𝐶的解析式为𝑦=−𝑥+4．

3

(2)∵𝐹𝐴=𝐹𝐵，𝐴(−2,0)，𝐵(0,4)，

4

41

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∴𝐹(−1,2)， 设𝐺(0,𝑛)，

𝑄作该直线的垂线，如图2−1中，点𝑄落在𝐵𝐶上时，过𝐺作直线平行于𝑥轴，过点𝐹，①当𝑛>2时，垂足分别为𝑀，𝑁．

∵四边形𝐹𝐺𝑄𝑃是正方形，易证△𝐹𝑀𝐺≌△𝐺𝑁𝑄， ∴𝑀𝐺=𝑁𝑄=1，𝐹𝑀=𝐺𝑁=𝑛−2， ∴𝑄(𝑛−2,𝑛−1)，

∵点𝑄在直线𝑦=−𝑥+4上，

3∴𝑛−1=−(𝑛−2)+4， ∴𝑛=7，

∴𝐺(0,

23

43

4

23). 7

②当𝑛<2时，如图2−2中，同法可得𝑄(2−𝑛,𝑛+1)，

∵点𝑄在直线𝑦=−𝑥+4上，

3∴𝑛+1=−3(2−𝑛)+4，

4

4

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∴𝑛=−1， ∴𝐺(0,−1)．

综上所述，满足条件的点𝐺坐标为(0,

(3)如图3中，设𝑀(𝑚,−𝑚+4)，

3

4

23

)或(0,−1)． 7

∵𝑆△𝐴𝑀𝐵=𝑆△𝐴𝑂𝐵， ∴𝑆△𝐴𝐵𝐶−𝑆△𝐴𝑀𝐶=𝑆△𝐴𝑂𝐵，

∴×5×4−×5×(−𝑚+4)=×2×4， ∴𝑚=5， ∴𝑀(,

612

)， 553

3

612124312∴直线𝐴𝑀的解析式为𝑦=𝑥+，

42作𝐵𝐸//𝑂𝐶交直线𝐴𝑀于𝐸，此时𝐸(

10

,4)， 3191

，𝐷1(−,0)， ,0)33当𝐶𝐷=𝐵𝐸时，可得四边形𝐵𝐶𝐷𝐸，四边形𝐵𝐸𝐶𝐷1是平行四边形，可得𝐷(根据对称性可得点𝐷关于点𝐴的对称点𝐷2(−综上所述，满足条件的点𝐷的坐标为(

31

,0)也符合条件， 319131

或(−,0)或(−,0)． ,0)333【解析】本题考查坐标与图形性质，一次函数与坐标轴的交点，待定系数法求一次函数解析式，正方形的性质，平行四边形的判定，面积法，

(1)利用三角形的面积公式求出点𝐶坐标，再利用待定系数法即可解决问题．

(2)分两种情形：①当𝑛>2时，如图2−1中，点𝑄落在𝐵𝐶上时，过𝐺作直线平行于𝑥轴，过点𝐹，

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𝑄作该直线的垂线，垂足分别为𝑀，𝑁.求出𝑄(𝑛−2,𝑛−1).②当𝑛<2时，如图2−2中，同法可得𝑄(2−𝑛,𝑛+1)，利用待定系数法即可解决问题．

(3)利用三角形的面积公式求出点𝑀的坐标，求出直线𝐴𝑀的解析式，作𝐵𝐸//𝑂𝐶交直线𝐴𝑀于𝐸，此时𝐸(

10

,4)，当𝐶𝐷31

=𝐵𝐸时，可得四边形𝐵𝐶𝐷𝐸，四边形𝐵𝐸𝐶𝐷1是平行四边形，可得𝐷(

19

,0)，3𝐷1(−3,0)，再根据对称性可得𝐷2解决问题．

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