2018-2019学年陕西省西安市第一中学高二上学期期末考试数学(理)试卷

陕西省西安市第一中学2018-2019学年高二上学期期末考试

数学（理）试题

★祝考试顺利★ 注意事项：

1、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

2、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

3、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

5、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。 6、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：(本大题共14小题，每小题5分，共70分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的.)

1.复数

在复平面内对应的点位于( )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】

利用复数代数形式的乘除运算化简求出坐标得答案． 【详解】解：∵∴复数故选：C．

【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题． 2.已知集合

在复平面内对应的点的坐标为（

，

），位于第三象限．

A. B. C. D.

【答案】B 【解析】 【分析】

求出集合的等价条件，根据集合的基本运算进行求解即可． 【详解】集合集合∴故选：B

【点睛】本题主要考查集合的基本运算，考查指数函数的单调性，比较基础．

3.如图所示是一容量为100的样本的频率分布直方图，则由图形中的数据，样本落在[5,10]内的频数为( )

,

,

A. 50 B. 40 C. 30 D. 20 【答案】D 【解析】 【分析】

计算出第一个小矩形的面积，即得出这一组的频率，用频率与样本容量100相乘得到这一组的频数．

【详解】解：如图，第一个小矩形的面积为0.04×5＝0.2， 100＝20， 样本落在[5,10]内的频数为0.2×故选：D．

【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，矩形的面积表示此组的频率，属于基础题. 4.已知变量与正相关，且由观测数据算得样本平均数得的线性回归方程可能是

，

，则由该观测的数据算

A. C. 【答案】A 【解析】

B. D.

试题分析：因为与正相关，排除选项C、D，又因为线性回归方程恒过样本点的中心

，故排除选项B；故选A．

考点：线性回归直线.

【此处有视频，请去附件查看】

5.下列命题中正确的个数是( ) ①命题“任意②命题“若

，则

”的否定是“任意”的逆否命题是真命题；

；

③若命题为真，命题为真，则命题且为真； ④命题“若

，则

”的否命题是“若

，则

”.

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】

①根据含有量词的命题的否定进行判断，②根据逆否命题的等价性进行判断， ③根据复合命题真假关系进行判断，④根据否命题的定义进行判断．

xx

【详解】①命题“任意x∈（0，+∞），2＞1”的否定是“存在x∈（0，+∞），2≤1”；故

①错误； ②命题“若

，则

”为假命题，故其逆否命题也为假命题，故②错误；

③若命题p为真，命题￢q为真，则q为假命题，则命题p且q为假命题．故③错误； ④命题“若故选：B

【点睛】本题主要考查命题的真假判断，涉及四种命题之间的关系，复合命题，含有量词的命题的否定，综合性较强，但难度不大． 6.曲线

在点

处的切线方程是（ ）

，则

”的否命题是“若

，则

”正确，故④正确；

A. 【答案】B 【解析】 试题分析：

B. C. D.

，当时，，所以切线方程是

，整理为

考点：导数的几何意义 【此处有视频，请去附件查看】 7.由曲线A.

,直线

，故选B.

及轴所围成的平面图形的面积为( ). D. 6

B. 4 C.

【答案】C 【解析】 解析：作出曲线

，直线y＝x－2的草图(如图所示)，所求面积为阴影部分的面积．由

得交点A(4，2)．

因此

与y＝x－2及y轴所围成的图形的面积为：

.

本题选择C选项.

点睛：利用定积分求曲线围成图形的面积的步骤：(1)画出图形；(2)确定被积函数；(3)确定积分的上、下限，并求出交点坐标；(4)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积． 8.已知A. 若

表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是（ ） ，

，则

B. 若

，

，则

C. 若【答案】D 【解析】 【分析】

，则 D. 若，，则

画一个正方体，利用正方体中的线线、线面关系说明ABC都不对． 【详解】在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中：令底面A′B′C′D′＝

A、令m＝AA′，n＝A′B′，满足m⊥，m⊥n，但n∥不成立， A错误； B、令m＝AB，n＝AD，满足m∥，m⊥n，但n⊥不成立， B错误； C、令m＝AB，n＝BC，满足m∥，n∥，但m∥n不成立，C错误； 故选：D．

【点睛】本题主要考查立体几何的线面平行、线面垂直的关系，画图处理这方面的选择题，可以说是事半功倍，本题属于基础题． 9.“

”是“

”的（ ）

A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】

根据不等式之间的关系结合充分条件和必要条件的定义即可得到结论． 【详解】解：由若“故“故选：C．

”，则“

”是“

，解得x＞﹣1，此时 “”成立，即必要性成立，

”的必要不充分条件，

”不成立，即充分性不成立，

【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式之间的关系是解决本题的关键．

10.在同一直角坐标系中，函数

的图像可能是（ ）

A. B.

C. D.

【答案】B 【解析】

试题分析：解:A图显示C图中指数函数图象下降，显示错误的；

D图中指数函数的图象上升，显示是错误的； 因为函数

与函数

互为反函数，它们的图象应关于直线

对称，所以B图

，对数函数的图象下降，显示

，两者矛盾，

的定义域为

是错误的；

，两者矛盾，是

，对数函数的图象上升，显示

是正确的，故选B.

考点：1、指数函数与对数函数的图象；2、互数反函数的两个函数图象间的关系. 11.从区间

随机抽取个数,，…，，，，…，，构成n个数对

，

，…，

，其中两数的平方和小于1的数对共有个，则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为（ ） A.

B.

C.

D.

【答案】B 【解析】

【分析】

以面积为测度，建立方程，即可求出圆周率π的近似值．

2

【详解】由题意，两数的平方和小于1，对应的区域的面积为π•1，从区间[0，1】随机抽

取2n个数x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn，构成n个数对（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，

2yn），对应的区域的面积为1．

∴

∴π．

故选：B．

【点睛】古典概型和几何概型是我们学习的两大概型，古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，而不能列举的就是几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积和体积的比值得到． 12.已知

是定义域为的奇函数，满足

( )

A. -2019 B. 0 C. 2 D. 2019 【答案】B 【解析】 【分析】

由题意可得函数f（x）为周期为4的周期函数，f （1）＝2，f（2）＝0，f（3）＝﹣2，f（4）＝0，由此能求出f （1）+f （2）+f （3）+…+f （2019）的值． 【详解】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，满足

．

．若

，则

∴函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，则有f（﹣x）＝f（x+2）， 又由函数f（x）为奇函数，则f（﹣x）＝﹣f（x），则有f（x）＝f（x+4）， 则函数f（x）为周期为4的周期函数，

∵f （0）＝0，f （1）＝2， ∴f（2）＝f（0+2）＝﹣f（0）＝0，

f（3）＝f（1+2）＝﹣f（1）＝﹣2，f（4）＝f（0）＝0， ∴f （1）+f （2）+f （3）+…+f （2019）

[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（1）+f（2）+f（3） ＝504×

0+2+0﹣2 ＝504×＝0． 故选：B．

【点睛】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 13.如图，已知双曲线上的一点，

与轴交于点

的左右焦点分别为的内切圆在边

,

，是双曲线右支

，则双曲线的

上的切点为，若

离心率是 ( )

A. 2 B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】

由|PQ|＝1，△APF1的内切圆在边PF1上的切点为Q，根据切线长定理，可得|PF1|﹣|PF2|＝2，结合|F1F2|＝4，即可得出结论．

【详解】由题意，∵|PQ|＝1，△APF1的内切圆在边PF1上的切点为Q， ∴根据切线长定理可得AM＝AN，F1M＝F1Q，PN＝PQ， ∵|AF1|＝|AF2|，

∴AM+F1M＝AN+PN+NF2，

∴F1M＝PN+NF2＝PQ+PF2

∴|PF1|﹣|PF2|＝F1Q+PQ﹣PF2＝F1M+PQ﹣PF2＝PQ+PF2+PQ﹣PF2＝2PQ＝2， ∵|F1F2|＝4，

∴双曲线的离心率是e＝＝2． 故选：A．

【点睛】本题考查双曲线的离心率，考查三角形内切圆的性质，考

查切线长定理，考查学生的计算能力，属于中档题. 14.已知设

为

是定义在区间的导函数，，则函数

内的单调函数，且对任意

的零点个数为（ ）

，都有

，

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】

设t＝f（x）﹣lnx，则f（x）＝lnx+t，又由f（t）＝e+1，求出f（x）＝lnx+e，从而求出g（x）的解析式，根据函数单调性求出函数的零点个数即可． 【详解】对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣lnx]＝e+1，

又由f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，则f（x）﹣lnx为定值， 设t＝f（x）﹣lnx，则f（x）＝lnx+t，

又由f（t）＝e+1，即lnt+t＝e+1，解得：t＝e， 则f（x）＝lnx+e，f′（x）＝＞0，

故g（x）＝lnx+e﹣，则g′（x）＝+＞0， 故g（x）在（0，+∞）递增，

而g（1）＝e﹣1＞0，g（）＝﹣1＜0， 存在x0∈（，1），使得g（x0）＝0，

故函数g（x）有且只有1个零点， 故选：B．

【点睛】本题考查导数的运算和零点存在性定理的应用，关键是通过换元求出f（x）解析式，属于中档题．

二.填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分.请把答案填写在答题纸的相应横线上.）

15.一组数据的平均数是28，方差是4，若将这组数据中的每一个数据都加上20，得到一组新数据，则所得新数据的平均数是__________，方差是__________． 【答案】 (1). 48 (2). 4 【解析】 【分析】

设该组数据为x1，x2，…，xn；则新数据为x1+20，x2+20，…，xn+20；从而分别求平均数与方差，比较即可．

【详解】设该组数据为x1，x2，…，xn；则新数据为x1+20，x2+20，…，xn+20； ∵∴∵S2

[（x1

2

）+（x2

28，

20+28＝48，

2

）+…+（xn

2

）]，

[（x1+20﹣（

2

20））+（x2+20﹣（2

20））+…+（xn+20﹣（2

20））]，

2

＝S＝4，

故答案为：48,4．

【点睛】本题考查了平均数与方差的性质，考查了计算能力，属于基础题. 16.在【答案】 【解析】 【分析】

在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于-1，求出r的值，即可求得结果． 【详解】

的展开式的通项为C5rx5﹣r（﹣1）r

，

的展开式中，的系数为____________.

令5﹣＝-1求得 r＝4， ∴的系数为故答案为：．

【点睛】本题考查二项展开式通项公式的应用，考查展开式中某项系数的求法，属于简单题．

17.从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有_____________种．（用数字填写答案） 【答案】16 【解析】

分析：首先想到所选的人中没有女生，有多少种选法，再者需要确定从6人中任选3人总共有多少种选法，之后应用减法运算，求得结果. 详解：根据题意，没有女生入选有

从6名学生中任意选3人有

种选法， 种选法，

＝

故至少有1位女生入选，则不同的选法共 有

种，故答案是16.

点睛：该题是一道关于组合计数的题目，并且在涉及到“至多、至少”问题时多采用间接法，一般方法是得出选3人的选法种数，间接法就是利用总的减去没有女生的选法种数，该题还可以用直接法，分别求出有1名女生和有两名女生分别有多少种选法，之后用加法运算求解. 18.已知正方体的棱长为1,则以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】

由题意可得，以正方体所有面的中心为顶点的多面体为正八面体，也可以看作是两个正四棱锥的组合体，每一个正四棱锥的侧棱长与底面边长均为，求出一个正四棱锥的高，再由棱锥体积公式求解．

【详解】解：如图，以正方体所有面的中心为顶点的多面体为正八面体，

也可以看作是两个正四棱锥的组合体，每一个正四棱锥的侧棱长与底面边长均为．

则其中一个正四棱锥的高为h．

∴该多面体的体积V故答案为：．

．

【点睛】本题考查多面体体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，是中档题． 19.某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.8，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是________． 【答案】【解析】 【分析】

p＝0.6，由此解得p的值． 设随后一天的空气质量为优良的概率为p，则由题意可得0.8×

p＝0.6， 【详解】解：设随后一天的空气质量为优良的概率为p，则由题意可得0.8×解得p＝故选：

， ．

【点睛】本题主要考查相互事件的概率乘法公式的应用，属于基础题． 20.设直线与抛物线

相交于

两点，与圆

相切于点，且为线段

的中点. 若这样的直线恰有4条，则的取值范围是__________. 【答案】（2，4） 【解析】 设直线的方程为

，

，

把直线的方程代入抛物线方程则

，

，

，整理可得：

则线段

的中点

与直线

，整理得

代入到，即

的距离等于半径

垂直，且

由题意可得直线当即把可得

时，有

由于圆心到直线即

，此时满足题意且不垂直于轴的直线有两条

当

时，这样的直线恰有条，即

综上所述，若这样的直线恰有条，则的取值范围是

，

点睛：本题主要考查的知识点是直线与抛物线，圆的位置关系，考查了学生分析解决问题的能力，属于中档题。设直线的方程为物线方程

，根据判别式求得线段

，

，

，把直线的方程代入抛

时，

时的取值

的中点的坐标，分别讨论

范围，即可得到答案

三、解答题：（本大题共4小题，共50分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

21.某地最近出台一项机动车驾照考试规定：每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会，一旦某次考试通过，便可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止．如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6, 0.7, 0.8, 0.9.

（1）求在一年内李明参加驾照考试次数的分布列和数学期望； （2）求李明在一年内领到驾照的概率． 【答案】李明实际参加考试次数ξ的分布列为 ξ 1 2 3 4 P

0.6 0.28 0.096 0.024 在一年内领到驾照的概率为0.9976 【解析】

试题分析：的取值分别为1，2，3，4.

，表明李明第一次参加驾照考试就通过了，故P（，表明李明在第一次考试未通过，第二次通过了，故ξ=3，表明李明在第一、二次考试未通过，第三次通过了， 故

）=0.6.

ξ=4，表明李明第一、二、三次考试都未通过，故

∴李明实际参加考试次数ξ的分布列为 ξ P

李明在一年内领到驾照的概率为 1－(1－0.6)(1－0.7)(1－0.8)(1－0.9)=0.9976.

考点：本小题主要考查随机变量分布列的求法和随机事件的概率的求法，考查学生应用概率知识解决实际问题的能力.

点评：随机变量的分布列是一个重要的考点，几乎每年高考都会涉及，要仔细计算，并会应用随机变量分布列的性质检验分布列是否正确.

22. 如图，四棱锥P−ABC中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点.

1 0.6 2 0.28 3 0.096 4 0.024

（Ⅰ）证明MN∥平面PAB;

（Ⅱ）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值. 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）【解析】

试题分析：（Ⅰ）取从而得到

的中点，然后结合条件中的数据证明四边形

为平行四边形，

的方向

．

，由此结合线面平行的判定定理可证；（Ⅱ）以为坐标原点，

的方向向量与平面

为轴正方向,建立空间直角坐标系，然后通过求直线夹角的余弦值来求解

与平面

所成角的正弦值．

.

，由，四边形，，连结

平面.由

.

为

中点知

的法向量的

试题解析：（Ⅰ）由已知得取又因为（Ⅱ）取

的中点，连接

，故平面的中点

，

. . ，从而

.

为平行四边形，于是，所以

得

平面

，且

以为坐标原点，知，

，

的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.由题意

，，，

，

设

为平面

，

的一个法向量，则

.

即

可取于是

.

.

【考点】空间线面间的平行关系，空间向量法求线面角．

【技巧点拨】（1）证明立体几何中的平行关系，常常是通过线线平行来实现，而线线平行常常利用三角形的中位线、平行四边形与梯形的平行关系来推证；（2）求解空间中的角和距离常常可通过建立空间直角坐标系，利用空间向量中的夹角与距离来处理． 【此处有视频，请去附件查看】

23.已知椭圆：为1.

（1）求椭圆的方程； （2）设是椭圆上一点，直线为定值. 【答案】（1）【解析】

试题分析：（Ⅰ）根据离心率为

，即

，

OAB的面积为1，即

，椭圆中的值，求其乘积

；（2）详见解析.

与轴交于点，直线

与轴交于点，求证：

（

）的离心率为，

，

，

，

的面积

列方程组进行求解；（Ⅱ）根据已知条件分别求出

为定值.

试题解析：（Ⅰ）由题意得解得.

所以椭圆的方程为.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，设

，则

.

，

当时，直线的方程为.

令，得，从而.

直线的方程为.

令，得，从而.

所以

. 当所以综上，

时，

. 为定值.

，

【考点】椭圆方程、直线与椭圆的位置关系、运算求解能力

【名师点睛】解决定值、定点的方法一般有两种：(1)从特殊入手，求出定点、定值、定线，再证明定点、定值、定线与变量无关；(2)直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去

变量，从而得到定点、定值、定线.应注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元思想的运用可有效地简化运算. 【此处有视频，请去附件查看】

24.设函数f(x)=ax2-a-lnx，其中a ∈R. （I）讨论f(x)的单调性；

（II）确定a的所有可能取值，使得然对数的底数)。 【答案】(1) 当调递增;(2) 【解析】

试题分析：本题考查导数的计算、利用导数求函数的单调性，解决恒成立问题，考查学生的分析问题、解决问题的能力和计算能力.第（Ⅰ）问，对断函数

求导，再对a进行讨论，从而判

.

时，

<0，

单调递减；当

时，

>0，

单

在区间（1，+∞）内恒成立(e=2.718…为自

的单调性；第（Ⅱ）问，利用导数判断函数的单调性，从而证明结论.

在

. <0，>0，=

单调递减； 单调递增. .

内单调递减.

试题解析：（Ⅰ）

由

此时，当当

=. 时，在区间=0，有时，时，在区间

>0，

内单调递增. >0， >0. =

.

<0，

=0，有

时，时，，

（Ⅱ）令则而当所以又由从而当当故当

，>=

内恒成立时，必有.

当时，>1.

,从而

，

内不恒成立. ，

由（Ⅰ）有所以此时当

>

在区间

时，令

当时，

在区间，所以当.

单调递增. 时，

，即

，

因此，又因为综上，

恒成立.

【考点】导数的计算，利用导数求函数的单调性，解决恒成立问题

【名师点睛】本题考查导数的计算，利用导数求函数的单调性，解决恒成立问题，考查学生的分析问题、解决问题的能力和计算能力．求函数的单调性，基本方法是求

，再通过

的正负确定

的单调性；要证明不等式

，解方程

的

的极小值

，一般证明

最小值大于0，为此要研究函数的单调性．本题中注意由于函数

没法确定，因此要利用已经求得的结论缩小参数取值范围．比较新颖，学生不易想到，有一定的难度．

【此处有视频，请去附件查看】