概率论课后习题解答

一、习题详解：

1.1 写出下列随机试验的样本空间：

(1) 某篮球运动员投篮时, 连续5 次都命中, 观察其投篮次数; 解：连续5 次都命中，至少要投5次以上，故15,6,7,； (2) 掷一颗匀称的骰子两次, 观察前后两次出现的点数之和; 解：22,3,4,11,12； (3) 观察某医院一天内前来就诊的人数;

解：医院一天内前来就诊的人数理论上可以从0到无穷，所以30,1,2,(4) 从编号为1，2，3，4，5 的5 件产品中任意取出两件, 观察取出哪两件产品; 解：属于不放回抽样，故两件产品不会相同，编号必是一大一小，故： 4i,j1ij5; (5) 检查两件产品是否合格;

解：用0 表示合格, 1 表示不合格，则50,0,0,1,1,0,1,1；

(6) 观察某地一天内的最高气温和最低气温(假设最低气温不低于T1, 最高气温不高于T2); 解：用x表示最低气温, y 表示最高气温;考虑到这是一个二维的样本空间，故： 6x,yT1xyT2；

；

(7) 在单位圆内任取两点, 观察这两点的距离; 解：7x0x2；

(8) 在长为l的线段上任取一点, 该点将线段分成两段, 观察两线段的长度. 解：8x,yx0,y0,xyl；

1.2 设A，B，C 为三事件, 用A;B;C 的运算关系表示下列各事件： (1) A 与B 都发生, 但C 不发生; ABC；

(2) A 发生, 且B 与C 至少有一个发生;A(BC)； (3) A,B,C 中至少有一个发生; ABC； (4) A,B,C 中恰有一个发生;ABCABCABC； (5) A,B,C 中至少有两个发生; ABACBC；

(6) A,B,C 中至多有一个发生;ABACBC； (7) A;B;C 中至多有两个发生;ABC； (8) A,B,C 中恰有两个发生.ABCABCABC ； 注意：此类题目答案一般不唯一，有不同的表示方式。



1.3 设样本空间x0x2, 事件A=x0.5x1,Bx0.8x1.6 具体写出下列各事件：

(1) AB; (2) AB ; (3) AB; (4) AB （1）ABx0.8x1； (2) AB=x0.5x0.8；

(3) AB=x0x0.50.8x2; (4) AB=x0x0.51.6x2

1.4 用作图法说明下列各命题成立： 略

1.5 用作图法说明下列各命题成立： 略

1.6 按从小到大次序排列P(A),P(AB),P(AB),P(A)P(B), 并说明理由.

解：由于ABA,A(AB),故P(AB)P(A)P(AB)，而由加法公式，有：

P(AB)P(A)P(B)

1.7 若W 表示昆虫出现残翅, E 表示有退化性眼睛, 且P(W) = 0.125; P(E) = 0.075, P(WE) = 0.025, 求下列事件的概率： (1) 昆虫出现残翅或退化性眼睛;

(2) 昆虫出现残翅, 但没有退化性眼睛; (3) 昆虫未出现残翅, 也无退化性眼睛.

解：(1) 昆虫出现残翅或退化性眼睛对应事件概率为：

P(WE)P(W)P(E)P(WE)0.175

(2) 由于事件W可以分解为互斥事件WE,WE，昆虫出现残翅, 但没有退化性眼睛对应事件 概率为：P(WE)P(W)P(WE)0.1

(3) 昆虫未出现残翅, 也无退化性眼睛的概率为：P(WE)1P(WE)0.825. 1.8 设A 与B 是两个事件, P(A) = 0.6; P(B) = 0.8。试问： (1) 在什么条件下P(AB) 取到最大值? 最大值是多少? (2) 在什么条件下P(AB) 取到最小值? 最小值是多少?

解：(1) 由于ABA,ABB，故P(AB)P(A),P(AB)P(B),显然当AB时P(AB)

取到最大值。 最大值是0.6.

(2) 由于P(AB)P(A)P(B)P(AB)。显然当P(AB)1时P(AB) 取到最小值，最小值是0.4.

1.9 设P(A) = 0.2, P(B) = 0.3, P(C) = 0.5, P(AB) = 0, P(AC) = 0.1, P(BC) = 0.2, 求事件 A,B,C 中至少有一个发生的概率.

解：因为 P(AB) = 0，故 P(ABC) = 0.A,B,C至少有一个发生的概率为：

P(ABC)P(A)P(B)P(C)P(AB)P(BC)P(AC)P(ABC)0.7

1.10 计算下列各题：

(1) 设P(A) = 0.5, P(B) = 0.3, P(AB) = 0.6, 求P(AB); (2) 设P(A) = 0.8, P(AB) = 0.4, 求P(AB); (3) 设P(AB) = P(A B); P(A) = 0.3, 求P(B)。 解：

（1）通过作图，可以知道，P(AB)P(AB)P(B)0.3 （2）P(AB)1P(AB)1(P(A)P(AB))0.6

(3)由于P(AB)P(AB)1P(AB)1(P(A)P(B)P(AB)) 1P(A)P(B)P(AB)P(B)1P(A)0.7

1.11 把3个球随机地放入4个杯子中，求有球最多的杯子中球数是1，2，3 概率各为多少？ 解：用Ai表示事件“杯中球的最大个数为i个” i=1,2,3。三只球放入四只杯中，放法有

444种，每种放法等可能。

对事件A1：必须三球放入三杯中，每杯只放一球。放法4×3×2种，故P(A1)

(选排列：好比3个球在4个位置做排列)。

对事件A3：必须三球都放入一杯中。放法有4种。(只需从4个杯中选1个杯子，放入此3个球，选法有4种)，故P(A3)3 81319。P(A2)1

1681616

1.12 掷一颗匀称的骰子两次, 求前后两次出现的点数之和为3; 4; 5 的概率各是多少?

解：此题为典型的古典概型，掷一颗匀称的骰子两次基本事件总数为36。.出现点数和为“3”对应两个基本事件（1，2），（2，1）。故前后两次出现的点数之和为3的概率为

1。 18

同理可以求得前后两次出现的点数之和为4，5 的概率各是1.13 在整数0,1,2,9中任取三个数, 求下列事件的概率： (1) 三个数中最小的一个是5; (2) 三个数中最大的一个是5.

11,。 1293解：从10个数中任取三个数，共有C10120种取法，亦即基本事件总数为120。

(1) 若要三个数中最小的一个是5，先要保证取得5，再从大于5的四个数里取两个，取法有

2C46种，故所求概率为

1。 201。 12(2) 若要三个数中最大的一个是5，先要保证取得5，再从小于5的五个数里取两个，取法

2有C510种，故所求概率为

1.14 12只乒乓球中有4 只是白色球, 8 只是黄色球。现从这12 只乒乓球中随机地取出两 只, 求下列事件的概率：

(1) 取到两只黄球; (2) 取到两只白球; (3) 取到一只白球, 一只黄球. 解：分别用A1,A2,A3表示事件：

(1) 取到两只黄球; (2) 取到两只白球; (3) 取到一只白球, 一只黄球.则

216C822814C461P(A1)2,P(A2)2,P(A3)1P(A1)P(A2)。

33C126633C1266111.15 已知P(A)0.7,P(B)0.4，P(AB)0.5, 求P((AB)B). 解：P((AB)B)P((AB)B)P((AB)(BB)) P(B)P(B)P(AB)P(A)P(AB)0.5

P(B)P(B)由于P(BB)0，故P((AB)B)

1.16 已知P(A)0.6,P(B)0.4,P(AB)0.5。 计算下列二式： (1) P(AB);（2）P(AB);

解：（1）P(AB)P(A)P(B)P(AB)1P(B)P(AB)10.40.50.8; （2）P(AB)P(A)P(B)P(AB)1P(B)P(AB)10.40.50.6; 注意：因为P(AB)0.5，所以P(AB)1P(AB)0.5。

1.17 一批产品共20 件, 其中有5 件是次品, 其余为正品。现从这20 件产品中不放回地任 意抽取三次, 每次只取一件, 求下列事件的概率：

(1) 在第一、第二次取到正品的条件下, 第三次取到次品; (2) 第三次才取到次品; (3) 第三次取到次品.

解：用Ai表示事件“第i次取到的是正品”（i1,2,3），则Ai表示事件“第i次取到的是次

()品”（i1,2,3）。PA15。

18153,PA(A)(PA)(1A)212PA20413142141938

(1) 事件“在第一、第二次取到正品的条件下, 第三次取到次品”的概率为：

P(A3A1A2)(2) 事件“第三次才取到次品”的概率为：

1514535 2019182281（3）事件“第三次取到次品”的概率为：

4P(A1A2A3)P(A1)P(A2A1)P(A3A1A2)此题要注意区分事件（1）、(2）的区别，一个是求条件概率，一个是一般的概率。再例如，设有两个产品，一个为正品，一个为次品。用Ai表示事件“第i次取到的是正品”（i1,2）， 则事件“在第一次取到正品的条件下, 第二次取到次品”的概率为：P(A2A1)1；而事件“第二次才取到次品”的概率为：P(A1A2)P(A1)P(A2A1)1。区别是显然的。 2

1.18 有两批相同的产品, 第一批产品共14 件, 其中有两件为次品, 装在第一个箱中; 第二批有10 件, 其中有一件是次品, 装在第二个箱中。今在第一箱中任意取出两件混入到第二箱中, 然后再从第二箱中任取一件, 求从第二箱中取到的是次品的概率。

解：用Ai(i0,1,2)表示事件“在第一箱中取出两件产品的次品数i”。用B表示事件“从第

2112C12C12C2C266241二箱中取到的是次品”。则P(A0)2,P(A1),P(A), 222C1491C1491C1491P(BA0)123P(BA)P(BA)1212，12，12，

328

根据全概率公式，有：

P(B)P(A0)P(BA0)P(A1)P(BA1)P(A2)P(BA2)

1.19 一等小麦种子中混有5%的二等种子和3%的三等种子。已知一、二、三等种子将来长出的穗有50 颗以上麦粒的概率分别为50%, 15% 和10%。假设一、二、三等种子的发芽率相同,求用上述的小麦种子播种后, 这批种子所结的穗有50 颗以上麦粒的概率. 解：设Ai(i1,2,3)表示事件“所用小麦种子为i等种子”，

。 B表示事件“种子所结的穗有50 颗以上麦粒”

则P(A1)0.92,P(A2)0.05,P(A3)0.03,P(BA1)0.5，P(BA2)0.15，

P(BA3)0.1，根据全概率公式，有：

P(B)P(A1)P(BA1)P(A2)P(BA2)P(A3)P(BA3)0.4705

1.20 设男女两性人口之比为51 : 49, 男性中的5% 是色盲患者, 女性中的2.5% 是色盲患者.今从人群中随机地抽取一人, 恰好是色盲患者, 求此人为男性的概率。 解：用B表示色盲，A表示男性，则A表示女性，由已知条件，显然有：

P(A)0.51,P(A)0.49,P(BA)0.05,P(BA)0.025,因此：

根据贝叶斯公式，所求概率为：

P(AB)P(A)P(BA)P(AB)P(AB)102 P(B)P(AB)P(AB)P(A)P(BA)P(A)P(BA)151

1.21 根据以往的临床记录, 知道癌症患者对某种试验呈阳性反应的概率为0.95, 非癌症患者因对这试验呈阳性反应的概率为0.01, 被试验者患有癌症的概率为0.005。若某人对试验呈阳性反应, 求此人患有癌症的概率

解：用B表示对试验呈阳性反应，A表示癌症患者，则A表示非癌症患者，显然有：

P(A)0.005,P(A)0.995,P(BA)0.95,P(BA)0.01,

因此根据贝叶斯公式，所求概率为：

P(AB)P(A)P(BA)P(AB)P(AB)95 P(B)P(AB)P(AB)P(A)P(BA)P(A)P(BA)294

1.22 仓库中有10 箱同一规格的产品, 其中2 箱由甲厂生产, 3 箱由乙厂生产, 5 箱由丙厂生产, 三厂产品的合格率分别为95%; 90% 和96%. (1) 求该批产品的合格率;

(2) 从该10 箱中任取一箱, 再从这箱中任取一件, 若此件产品为合格品, 问此件产品由甲、 乙、丙三厂生产的概率各是多少?

解：设，B1{产品为甲厂生产},B2{产品为乙厂生产},B3{产品为丙厂生产},

A{产品为合格品}，则

（1）根据全概率公式，P(A)P(B1)P(AB1)P(B2)P(AB2)P(B3)P(AB3)0.94，该批产品的合格率为0.94.

（2）根据贝叶斯公式，P(B1A)同理可以求得P(B2A)P(B1)P(AB1)19 P(B1)P(AB1)P(B2)P(AB2)P(B3)P(AB3)942724，因此，从该10 箱中任取一箱, 再从这箱中任取,P(B3A)9447192724一件, 若此件产品为合格品, 此件产品由甲、乙、丙三厂生产的概率分别为：,,。

9494471.23 甲、乙、丙三人地向同一目标各射击一次, 他们击中目标的概率分别为0.7， 0.8 和 0.9，求目标被击中的概率。

解：记A={目标被击中}，则P(A)1P(A)1(10.9)(10.8)(10.7)0.994

1.24 在四次试验中, 事件A 至少发生一次的概率为0.5904, 求在三次试验中, 事件A发生一次的概率.

解：记A4={四次试验，事件A 至少发生一次}，A4={四次试验，事件A 一次也不发生}。而P(A4)0.5904，因此P(A4)1P(A4)P(AAAA)P(A)40.4096。所以

P(A)0.8,P(A1)10.80.2

1三次试验中, 事件A 发生一次的概率为：C3P(A)(1P(A))230.20.0.384。