第九章 欧几里得空间复习指导(新)

第九章 欧几里得空间复习指导

（一）基本内容

1.内积、欧氏空间的概念及其简单性质.

2.向量的长度，两个非零向量的夹角，向量的正交. 3.标准正交基，度量矩阵，正交矩阵及其性质. 4.正交补与影.

5.正交变换，对称变换，实对称矩阵的性质及其对角化. 6.实二次型的标准化. 7.欧氏空间的同构.

（二）主要方法

1.线性空间是否为欧氏空间的判别法. 2.向量的内积﹑长度﹑夹角的求法.

3.欧氏空间的标准正交基的Schimidt正交化求法. 4.正交矩阵的判别方法.

5.判别线性变换为正交变换、对称变换、反对称变换的方法. 6.实对称矩阵通过正交矩阵化为对角矩阵的方法. 7.用正交线性替换化二次型为标准形的方法.

（三）重要习题

例1：判别线性空间是否为欧氏空间. 【验证内积是否满足四条性质】 如：课本P360例1、2.

类似题有：课本P393习题1.

例2：求向量的内积﹑长度﹑夹角等. 如：课本P360习题2、3.

例3：求有限维欧氏空间的标准正交基. 如：课本P369例.

类似题有：课本P393习题4——9.

例4：判别实矩阵为正交矩阵及正交矩阵的性质. 见：课本P370、374.

常见习题：课本P394习题13、P397补充题1——3.

例5：判别线性变换为正交变换、对称变换、反对称变换的方法. 常见习题：课本P395习题15、23、24，P397补充题2——4. 例6：证明实对称矩阵的性质，将实对称矩阵对角化.

【重点：通过正交矩阵化实对称矩阵为对角矩阵】

如：课本P381例.

常见习题：课本P395习题16、17、20——22，P397补充题6.

例7：证明实对称正定矩阵的性质，用正交线性替换化二次型为标准形.

【用正交线性替换化二次型为标准形——这也是重点！】

常见习题：课本P395习题14、18、19，P397补充题10.

思考题：设是欧氏空间V中一单位向量，xR，定义x2(,)，(V) （1）证明是V的线性变换.（2）当x取何值时，是正交变换，并讨论的类型.