中等职业学校数学竞赛试题

说明：本竞赛试题包括第一卷、第二卷两部分，共

A cos1＜sin1＜tan1 B sin1＜cos1＜tan1 C tan1＜sin1＜cos1 D cos1＜tan1＜sin1 10 若θ为第二象限的角，那么 （ ）

27个小题，共

计110分（含10分的附加题），所有答案务必写在第二卷的规定位置 A sin＞0 B con＜0 C tan＞0 D cot＜0

（第Ⅰ卷）

一、选择题 （本大题共15个小题，每小题3分，共45分，把答案写在第Ⅱ卷上） 1 下列表达式正确的是 （ ）

A 0∈Φ B {0}=Φ C Φ{0} D Φ∈{0} 2 设全集I=｛a,b,c,d,e｝, A={a,b,d}, B={b} , 则 (CUA)∪B= A {b} B {a,b} C {a,b,d} D {b,c,e} 3 将二次三项2x2-4x+5式进行配方，正确的结果是 （ ） A 2(x-1)2+3 B (x-1)2+3 C 2(x-1)2+1 D (x-2)2+1 4 一元二次不等式x2-x-2＜0的解集是（ ）

A {xx＜2} B {x2＜x＜1} C {xx＞2或x＜-1} D {x1＜x＜2} 5 若a∈(0,1)，则下列不等式中正确的是（ ）

A a0.6＞a0.5 B a0.6＜a0.5 C loga0.8＞loga0.7 D log10.8＜log10.7

aa6 y= log2x与 y= log 1x的图像关于（ ）对称

2A y轴 B x轴 C 原点 D 直线y=x 7 sinα＜0，tanα＞0 的充要条件是（ ）

A α是第一象限的角 B α是第二象限的角 C α是第三象限的角 D α是第四象限的角 8 三个正数a、b、c成等比数列，则 lga 、lgb、 lgc是（ ） A 等比数列 B 等差数列

C 即是等差数列又是等比数列 D 即是等差数列又是等比数列 9 cos1、sin1、tan1的大小关系是（ ）

222211 下列命题正确的是 （ ）

A 若a＞b，则ac2＞bc2 B 若a＞b，c＞d，则ac＞bd C 若

ac2＞bc2，则a＞b D 若a＞b，则1a＜1b 12 已知偶函数f(x)在(0,+∞)上是增函数，则f(-1)于f(-3)的大小关系是（ ） A f(-1)＜f(-3) B f(-1)＞f(-3) C f(-1)＝f(-3) D 无法比较 13 已知f(ex)=x，则f(5)=（ ）

A e5 B 5x C ln5 D log5e 14 已知函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞，4］上是减函数，

则a实数的取值范围是 ( )

A a≤3 B a≤-3 C a≥-3 D a≥3

15 已知a＞0，若不等式x4+x3＜a在实数集R上的解集不是空集，则a的取值范围是 （ ）

A a＞0 B a＞1 C a≥1 D a＞2

题 答 座号 线 得 不 封 姓名 内 线 密 封 学校 密 德州市中等职业学校数学竞赛试题

（ 第Ⅱ卷）

题号 一 二 三 23 24 25 26 27 总分 得分

一、选择题 （请将第一题选择题答案的题号填在下表） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案

二、填空题 （本大题共7个小题，每小题3分，共21分） 16 二次函数y=x2+4x+3的图像的顶点坐标是 。 17 函数y=log1(2x)的定义域是 。

218

(0.027)13lg310(523)sin5log52= 。

19 在等差数列中,若a2=5，a8=10．则a14的值为 。

20 函数f(x)=4x2

-mx+5在区间[-2,+∞）上是增函数，在区间(-∞,-2)是减函数。 则f(1) = 。

21 首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是 。

22 已知集合A={xx1＜2＝，B={xx1＞1}，则A∩B等于 （用区间表示）

三、解答或证明（本大题共4个小题，共34分） 23．（本小题8分）

设方程x2-px-3=0的解集是A，方程x2+2x+q=0的解集是Ｂ．且A∩B={3} 求 ① q、p的值； ② A∪B

24．（本小题8分）

某商店按批发价每件6元购进一批货，零售价为8元时可卖出100件，如果零售价 高于8元，则一件也卖不出去，如果零售价从8元每降低0.1元则可多卖10件。 ①写出可卖出的件数q与零售价x (6＜x≤8)之间的函数关系式. ②写出所获利润y与零售价x (6＜x≤8)之间的函数关系式. ③试求零售价定为多少时，所获利润最大？最大利润是多少？

密 25．（本小题9分） 已知数列{an}：2logab27．附加题 （本小题10分，计入总分）

、4logab、8logab、¨¨¨、

2nlogab、¨¨¨

某房地产公司 推出的售房有两套方案：一种是分期付款的方案，要求买房户当年首付3万元，然后从第二年起连续10年每年定期付款8000元；另一种方案是一次性付清，优惠价是90000元。若一买房户有现金90000元，可用于购房，又考虑到另有一项投资年收益率为5％，他该用哪种方案购房更合算，请 其中a、b都是大于零的常数，且a≠1

① 求证：数列{an}是等比数列 ② 若数列{an}同时又是等差数列，求b

26．（本小题

9分） 已知函数f(x)是定义在[2，+∞）上的减函数，求实数a的范围，使不等式 f(a2-2)-f(2-3a)＞0成立

说明理由。（参考数据：

1.059≈1.551,1.0510≈1.628）

封 线 密 内 封 不 得 线 答 题 德州市中等职业学校数学竞赛试题参 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 C D A D B A C B A C C A C B 二、填空题 16. (-2，-1) 17 [1，2） 18 2 19 15 20 25 21 （83，3] 22 (-1，0)∪(2，3） 三、解答或证明 22 解：① 根据已知条件得，x=3是方程x2-px-3=0和方程x2+2x+q=0的公共解。 ∴ 32-3p-3=0 且 32+2×3+q=0 ∴p=2，q=-15 ② ∵ A={x x2-px-3=0 }={x x2-2x-3=0 }={-1，3} B={x x2+2x+q=0 }={x x2+2x-15=0 }={-5，3} ∴ A∪B={-1，-5，3} 23 解 ① q=100+8x0.1×10=100+100(8-x)=900-100x (6＜x≤8) ② y=(x-6)(900-100x)=-100x2+1500x-5400 (6＜x≤8) ③ 对于函数y=-100x2+1500x-5400 当x=15002(100)=7.5元时，ymax=(7.5-6)(900-100×7.5)=225元 所以定价为7.5元时，所获利润最大，最大利润为225元。 24 ① 证明：根据已知条件an=2nlogab ∴ 对于n∈N+ 都an1logabn1=

21)logabnlogab]aab=

2[(n=2logab(常数)

n2nlog15 ∴数列{an}是等比数列

B ② ∵ 数列{an}既是等比数列又是等差数列，∴{an}是非零常数列， ∴ 2logab≠0 且

2loagb=4logab=

(2logab)2 ∴

2logab=1 ∴ logab=0 ∴ b=1

25 解：根据题意知

a2-2≥2 ① （1） 2-3a≥2 ②

a2-2＜2-3a ③

由①得a2≥4 ∴a≤-2 或 a≥2 由②得 a≤

43 由③得 a2+3a-4＜0 ∴-4＜a＜1

∴ 不等式（1）的解集为{aa≤-2或a≥2}∩{aa≤43}∩{a-4附加题 解：如果分期付款，到第十一年付清后看其是否有结余，设首次付款后第n年的

结余数为an，

∵a1=(9－3)×(1＋0.5%)－0.8=6×1.05－0.8

a2=(6×1.05－0.8)×1.05－0.8=6×1.052－0.8×(1＋1.05) ……

a10=6×1.0510－0.8(1＋1.05＋…＋1.059)

10

1.0510=6×1.05－0.8×11.051

有=6×1.0510－16×(1.0510－1)

=16－10×1.0510≈16－16.28=－0.28(万元) 所以一次性付款合算