第３３卷 第３期 高师理科学刊 Ｖｏ１．３３ Ｎｏ．３ ２０１３焦 ５月 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅ ｏｆ Ｔｅａｃｈｅｒｓ Ｃｏｌｌｅｇｅ ａｎｄ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ Ｍａｖ ２０１３ 文章编号：１００７—９８３１（２０１３）０３—００４２—０４ 数学变换思想在微积分中的应用 高玉芹 （山东服装职业学院信息工程系，山东泰安２７１０００） 摘要：数学变换思想是解决数学问题的重要思想方法，研究了数学变换方法，给出了常见的七种 变换在微积分中的应用． 关键词：数学变换；微积分；变换式 中图分类号：Ｏ１７：Ｇ６４２．０ 文献标识码：Ａ ｄｏｉ：１０．３９６９￣．ｉｓｓｎ．１００７—９８３１．２０１３．０３．０１４ Ｔｈｅ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｔｈｏｕｇｈｔ ｔｏ ｃａｌｃｕｌｕｓ ＧＡＯ Ｙｕ－ｑｉｎ （ＤｅｐａｒｔｍｅｎｔｏｆＩｎｆｏｒｍａｔｉｏｎＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，ＳｈａｎｄｏｎｇＶｏｃａｔｉｏｎａｌＣｏｌｌｅｇｅｏｆＣｌｏｔｈｉｎｇ，Ｔａｉａｎ２７１０００，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｈｔｏｕｇｈｔ ｉｓ ｈｔｅ ｉｍｐｏｒｔａｎｔ ｔｈｉｎｋｉｎｇ ｍｅｔｈｏｄ ｔｏ ｓｏｌｖｅ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ ｐｒｏｂｌｅｍｓ， ｓｔｕｄｉｅｄ ｈｔｅ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄｓ，ａｎｄ ｇａｖｅ ｈｔｅ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ ｃｏｍｍｏｎ ｓｅｖｅｎ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄｓ ｉｎ ｃａｌｃｕｌｕｓ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ；ｃａｌｃｕｌｕｓ；ｔｒａｎｓｆｏｒｍ 数学变换思想就是在研究和解决数学问题时采用迂回的手段，将较复杂的、难解决的、未解决的问题 先进行变换，使之转化成简单的、容易的、已解决的问题，从而达到解决原问题的目的ｕ ．其解决问题的 思维过程见图１． Ｉｌ Ｒ Ｔ（变换） Ｒ Ｉ （问题） （问题 ） ｌ １ ｒ １ ｒ Ｒ Ｔ （逆变换） Ｒ｝ （解） （解 ） 图１数学变换思想解决问题的结构框图 数学变换思想是解决数学问题的一种重要的思想方法，是数学思维方法的重要组成部分，其在数学问 题中的应用非常灵活、广泛． １恒等变换 恒等变换就是通过使用各种代数式、三角式的恒等变形将复杂问题转化为较易解决的简单问题的一种 收稿日期：２０１３－－０１—２０ 作者简介：高玉芹（１９６７一），女，山东泰安人，副教授，硕士，从事数学教育研究．Ｅ ａｉｌ：ｌａｏｂａｎｓｄ＠ｓｏｈｕ． ０ｍ 第３期 高玉芹：数学变换思想在微积分中的应用 ４３ 方法怛 ．在求函数的极限、导数和积分中经常使用 解 例１ 求 根 据 ｎ ２一ｍ—ｌ Ｉ，， ｃｏｓ 篆２， ＂￣ｔ＝ｔａｎ主 ：，则ｓｉｎ ， ２ｔ一一 ｃｏｓ ｜－ｔ２．，又因 ：ｄｘ＝＿ ｄｔ，从而 １＋ｔ ２ ＝（告ｔａｎ ｃ． ＝ ＝２ａｒｃｔａｎ（ 号ｒ）＋ｃ，再经ｔａｎ ＝，变换，得 ２ａｒｃｔａｎ２分割变换 分割变换是将要解决的复杂问题分割成ｎ个部分，逐一解决，然后再合并为一个整体，从而达到问题 的解决．微积分中重要的定积分概念，就是经过“化整为零”再“积零为整”的迂回过程形成的． 例２（多元函数极值存在的必要条件）若，ｚ元函数ｚ＝，（ ，ｘ２，…，Ｘｎ）在点Ｚｏ＝（ ， ，…， ）处 有极值，且在点ｚ。＝（ ， ，…， ）处的，ｚ个偏导数存在，则 （ ， ，…， ）＝０， （ ， ，…， ）＝ ０，…， 《 ， ，…， ）＝０． 例２实质上是将一个多元函数极值的必要条件的判定，分割成ｎ个一元函数极值的判定． ３映射变换 映射变换是通过构造适当映射将复杂问题转化为较简单问题，再通过逆映射解决原问题的一种方法．在 极限、微分、积分和级数的计算中，都有广泛的应用．如０。，Ｏ０。，１ 的极限计算，对数求导法，求幂级数 和函数的逐项微分与逐项积分法等． 例３求幂级数，（ ） 一南＋女…‘＋（一１） 解＋…的和函数・ ＋…＝Ｉｎ（１＋ ）．作逆映射， 作映射变换Ｄ：，（ ） ， （ ），于是， （ ）＝ 一 ＋ …・＋（一１） 即对， （ ）＝ｈｌ（１＋ ）两边积分，得 ．厂 （ｆ ＝』ｏｌｎ（１＋ｔ）ｄｔ．从而有，（ ）一，（０）＝』ｏｌｎ（１＋ｔ）ｄｔ＝（１＋ ）‘ ｌＩｌ（１＋ ）一 ，又因，（０）＝０，故，（ ）＝『二ｈＩ（１＋ｆ）ｄｆ：（１＋ｘ）ｌｎ（１＋ 一 ． ４幂级数变换 幂级数变换ｐ 是在近代组合数学及概率统计学中应用较广泛的一种变换方法．在微积分中利用幂级数 解二阶线性微分方程也是非常好的方法． 例４求方程Ｙ 一２ｘｙ 一４ｙ＝０满足初始条件），（０）＝０，ｙ （０）＝１的解． 解设Ｙ＝ａｏ＋ａｌｘ＋ａ２ｘ ＋…＋ａｎｘ ＋…为方程的解．由），（Ｏ）＝０，）， （Ｏ）＝１可知，ａ０＝０，ｏｌ＝１．因而 Ｙ＝ｘ＋ａＳ＋…＋ ＋…，Ｙ ＝１＋２ ＋３ ｘ２＋…＋ｎａｎｘｎ ＋…，Ｙ”＝２ ＋３・２ ＋…＋ｎ（ｎ－１）ａ．ｘ＂一 ＋…． 将Ｙ，Ｙ ，）， 代人Ｙ 一２ｘｙ 一４ｙ＝０，比较系数得：２ａ２＝０，３・２ａ３—２—４＝０，４・３ａ４—４口２—４ａ２＝０，…， ｎ（ｎ一１）ａ 一２（ｎ一２）ａ 一４ ＝０，…，即口２ ０，以３ １， ４ ０，…， 。，ｃｚ７＝ ，ｃｚ８＝。， ＝ １，…，ａｎ－２’…－而口５ 高，ａ６ ￣ａ２ｋ＋ｌ＝ １，ａ２ｋ＝０．所以原方程的特解为），＝ ＋ｘ３ 一十鲁＋…＝ 高师理科学刊 ｘ４第３３卷 －＋．．．＋争 ． ） ５拉普拉斯变换 拉晋拉斯变换 是为了确定某函数，（ ）的表达式或一个函数方程的解，先由未知函数，（ ）利用积分定 义一个新函数，即 （ｆ）＝ （，（ ）＝ ｅ一肛厂（ （Ｆ（ｆ））． ．然后反过来再由 （ｆ）求出原函数厂（ ），即，（ ）： ’ 量 而 兰替 例５求微分方程｛蔓 ｅ～在初始条件时 （０）＝０，ｘ２（０）＝１的解． 解令ｘ （ ）＝Ｌ（仍（ｆ）），Ｘ２（ ）＝Ｌ（仍（ｆ）），以 （ｆ）＇ ＝仍（ｆ）代人方程组｛蔓 ＋５＋ｘ３２ ＋ｅ～后， 方程组两边同时作拉普拉斯变换，得｛ ｌ（ ）＝３ｘ１（ ）＋５ｘ２（ ）＋ ，即｛ —３）ｘ （ ）一５ｘ２（ ） ．解 【ｓＸ２（ｓ）一１＝一５Ｘｌ（ ）＋３Ｘ２（ ） ．一得 取反变换得仍（ ＝ ＝ Ｉ ｅ３ ４ｃｏｓ５ｔ＋４６ｓｉｎ５ｔ－４ｅ－４＇）， （ｆ）＝ ＝４１ｅ （４６ｃ０ｓ５ｔ－４ｓｉｎ ５ｆ＿５ｅ－－ａｔ）． 堂～茎一 ～ ４— Ｉ＋１．ｊ 【５Ｘ１（ ）＋（ 一３）ｘ２（ ）＝ｆ。 １］ １］ｊ ６傅立叶变换 在现代工程技术计算中，应用较广的除了拉普拉斯变换还有傅立叶变换，其变换式为Ｆ（ｘ）： 去』 ，（ｆ）ｅ也（１ｆ，逆变换为，（ ？＝去Ｊ Ｆ（ ）ｅ ．傅立叶变换为求解积分方程提供了一条途径和方 法． ７参数变换 参数变换是应用非常广泛的变换方法，就是在解决问题时通过引入新变量（参数）把所求问题转化为 ，关于参数的问题加以解决，母后再消去参数的过程．参数变换在求极限、积分、极值等问题中经常使用． 例６求 ． 解引人参数ｆ，即厂（ｆ）＝』 ≥ （ｆ ０），两边对ｆ求导，得＇厂，（ｆ）： 令口＝ ，ｄａ＝２ｔｄｘ，于是， （ｔ）＝Ｊ ｆ・令ｆ＝ｌ，消去参数ｆ，得，（１）＝ｆ ＝号． ． ＝号，所以，（ｆ）＝詈ｆ＋ｃ．因为，（０）：０，故ｃ：０，，（ｆ）： 数学变换思想是解决微积分问题的常用方法，它的主要思想是在运动中寻求问题的解 即动态思维嘲能 用数学变换的思想解 问题，关键是是否存在一个可行的变换式及其逆变换将所求问题进行转化以 达到解决目的・在解决数学问题时要不断地掌握数学变换的特点和技巧灵活地使用数学变换的思想方法． ． ，，第３期 高玉芹：数学变换思想在微积分中的应用 ４５ 参考文献： …１王仲春，李元春．数学思维与数学方【Ｍ】．北京：高等教育出版社，１９８９ 【２】同济大学应用数学系．高等数学【Ｍ】．５版．北京：高等教育出版社，２００３ 【３】李金霞．变量代换法在高等数学中应用探讨 中国科教创新导刊，２００８（３３）：１０９一ｌ１０ ［４］米日古丽・依明尼牙孜．巧用变量代换解高等数学题［Ｊ］．和田师范专科学校学报，２００４，２４（４）：６８—７０ 【５］郭微，杨月婷．数学思想方法在高等代数教学中的渗透［Ｊ】＿高等数学研究，２００９，１２（１）：１０５—１０６ 应用型本科院校高等数学课程分级教学改革 洪港，于莉琦，高恒嵩 应用型本科院校学生的入学成绩较低，学生基础不同，尤其在数学学习中，层次差异较大，这是应用型本科院校高等数 学课程教学实施中遇到的普遍而且典型的问题ＩｌＪ．另外，当今社会对高校不同专业学生数学素质的要求也呈现出多元化、多 层次的趋势．在这种大环境下，如果对所有学生全部按照统一标准进行同步教学，必然会压抑学生的个性，束缚学生的发展， 严重地影响教学质量．因此，对高等数学课程进行分级教学势在必行． １ 对高等数学课程进行分级教学 高等数学是高等院校一门重要的基础课，和后继课程密切相关．高等数学分级教学既要考虑到数学学科本身的特点，又 要考虑到工程类专业的实际需要，为后续课程服务，这是应用型本科院校高等数学分级教学的一个中心问题 教学中，将 学生分为Ａ，Ｂ两个层次．Ａ班由数学基础较好的学生和有考研需求的学生组成，教学内容要与考研大纲相一致．根据国家 对“数一”、“数二”、“数三”考研大纲的要求制定“数一Ａ班”、“数二Ａ班”、“数三Ａ班”的教学计划、教学内容．凡是 考研涉及到的内容与知识点都应该涵盖其中，还可适当地增加学时，为Ａ班开设习题课，两周一次，这样可以与数学考研 辅导班接轨．Ｂ班由数学基础相对薄弱的学生组成，教学内容与专业知识内容必须高度相融合，在教学中要体现出专业的特 征．虽然各专业学时一样，但教学内容可能有很大不同．如建筑某专业和机电某专业都是１５０学时，但是两个专业性质不同， 教师讲课的重点和教学内容可能就有很大不同，即使同一个学院，不同专业的教学内容也可能有很大不同．只有这样才能体 现出教学一般性中的特殊性，达到因用而学，因用而教的目的，从根本上激发学生学习的兴趣，培养学生由知识型向能力型 转变，使基础课能真正地为专业课服务．为达到此目的，高等数学教师和各专业任课教师共同研究制定该专业高等数学课程 和教学大纲，将专业课教学和试验、实训中所应用到的数学知识和应用数学知识相结合的具体实例，尽量地吸收到数学教学 中．数学教师要具有一定的专业素养，所以应有选择的、有目的的听一些专业课，了解一些专业知识，以陡得在数学教学中 能将数学知识和专业知识高度融合．在高等数学教学中，由于教学中贯穿了大量专业知识，但教学课时有限，所以在保证知 识的连贯性、顺延性的基础上，一些内容必须删减，将一些与专业关系不大的数学内容、公式推导、定理证明等可以少讲或 不讲，但是一些重要的基础知识和专业上经常使用的数学知识则一定要细讲、精讲，要使学生融会贯通． ２对考试方式进行改革 结合过程教学管理，对考试方式进行改革，学生期末考试成绩包括期末和过程管理两部分，分别占６Ｏ％和４０％．过程 管理包括课堂出勤和表现、课堂笔记、课后作业、期中测试，分别占２０％，３０％，３０％，２０％，这样就摒弃了期末一张试卷 定终身的“以考为本”的应试考核模式．因为Ａ，Ｂ级考试难度不同，可对Ａ级学生期末考试成绩部分进行适当加分，或对 Ａ班学生的期末考试及格分数进行适当地下调．方案一：加分法，即Ａ班成绩加ｌＯ分．Ａ班９０分相当于Ｂ班１００分；Ａ班 ５０分相当于Ｂ班６ｏ分．优点：可反映Ａ，Ｂ班学习及考试情况．产生问题：加分后个别学生总成绩可超过１００分．方案二： 减分法，即Ｂ班成绩减１０分．Ｂ班１００分相当于Ａ班９Ｏ分；Ｂ班６Ｏ分相当于Ａ班５０分．优点：可反映Ａ，Ｂ班学习及考 试情况．产生问题：减分后Ｂ班学生不理解，产生抵触情绪．方案三：开根号乘１０法，即将Ａ班学生考试成绩先开根号再 乘１Ｏ．优点：可鼓励Ａ班部分成绩较差学生．产生问题：高分学生成绩变化较小、计算方法复杂． 应用型本科院校高等数学的分级教学，还是一个在不断探索中的新课题，教学内容、教学方法、考试改革等各方面的探 索与研究只是其中的一部分，还应该对此进行了更深层次系统化的探究 ，形成应用型本科院校高等数学分级教学的有效模 式，走出一条分级教学改革之路，探索培养和造就新型人才的一个新途径． 参考文献： 【１赵奇，吕其诚，马风鸣．创新课程体系与大学生就业研究田．黑龙江高教研究，２０１１］１（１０）：１３５—１３７ ［２］刘忠志．应用型本科《高等数学》课程定点分层教学改革初探阴．湖南科技学院学报，２０１０（１２）：７－８ ［３周斌，何丹．工科院校《高等数学》课程的改革探讨叩．科技信息，２０１０（１２）：１１４ ３］・ （作者单位：黑龙江东方学院基础部，黑龙江哈尔滨１５００８６） 基金项目：黑龙江省高等学校教改工程项目（ＪＧ２０１２０１０５１４）
