讲稿七：电子自旋角动量

实验发现，电子有一种内禀的角动量，称为自旋角动量，它源于电子的内禀性质,一种非定域的性质，一种量级为相对论性的效应。

本来，在Dirac相对论性电子方程中，这个角动量很自然地以内禀方式蕴含在该方程的旋量结构中。在对相对论性电子方程作最低阶

非相对论近似，以便导出Schrodinger方程的时候，人为丢弃了这种原本属于相对论性的自旋效应。换句话说，现在从Schrodinger方程出发

研究电子非相对论性运动时，自旋作用就表现出是一种与电子位形空

间运动没有直接关系的、外加的自由度，添加在Schrodinger方程上。

到目前为止，非相对论量子力学所拟定的关于它的一套计算方法，使人们能够毫无困难地从理论上预测实验测量结果并计算它在各种实验场合下运动和变化。但是，整个量子理论对这个内禀角动量（以及与之伴随的内禀磁矩）的物理内禀性质依然并不十分了解1。

§7.1 电子自旋角动量

1, 电子自旋的实验基础和其特点

早期发现的与电子自旋有关的实验有：原子光谱的精细结构（比如，对应于氢原子2p1s的跃迁存在两条彼此很靠近的两条谱线，碱金属原子光谱也存在双线结构等）；1912年反常Zeeman效应，特别是氢原子的偶数重磁场谱线 ，无法用轨道磁矩与外磁场相互

1

杨振宁讲演集，南开大学出版社，19年

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作用来解释，因为这只能谱线为2l+1重，即奇数重；1922年Stern—Gerlach实验，实验中使用的是顺磁性的中性银原子束，通过一个十分不均匀的磁场，按经典理论，原子束不带电，不受Lorentz力作用。由于银原子具有一个永久磁矩，并且从高温下蒸发飞出成束时其磁矩方向必定随机指向、各向同性的。于是在穿过非均匀磁场时，磁矩和磁场方向夹角也是随机的。从而银原子束在通过磁场并接受非均匀磁场力的作用之后，应当在接受屏上相对于平衡位置散开成一个宽峰，但实验却给出彼此明显对称分开的两个峰，根据情况的实测结果为±μB，数值为Bohr磁子。

针对以上难以解释的实验现象，1925年Uhlenbeck和Goudsmit

提出假设：电子在旋转着，因而表现出称之为自旋的内禀角动量s,它

在任意方向的取值只能有两个数值。为使这个假设与实验一致，

2假定电子存在一个内禀磁矩μ并且和自旋角动量s之间的关系为（电

子电荷为-e）

eμ=-sμc （7.1）

这表明，电子自旋的廻磁比是轨道廻磁比的两倍。于是，电子便具有

了m,e,s,根据实验事实用外加的方式引入电子μ共四个内禀的物理量。

自旋这一内禀自由度之后，不仅原子的磁性性质，而且原子光谱本身的一些精细结构，以及在外场下的多重现象，也都得到了很好的

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解释。

然而，认为电子自旋角动量来源于电子旋转这一经典图象却立即遭到否定。假设电子半径为re，作为定性的估算可以合理地假定

e2re~mc,rep~2

∴

υ=pmc2c=137c, mree这就是说，为了要在re的半径下旋转得出的角动量，电子必须大致以137倍的光速转动才行。显然这是一个不能接受的图象。这说明，电子的自旋角动量有着另外的更深刻的内禀原因。虽然现在能进行有关电子自旋和磁矩的各种计算，但仍然还不能说对电子自旋的物理本质有透澈的了解。

2, 电子自旋态的表示法

由于电子自旋是一个新的自由度，并且相应于这个新自由度的新变数sz只能取两个值±，于是电子的状态波函数应当是一个两分量

2的列矢量，

r,sz,tr,t1r,t21(rt)rt2 (7.2)

这里

1α=0代表自旋角动量第三分量sz取朝上值的本征态、

20β=则为sz取朝下-21的本征态。于是

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1dr自旋朝上的几率2

2dr自旋朝下的几率总的归一化表示为

+ψψdr=drψ122+ψ22=1

(7.3)

如果系统哈密顿量H中不含自旋角动量，或是自旋部分和空间部分可以分开（即H，则自旋波函数和空间波函数就可以分离， =H0+Hs）

ψr,sz,tχsz,t==rtχsz,tχ1t=χχ2t1tα+χ2tβ 考虑电子自旋角动量之后，Schrodinger方程便由标量方程扩充为两分

量的简单旋量方程，后者常称为Pauli方程。

3, 自旋算符与Pauli矩阵

自旋既然是角动量就应当满足角动量的对易规则，

si,sj=εiisj, k这里i12x,y,z 等 （7.4）

同时，自旋变数取值只有两个：，并且波函数相应成为两分量的列矢量，于是自旋角动量的三个分量算符Si自然应当是3个22的厄米矩阵，以便对这些两分量的列矢量进行变换。于是，引入三个二阶厄米矩阵ζi来表示Si，令

Si=2ζi, (ix,y,z) (7.5)

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这里已经抽出Si的绝对数值，所以ζi的本征值只能为1，就是说，

2ζi为自逆矩阵。将ζi代入对易规则（7.4）式，就得到决定它们的下

列关系，

1ζ0=0i,j2iijk20ik (7.6a)

0ζ为二阶单位矩阵。由i1间的这些对易关系也能导出ζi间

的反对易关系，

00,j2i,jiii,ji,j

i2iijkikk2iijki,k.

对任一给定的j，总可以取i,k，使ikj，Levi-Civita反称张量

εijk0，于是得到ζi之间的反对易关系，

i,k0,

ik

将它们代入(7.6a)式，便有

ijiijk2ik， ijk (7.6b)

将（7.6b）式反对易关系以及1综合起来，即得

i,j2，

ij(i,jx,y,z) (7.6c)

当然，由（7.6c）式也可以推出前面（7.6a）式，两者彼此等价。它们表明：ζi是自逆的、反对易的和零迹的。最后一点是由于

0=trζi,ζj=2iεijktrζk

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∴

trζk=0. k=x,y,z

这些关系式和结论是下面决定ζi表达式的出发点。现在往求这三个厄米矩阵的具体形式。应当预先指出，由上面这组根据物理要求得出的反对易规则，并不能完全确定这组厄米矩阵。要想完全确定它们，必需另外附加规定。而不同的附加规定求得的三个ζi也将不同。但这些不同组的ζi均能满足上面全部物理要求，因而在物理上是等价的。不同组之间相差一个22的幺正变换。这就出现一个需要选择ζi的表象的问题。这里只给出ζi的一个常用表象。为此作一个附加的规定：ζz是对角的。再考虑到ζz的本征值为1，于是就可以直接写出它为

1ζz=00 -1a=*bb，a,b为两 -a进一步，根据ζx必须是零迹的厄米矩阵，可令ζx个待定的复数。根据zx虑到ζx21=0xz,代入z和x的表达式后可得a0,考

x0又得b=eiα，1为任一相因子。至此仍不能完全决定，

再进一步约定位相α=0，于是有

0ζx=110

接着由（7.6b）式，求得为

y我要上南开-南开考研网（www.513nankai.cn）

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0ζy=-iζzζx=i-i0

总之，在规定ζz为对角形式并约定ζx的位相之后，就得到下面这组

22的自逆、反对易、零迹的厄米矩阵 ——Pauli矩阵，用它们就可

以具体地实现自旋角动量的对易规则，

0ζx=110， 0ζy=i-i1， ζz=000-1 (7.7)

简单考察可以相信，这三个矩阵再加上ζ0组成一组完全基，用它们可以分解（展开）任何22的复矩阵。应当说，由于它们的自逆性质和ζi之间的反对易性质，用它们作分解（展开）并随之而来的乘法运算中将会表明这是最便于使用的一组基(因为伴随相乘而来的交叉项之和将消失,各个自乘项矩阵本身又为ζ0)，类似于在通常矢量展开中选用了一组正交归一基矢时那样。

4, 例算 [例1] 证明等式

AζBζ=AB+iABζ 这里，A,B是两个三维矢量，AB项中已略写ζ0 。

j证明：

AζBζ=abζζ

ijiij=133ii3=abi=1+i,j=1aibjζiζj

ij我要上南开-南开考研网（www.513nankai.cn）

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=AB+i3i,j=1ijkεijkaibjζk

=AB+iABζ

（7.8）

[例2] 求ζn的本征态，n=sinθcos,sinθsin,cosθ。

由例1，ζn2=1，厄米矩阵ζn的本征值为1。设其本征态为

aχn=，写出本征方程

baaζn=

bb也即

cosθisinθesinθeaa= b-cosθb-i解出a和b即得相应于本征值1的本征态χ±n为

θ-i2ecos2+χn=ei2sinθ2θ-i2-esin-2χn=ei2cosθ2 （7.9）

显然，在χ±n态中自旋平均值为

χ±±nζχn=n  （7.10）

[例3] 证明

expi.cosie.sin， 我要上南开-南开考研网（www.513nankai.cn）

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这里eα=αα 为α方向单位矢量，α=α。由于



expiαζ=22n!n=0i2n2nαζ+2n+1!n=0i2n+1αζ2n+1

由例1得 αζ=α,于是

2

nnexpiαζ=12n12nα+iαζα2n!2n+1!

n=0n=0最后得到

expicosi(e)sin （7.11）

这个公式以及它的特殊情况（α只有某一个或两个分量）很常用1。

[例4] 证明

ααexp-iζζexpiζ=ζycosα+ζzsinαxyx22exp-iαζζexpiαζ=ζcosα-ζsinαxzxzy22 （7.12）

利用例3结果，可得

ααexp-iζxyexpiζxcosixsinycosixsin222222=ζycos2

α2-isinα2cosααζx,ζy+ζxζyζxsin222

ζycosα+ζzsinα

由xyzx的循环置换，可以得到其余四个公式。记住：

1

仔细研究这里的证明，可以看出针对以下三种情况有三种结果：

iT 若T为任意矩阵，则有：e

若T为自逆矩阵，则有：ecosTisinT；

IcosiTsin；

iTIcosieTsin。 若T为三个自逆反对易矩阵，则有：eiT我要上南开-南开考研网（www.513nankai.cn）

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expix2

是对两分量自旋态的绕x轴转α角的转动。依托这一图象，这几个公式便很容易理解。

[例5] 计算2ζ0+ζx。 可将所求的逆矩阵按ζ0,ζx,ζy,ζz展开，

-1即假定

2ζ0+ζx-1=αζx+βζy+γζz+δα0

这里α,β,γ,δ为待定系数。于是

0xyz020x

z2x2iy2i20

,β=γ=0,

ζx,ζy和ζz前的系数必须都为零，而2δ+α=1，即得α=-13δ=23。于是

2ζ0+ζx12-1=23ζ0-13ζx

5, 自旋态的极化矢量与投影算符 自旋态δ的极化矢量pδ定义为 将任意态

δpδ=δζδ (7.13)

sinθp表示为，直接计算即可表明，δicosθe的模长为1。注

意，由于pδ是一个经过态平均之后的矢量，它具有经典矢量的性质，可以对它作普通矢量的几何分解。

向一个自旋态

λ投影的投影算子πλ定义为

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πλ=λλλ (7.14)

于是，在自旋态δ中找到自旋态 注意pλδ=pδλ的概率为

δ|λ2pλδ=δπλδ= (7.15)

。

λ电子任意自旋态

的p和πλ之间有一个有用的关系式， λ12πλ=1+pλζ (7.16)

证明：如此定义的算符πλ的是个投影算子，因为

πλ=21+2pζ+λ4=121pλζpλζ=21+2pλ.ζ+pλ+ippζλλ41

1+pλζ=πλ

实际上，可以直接验算关系式（7.16）。这只要令任意自旋态为

θ-i2ecos2λ=，于是

ei2sinθ22θcos,2λ=e-icosθsinθ,22-iecossinθ22sinθ2πλ=λθ21=1+nζ 2这里n=sinθcos,sinsin,cosθ，由前面例2的结果可知，它正是这个态的极化矢量pλ。

利用关系式（7.16）可以很方便地对自旋态和极化矢量进行概率分解计算。

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 例如，在α1=态中，测得自旋在nθ,0方向（即极化矢量在n方向的态）的概率为

pnn121n

2 类似地，在

121nzcos2

20β=态中测得自旋在n1方向的概率为sin2。

又例如，在

Sn,λλ态中测得沿n方向的自旋平均值为

=λnsλ=λnζλ2

1λ+-λ1-nζλ22=22λ121+nζ2



=λπnλ-λπ-nλ

这是沿n两个方向平均值之差。

于是，若沿n方向测量α态的自旋，得到平均值为

而在

βSn,22sincoscos2222 。

态中此值为

2cos。 这些结果均符合经典的几何图象。

§7.2 两个自旋角动量的耦合

21, 自旋单态和自旋三重态

由于s1和s2是两个不同的自由度，两组算符之间彼此对易，

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 S1i,S2j=0, i,j=x,y,z

(7.17)

它们耦合成体系的总自旋角动量为

S=S1+S2

（7.18）

总自旋角动量的对易规则一如以前，

SS=iS i=x,y,z

这里Si=S2,Si0 （7.19）

Pauli

S1i+S2i。应当强调，根据（7.17）式，属于不同粒子的

矩阵互不关联，彼此对易，运算只在同一粒子的Pauli矩阵之间进行。

平行耦合结果：S=12+12=1,ms=-1,0,1, 构成自旋三重态

反平行耦合结果：S=0,ms=0, 构成自旋单态 2, 两套基矢—耦合基和无耦合基

无耦合基ms1ms2 耦合基sms（及其用无耦合基展开）

11,2211,2211,2211,22111,1,,22111111,0,,22222111,1,22111110,0,,22222 （7.20）

 （7.21）

注意，耦合基矢中，平行耦合所形成的三重态关于粒子自旋交换均为对称的；反平行耦合的单态关于粒子自旋交换为反对称的。

当然也可以将（7.21）式反解出来，将无耦合基用耦合基来表示。

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作为习题，熟习运算。

可以直接验证（7.21）展开式（设1，并注意S标为粒子的编号）。验算中要注意，

12k11S2=ζ1ζ2,脚

411=,-20kk0=1k,

k1，2为

粒子的编号，以及对两粒子中任一个粒子分别都有

xk12k12k , yk12ki12k, zk12k12k

验算举例：

S21,0=S1+S222+2S1S211111,-+-,22222

1111111133111=+,-+-,+-,+,-442222222222211111111+i-i-,+-ii,--,-+-, 22222222

3, 例算 [例1]

=211111,-+-,0=21，22222

sz,11,0=sz,10,0=12120,0,1,0,sz,11,1=121,112

sz,11,-1=-1,-1,

以第一式为例直接验算如下

sz,11,0=sz,1=11111,-+-,222221111111,---，=0,02222222

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[例2]

sx0,0=0,sx1,-1=12sx1,0=1,0,121,1+1,-1121,0

sx1,1=验证第二式如下

sx1,0=sx,1+sx,211111,-+-,22222

=111111111111-,-+,+,+-,-22222222222212

=1,1+1,-10,0[例3] 设n=sinθcosj,sinθsinj,cosθ，计算nζ1



cosθnζ1=isinθe-isinθe -cosθ1-i， 于是

2

cosθnζ10,0=isinθe=sinθe111--cosθ12012201-112-sinθe-i

11111-icosθ,-+sinθe-,-222221111,+cosθ-,2222

=cosθ1,0+12sinθei1,-1-12sinθe-i1,1

4, 自旋交换算符和例算

在涉及两个自旋粒子的自旋态运算中，常常用到自旋交换算符

21P12，它可表示为

P12=121+ζ1ζ2

 (7.22)

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由于

2ζ1ζ2=i,j=x,y,zζ1iζ1jζ2iζ2j=i=x,y,zζ1iζ2i+22ijk=x,y,ziεijkζ1kζ2k2

=3-ijk=x,y,zijεijk2ζ1kζ2k=3-2ζ1ζ2

于是可得

P12=12 (7.23)

这表明P-112=P12。同时可得1

ζ1ζ2=2PS=P12+12-1,121ss=P122-1,124 （7.24）

可以直接验证，P12这个算符的作用是将来后面态矢中两粒子的自旋第3分量取值ms1,ms2交换（所以称它为自旋交换算符）。就是说，它对无耦合表象基矢的作用为

P1212,-12=-1111,, P12-,2222=12,-12 （7.25）

比如，对左边等式验证如下，

P1212,-12=121+ζx1ζx2+ζy1ζy210+ζz1ζz2

0112

010110110=++i-i- 20112110211020112=-11,22

实际上可以直接验证，有

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例如对ζx1，为

-1P12ζ1P12=ζ2, -1P12ζ2P12=ζ1 （7.26）

ζx11+ζ1ζ2=ζx1+ζx1ζx1ζx2+ζx1ζy1ζy2+ζx1ζz1ζz2

=ζxζ12+ζx2x2+xi2ζζζz21-yiζ2ζx2ζiζ2

y1z2x2=1ζxζ+1+ζi-iζz1-izζ2y1ζ

y2x2 =1+ζζ2ζx2 1

在无耦合表象中，用P12代替S和S1S2作运算十分方便。比如

2111,-S1S2-,22221=1212,-1111P-12-,2222=12

[例算] 同时用自旋投影算符和自旋交换算符作运算。设H12为

H123ζ1rζ2r=α-ζ1ζ2 2r这个算符通常表示原子内部电子和质子（或者原子核内的质子和中子）之间起源于自旋相互作用的张量力。现往求Hrrζ1=2πr1-1

212。注意

r这里πr1是将第一个粒子自旋态向极化矢量在er=r方向的自旋态投

影的投影算符。于是可将H12改写为（以下设常数等于1）

H12=32πr1-12πr2-1-2p12-1

考虑到投影算符的性质π2ri=πri，以及P212=1和H12P12=P12H12（H12关

于脚标交换是对称的），有 

H12=92πr1-1222πr2-1-62πr1-12πr2-12p12-1+2p12-122

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=9-62πr1-12πr2-12p12-1+2p12-12

=9-2H12+2p12-12p12-1+2p12-1=9-2H122p12-1-2p12-122

=9-22p12-1H12-5-4p12 =6+2ζ1ζ2-2ζ1ζ2H12

§7.3 自旋角动量与轨道角动量耦合

1, S与L的合成

与L如前所说，S代表了两种不同的运动自由度，因此它们之间

彼此对易，即有

S从而它们合成的结果

i,Lj0, i,jx,y,z (7.27)

LSJ 仍是一个角动量算符，就是说，依然满足角动量算符的对易规则，

J,JiJijkkijJ2,Jz0orJJiJ (7.28a)

此外，可以验证还有

Ji,L2=Ji,S2=0222LS,L=LS,S=LS,J=LS,Jz=0 (7.28b)

22这是由于L及S和它们自己的分量都对易，并且

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1LS=J22-L-S22  （7.29）

于是可得如下两组关于角动量的完备力学量组，

J2,Jz,L2,S2 和

L2,Lz,S,Sz

2 (7.30)

由于每一组内四个角动量彼此对易，存在共同的本征态。这两组本征态构成两个关于角动量态的表象：

1j,m,l,j2——构成“无耦合表象” ——构成“耦合表象”

量H中含有LS

1l,m,,ms2前者称作耦合表象是因为，如果Hamilton的项（旋

—轨耦合项）时，在此表象中仍能将H对角化，而后者则不能，因为这时Lz和Sz已不守恒。当l和s为固定值时，这两组态的数目均为4l2个。以后叙述中，如果计算是在l和s量子数取确定值的子空间中进行，也常将耦合表象基矢简记为

mmsjmj, 无耦合表象基矢简记为

。

2, 角动量的升降算符

可以引入轨道和自旋角动量算符的升降算符。比如，对自旋算符

S+=Sx+iSy,S-=Sx-iSy1）

(7.31)

并且有如下封闭的对易规则（此处令我要上南开-南开考研网（www.513nankai.cn）

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S+,S-=2Sz,Sz,S=S,S2,S=0 (7.22)

此外还可得S±对自旋基矢Sms的作用：

S+S-11,2211,22=0,1212S+,-,12,-1212=11,2212=0 （7.33）

=S-,-其实，对所有角动量算符都有这一类升降关系。可以作更一般性的证明。比如对轨道角动量算符就有

L±lm=ll+1-mm1l,m1 (7.34)

2证：根据对易子和LLz,L=,L±=0L,可得

L2LlmLLlmz=ll+1L=m1Llmlm

于是可记

L+lm=αlml,m+1,

L-lm=βlml,m-1-

+这里αlm和βlm是两个待定的实系数1，至此，再根据LL可得L-L+lm=ll+1-mm+1lm=L-Lz-Lz22，

。结合上面结果，得到

αlmβl,m+1=ll+1-mm+1

满是这个等式的最简单的取法是

αlm=βl,m+1=ll+1-mm+1. 因此又得

βl,m=ll+1-mm-1

1

因为总可以略去复系数中的相因子——态的整体外部相因子，而只保留它的模，这不会影响这个态的模

长以及它与别的态的正交性。

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最后即得

L±lm=ll+1-mm1l,m1

由于上面推导中只用到角动量的对易规则，这些规则对轨道角动量和自旋角动量是相同的，因此所得结果对自旋升降算符S也适用。将量子数S12,ms12 替换进（7.34）式，就能得到（7.33）式。

3, 自旋—轨道耦合作用与碱金属原子光谱的双线结构

原子中的电子绕原子核运动时将产生磁场，这个磁场必定与电子本身磁矩发生作用，使原有能级劈裂并产生附加能移。这就是自旋—轨道耦合作用。Hamilton量中考虑这种作用的项通常称为旋—轨耦合项，又称为Thomas项。可以按下面经典图象将它推导出来，在算

符化之后将其引入Schrodinger方程中。

设电子转动在电子所处位置产生的磁场为B，电子磁矩为μ，则

此附加能为-μ磁场B可以这样计算：电子绕原子核回转等效于原B。

子核绕电子回转，这样，B便是带正电荷的原子核绕电子回转时，按

Biot—Savart定律所产生的，

这里υ1Zer1B=-υ=Eυ3crc

为电子绕原子核的速度（-υ为原子核绕电子的速度），E为电子

所在位置的库仑场场强。于是(e>0)

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-e1-μB=-ζEυ

2μcc

1dV=22LSμcrdr1

2-Ze这里L=rp, p=μυ, s=ζ, V=2r。这就是旋—轨耦合项，但它

比正确表达式少因子。Thomas于1926年将上面推导中使用的电子

21静止参照系用Lorentz变换转到更合理的原子核静止参照系，作了所谓Thomas进动修正，给出了这个因子，从而正确的旋—轨耦合项

21成为

1dVLS222μcrdr1 z

=1ZaB (7.35)

现在估算这项的量级。这时可将r替换为a换为azp，于是~12μc22，L,S均替

eZaz32azp2e2Zv2~()~2azc库仑能β2。所以说，旋

—轨耦合效应是个相对论性的修正1。

碱金属原子光谱双线结构（如钠黄光）的物理根源正在于，最外层价电子自旋与轨道角动量之间平行、反平行耦合使能级出现双重劈裂。这时Hamilton量为

H=-22μ2Δ+Vr+ξr22LS2, ξr=221dVrdr2μc2 (7.36)

1这里LS=J2-L-S。V为等效的屏蔽库仑势，是考虑到碱金属原

1

参见后面§9.1 中的例算1。

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子的内层电子对核库仑场的屏蔽作用。取耦合表象基矢（添加主量子数n）计算旋—轨耦合效应造成的能移，

1ΔE=njmjlξrLSnjmjl221=3ξnljj+1-ll+1- 241这里ξnl=0（r）Rnlξrrdr22。于是

1j=l+21j=l-2

lΔE=ξnl2ΔE=-1l+1ξnl2 （7.37）

由于V为吸引势，是负的，所以ξr总是正的，也即ξnl总是正的。自旋—轨道耦合的结果使j较大的态有较高的能量，即EpaEantipa。S

态l=0，不存在旋—轨耦合造成的双线。对钠原子，外层一个价电子处于3s态，其上面3p态由于旋轨耦合而出现双重劈裂：3p1/2和

123p3/2， 退激发时由这两个3p态向3s1/2态跃迁，产生钠的双线黄光（分

eff别为56A和50A）。可以引入Z对ξnlr作等效计算，即假定

V=-Zeffer2，于是代入Rnlr表达式后可得

ξnl=e2223Zeff13nll+l+1242μca02 (7.38)

由此可知，双线劈裂数值与n3成反比，并且和Zeffeff,l均极有关系，其

中Z又由于原子实屏蔽和轨道贯穿而依赖于l。注意这个等效计算只适用于l>0。当l=0时，ξn0积分发散，不能用这里的微扰论办法计

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算。

4, 耦合表象与无耦合表象基矢的相互展开

耦合表象基矢和无耦合表象基矢的总数相同，均为22l+1个。

jmjl12(j=l1,mj=-j,,j)，2l+221+1+12l-2+ 1=22l+1；

lm11ms,m=-l,,l;ms=-,, 2221 总数也为2 2l+个。1它们在l,s1各自构成完备基。量子数为选定的角动量态子空间中，2于是这两套基矢之间应能彼此相互展开。

下面寻找任一耦合表象基矢在无耦合表象中的展开式。 由于自旋角动量在任何方向都只能取两个值，所以自旋—轨道

2耦合产生的总角动量，其量子数只能有两个数值j=js12l12 （当l=0时

），正号表示两者的平行耦合，负号表示反平行耦合。首先考

j=l+12,mj,l,12虑平行耦合情况下的任一耦合基矢用Jzj,,j中某一给定值。合表象中下面两个基矢：

j=l+12,mj,l,12=，这里m为

j=Lz+Sz检查即知，这一展式只涉及无耦

mmsαmmslm12ms=α1l,m,1111,+α2l,m+1,,-2222

这里m的取值满足m=mj-12。由

j=l+12,mj,l,s的归一化条件知

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α1+α2=122。于是只需决定

α1α2比值即得展开式。为此用

J2=L+S+2LS22作用于这个展开式的两边，并注意

112LSm,=2LS+LS+LSm,zz-++-221111=mm,+Lm,-=mm,+ll+1-mm+1m+1,-+22222LSm+1,-1=2LSm+1,-1+LSm+1,-1zz-+22211=-m+1m+1,-+ll+1-mm+1m,22

于是可得

131l+l+j=l+,m2223=α1ll+1++m+α24+α1j,l,1212ll+1-mm+1m,

31ll+1-mm+1+α2ll+1+-m+1m+1,-4213l+22另一方面，将原先展开式两边乘以l+，并和此式相比较，

即得决定系数α1,α2的两个方程

αll+1-mm+1=αl-m21αll+1-mm+1=α2l+m+11

这两个方程其实是一个，于是得比值

α1α2=l+m+1l-m 我要上南开-南开考研网（www.513nankai.cn）

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考虑到归一化条件，即得α1=j=l+12,mj,l,12=l+m+12l+1l+m+12l+1,α2=l-m2l+1。最后即得展开式

12,-12l,m,11,+2212l-m2l+1l,m+1, (7.39a)

这里，右边m值必须满足等式m=mj-。

类似地，对于反平行耦合情况，

j=l-12,mj,l,12=β1l,m,1111,+β2l,m+1,,-2222

用J2作用于两边后得到另一展开式。将两个展开式相比较，得到

311βll+1++m+βll+1-mm+1=βl-l+121422βll+1-mm+1+βll+1+3-m+1=βl-1l+1122422

化简后可发现这两方程相关，于是得比值

β1β2=-l-ml+m+1l-m2l+111,+22

l+m+12l+1考虑到β

j=l-21+β2=1

2，即得β1=l-m2l+1-,β2=。 于是有

12,-1212,mj,l,12=-l,m,l+m+12l+1l,m+1, （7.39b）

这里mmj12。至此，返回去看，自旋耦合基矢的展开式（7.21）

式也可以用这里耦合基矢展开式来检验。之所以能这样，是因为此处推导基矢相互展开时只用到了角动量对易规则，并未用到角动量量子数为整数的条件。

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将（7.39）式向坐标表象基矢量有关部分的展开式为

Φ(+)jmjr,θ,投影，可得波函数中与角动

(θ,,Sz)=2l+1112j1l+m+1Ylm(θ,)l-mYl,m+1(θ,)11j+mjY=(θ,)j-,mj-22,j-mjY1(θ,)1j-,mj+22l+m+1Yl,m+1(θ,)-l-mYlm(θ,)),)

(j=l+12)Φ(-)jmj(θ,,Sz)=2l+1=-j-mj+1Y1(θ,1j+,mj-1222j+2j+mj+1Y1(θ,1j+,mj+22 （7.40）

(j=l-12)反过来也可将无耦合表象基矢用耦合表象基矢展开，这里只写出结果

11l+m+111l-m11lm=j=l+,m,l,-j=l-,m,l,jj222l+1222l+12211l-m11l+m+111l,m+1,,-=j=l+,mj,l,+j=l-,mj,l,222l+1222l+122 （7.41）

作为一个计算例子，下面往算和反平行耦合jmjζzjmj在平行耦合j=l+12j=l-1情况下的数值。 2我要上南开-南开考研网（www.513nankai.cn）

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j+mYj11j-,mj-122**j,mjζzj,mj=dΩj+mjYj-1,m-1;j-mjYj-1,m+1ζz2jjj2222j-mjY11j-,mj+22mj11j+mj-j-mj==,(j=l+)2jj21**j,mζj,m=dΩ-j-m+1Y;j+m+1Yjzjj11j112j+2j+,mj-j+,mj+2222-j-mj+1Y11j+,mj-22ζzj+m+1Yj11j+,mj+22-mj11j-mj+1-j+mj+1==,(j=l-)2j+2j+12

当然，直接用（7.39）式Dirac符号求此平均，形式上计算将简洁些。

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