空间直角坐标系
一、选择题(每小题6分,共30分) 1.有下列叙述:
①在空间直角坐标系中,在x轴上的点的坐标一定可以写成(0,b,c); ②在空间直角坐标系中,在yOz平面上的点的坐标一定可以写成(0,b,c); ③在空间直角坐标系中,在z轴上的点的坐标一定可以写成(0,0,c); ④在空间直角坐标系中,在xOz平面上的点的坐标是(a,0,c). 其中正确的个数是 ( ) A.1
B.2
C.3
D.4
2.在空间直角坐标系中,点P(-1,-2,-3)到平面yOz的距离是 ( ) A.1
B.2
C.3
D.
3.空间两点A,B的坐标分别为(x,-y,z),(-x,-y,-z),则A,B两点的位置关系是 ( ) A.关于x轴对称 C.关于z轴对称
B.关于y轴对称 D.关于原点对称
4.设y∈R,则点P(1,y,2)的集合为 ( ) A.垂直于xOz平面的一条直线 B.平行于xOz平面的一条直线 C.垂直于y轴的一个平面 D.平行于y轴的一个平面 5.在空间直角坐标系中,点P(1,A.(0,C.(1,0,
,0) )
,
),过点P作平面xOy的垂线PQ,则Q的坐标为 ( )
B.(0,D.(1,
,,0)
)
二、填空题(每小题8分,共24分)
6.已知点A(-3,1,4),B(5,-3,-6),则点B关于点A的对称点C的坐标为, . 7.(2013·南京高二检测)在空间直角坐标系中,点M(-2,4,-3)在xOz平面上的射影为M′点,则M′关于原点对称点的坐标是, .
8.如图所示,在长方体OABC-O1A1B1C1中,|OA|=2,|AB|=3,|AA1|=2,M是OB1与BO1的交点,则M点的坐标是, .
三、解答题(9题,10题14分,11题18分)
9.如图所示,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形,∠BCD=60°,E是CD的中点,PA⊥底面ABCD,PA=2.试建立适当的空间直角坐标系,求出A,B,C,D,P,E的坐标.
10.如图所示,过正方形ABCD的中心O作OP⊥平面ABCD,已知正方形的边长为2,OP=2,连接AP,BP,CP,DP.M,N分别是AB,BC的中点,以O为原点,射线OM,ON,OP分别为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系.若E,F分别为PA,PB的中点,求A,B,C,D,E,F的坐标.
11.(能力挑战题)如图,有一个棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1,以点D为坐标原点,分别以射线DA,DC,DD1的方向为正方向,以线段DA,DC,DD1的长度为单位长度,建立x轴,y轴,z轴,从而建立起一个空间直角坐标系Oxyz.一只小蚂蚁从点A出发,不返回地沿着棱爬行了2个单位长.请用坐标表示小蚂蚁现在爬到了什么位置.
答案解析
1.【解析】选C.在空间直角坐标系中,在x轴上的点的坐标一定可以写成是(a,0,0),①错;在空间直角坐标系中,在yOz平面上的点的坐标一定可以写成(0,b,c),②对;在空间直角坐标系中,在z轴上的点的坐标一定可以写成(0,0,c),③对;在空间直角坐标系中,在xOz平面上的点的坐标是(a,0,c),④对.正确命题的个数为3.
2.【解析】选A.点到平面yOz的距离就是点的横坐标的绝对值.
3.【解析】选B.A,B两点纵坐标相同,横坐标和竖坐标互为相反数,故A,B两点关于y轴对称. 4.【解析】选A.由于点的横坐标、竖坐标均为定值,而纵坐标不确定,故该点的集合为垂直于平面xOz的一条直线.
5.【解析】选D.由于点Q在xOy内,故其竖坐标为0,又PQ⊥xOy平面,故点Q的横坐标、纵坐标分别与点P相同.从而点Q的坐标为(1,
,0).
=-3,
=1,
=4,所以x=-11,y=5,z=14,
6.【解析】设点C的坐标为(x,y,z),由中点公式得所以点C的坐标为(-11,5,14). 答案:(-11,5,14)
7.【解析】M在xOz平面上的射影为M′(-2,0,-3),所以M′关于原点对称点的坐标为(2,0,3). 答案:(2,0,3)
8.【解析】因为|OA|=2,|AB|=3,|AA1|=2,所以A(2,0,0),A1(2,0,2), B(2,3,0),B1(2,3,2).
由条件知M为OB1的中点,所以M点的坐标为(1,1.5,1). 答案:(1,1.5,1)
9.【解析】如图所示,以A为原点,以AB所在直线为x轴,AP所在直线为z轴,以过点A与AB垂直的直线AG所在直线为y轴,建立空间直角坐标系. 则相关各点的坐标分别是A(0,0,0),B(1,0,0),C(,D(,
,0),P(0,0,2),E(1,
,0).
,0),
【拓展提升】巧建坐标系轻松解题
(1)建立空间直角坐标系时,要考虑如何建系才能使点的坐标简单,便于计算,一般是要使尽量多的点在坐标轴上.
(2)对长方体或正方体,一般取相邻的三条棱所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系;确定点的坐标时,最常用的方法就是求某些与轴平行的线段的长度,即将坐标转化为与轴平行的线段长度,同时要注意坐标的符号,这也是求空间点的坐标的关键. 10.【解析】易求出B点坐标为(1,1,0).
因为A,C,D与B点分别关于xOz平面、yOz平面、坐标原点对称,所以A(1,-1,0),C(-1,1,0),D(-1,-1,0).
又因为E,F分别为PA,PB的中点,且P(0,0,2), 所以E(,-,1),F(,,1).
11.【解题指南】小蚂蚁爬行的方向不同,位置也不同,故要分类讨论.
【解析】小蚂蚁沿着A-B-C或A-B-B1或A-D-C或A-D-D1或A-A1-B1或A-A1-D1任一条路线爬行,其终点为点C或B1或D1.点C在y轴上,且DC=1,则其y坐标为1,x坐标与z坐标均为0,所以点C的坐标是(0,1,0);同理可知D1的坐标是(0,0,1);点B1在xOy平面上的射影是B,点B在xOy平面上的坐标是(1,1,0),且|B1B|=1,则其z坐标为1,所以点B1的坐标是(1,1,1).
