2019届高三二轮高考数学复习(人教A版) 专题6 不等式、推理与证明、算法框图与复数 第2讲

专题六 第二讲

一、选择题

1．(2013·常德市模拟)设m、n是不同的直线，α、β是不同的平面，且m、n⊂α，则“α∥β”是“m∥β且n∥β”的( ) A．充分不必要条件 C．充分必要条件 [答案] A

[解析] ∵m、n⊂α，α∥β⇒m∥β且n∥β；若m∥β，n∥β，m⊂α，n⊂α，则当m与n相交时，α∥β，否则α∥β不成立，故选A.

2．过点P(1,1)的直线，将圆形区域{(x，y)|x2＋y2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为( ) A．x＋y－2＝0 C．x－y＝0 [答案] A

[解析] 本题主要考查了过圆内一点最短弦问题及点斜式方程的求法．

两部分的面积之差最大是指直线与圆相交弦长最短时，此时直线与OP垂直(如图所示)，kOP＝1，则所求直线斜率为－1.故所求直线方程为y－1＝－(x－1)即x＋y－2＝0.

3．(文)(2014·衡水中学模拟)若{an}是等差数列，首项a1>0，a2011＋a2012>0，a2011·a2012<0，则使前n项和Sn>0成立的最大正整数n是( )

B．y－1＝0 D．x＋3y－4＝0 B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

A．2011 C．4022 [答案] C

B．2012 D．4023

[解析] ∵a2011＋a2012>0，a2011·a2012<0，a1>0， ∴a2011>0，a2012<0，∴S4022>0，S4023<0，∴选C.

1(理)(2014·郑州市质检)等差数列{an}中的a1、a4027是函数f(x)＝3x3－4x2＋12x＋1的极值点，则log2a2014( ) A．2 C．4 [答案] A

[解析] f′(x)＝x2－8x＋12＝0则x1＝2，x2＝6，即a1＝2，a4027＝6a1＋a4027或a1＝6，a4027＝2，a2014＝＝4 2∴log2a2014＝2，故选A.

4．(2014·东北三省三校二模)设函数f(x)的导函数为f′(x)，若对任意x∈R都有f′(x)>f(x)成立，则( ) A．f(ln2014)<2014f(0) B．f(ln2014)＝2014f(0) C．f(ln2014)>2014f(0)

D．f(ln2014)与2014f(0)的大小关系不确定 [答案] C

fx

[解析] 令g(x)＝ex，则

B．3 D．5

f ′xex－ex′fxf ′x－fx

g′(x)＝＝>0， exex2∴g(x)为增函数，∵ln2014>0，∴g(ln2014)>g(0)， fln2014f0即eln2014>e0，

∴f(ln2014)>2014f(0)，故选C.

5．将正奇数1,3,5,7，…排成五列(如下表)，按此表的排列规律，所在的位置是( )

A．第一列 C．第三列 [答案] D

[解析] 正奇数从小到大排，则位居第45位，而45＝4×11＋1，故位于第四列． 6．观察下图：

B．第二列 D．第四列

则第( )行的各数之和等于20112.( ) A．2010 C．1006 [答案] C

B．2009 D．1005

[解析] 由题设图知，第一行各数和为1；第二行各数和为9＝32；第三行各数和为25＝52；第四行各数和为49＝72；…，∴第n行各数和为(2n－1)2，令2n－1＝2011，解得n＝1006.

[点评] 观察可见，第1行有1个数，第2行从2开始有3个数，第3行从3开始有5个数，第4行从4开始有7个数，…，第n行从n开始，有2n－1个数，因此第n行各数的和为n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…2n－1[n＋3n－2]2

＋(3n－2)＝＝(2n－1). 2二、填空题

2223342

7．(文)(2013·眉山二诊)已知2＋3＝2×3，3＋8＝3×8，4＋15＝4b2b

4×15，…，若9＋a＝9×a(a、b为正整数)，则a＋b＝________.

2

[答案]

[解析] 观察前三式的特点可知，3＝22－1,8＝32－1,15＝42－1，故nn

其一般规律为n＋2＝n2×2，此式显然对任意n∈N，n≥2都

n－1n－199

成立，故当n＝9时，此式为9＋80＝81×80，∴a＝80，b＝9，a＋b＝.

(理)(2013·陕西理，14)观察下列等式 12＝1， 12－22＝－3， 12－22＋32＝6， 12－22＋32－42＝－10， ……

照此规律，第n个等式可为________． [答案] 1－2＋3－4＋…＋(－1)

2

2

2

2

n＋12

n＝(－1)

n＋1

nn＋1

·2(n∈N*)

[解析] 观察上述各式等号左边的规律发现，左边的项数每次加1，故第n个等式左边有n项，每项所含的底数的绝对值也增加1，依次为1,2,3…n，指数都是2，符号成正负交替出现可以用(－1)n＋1表示，等式的右边数的绝对值是左边项的底数的和，故等式的右边可以表示为 (－1)

n＋1

nn＋1

·2，所以第n个式子可为12－22＋32－42＋…＋(－1)n

nn＋1*

(n∈N)． 2

＋1n2＝(－1)n＋1·8．(2014·哈三中二模)对称数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数，如22,121,3443,94249等，显然2位对称数有9个；11,22,33，…，99,3位对称数有90个，101,111,121，…，191,202，…，999，则2n＋1(n∈N*)位对称数有________个． [答案] 9×10n

[解析] 易知对称数的位数与个数如表：

位数 2 3 4 5 … 个数 9 90 90 900 … ∴2n＋1倍对称数有9×10n个．

9．(文)(2014·东北三省三校二模)观察下列等式：13＝12,13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第n个等式为______________．

22nn＋1

[答案] 13＋23＋…＋n3＝ 4

[解析] 本题考查归纳推理，等式左边是连续n个正整数的立方和，右边的数都是整数的平方，由于1＝1,1＋2＝3,1＋2＋3＝6,1＋2＋3＋4nn＋12＝10，∴第n个等式右边是(1＋2＋3＋…＋n)，即[2]，

2

22nn＋1

故填13＋23＋…＋n3＝. 4

121321432(理)(2014·石家庄模拟)已知数列{an}：1，1，2，1，2，3，1，2，3，1

4，…，根据它的前10项的规律，则a99＋a100的值为________． 113

[答案] 56 [解析] 由前10项的构成规律知，分子分母和为n＋1(n∈N*)的共有n项，从和为2到和为n＋1的最后一项，共有1＋2＋3＋…＋n＝nn＋1nn＋1nn＋1

2项，当n＝13时，2＝91，n＝14时，2＝105，因此78113

a99和a100分别为和为15的第和第9项，∴a99＋a100＝8＋7＝56. 三、解答题

a

10．(文)已知函数f(x)＝x＋lnx(a∈R)，当x＝1时，函数y＝f(x)取得极小值． (1)求a的值；

13

(2)证明：若x∈(0，2)，则f(x)>2－x.

[解析] (1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)， a1x－a

f ′(x)＝－x2＋x＝x2. ∵x＝1时函数y＝f(x)取得极小值， ∴f ′(1)＝0，∴a＝1.

当a＝1时，在(0,1)内f ′(x)<0，在(1，＋∞)内f ′(x)>0， ∴x＝1是函数y＝f(x)的极小值点，满足题意． ∴a＝1.

33

(2)证明：f(x)>2－x等价于：f(x)＋x>2

x－1x2＋x－1

令g(x)＝f(x)＋x，则g ′(x)＝x2＋1＝x2， 令h(x)＝x2＋x－1.

11

∵h(0)＝－1<0，h(2)＝－4<0，

11

∴011333

∴g(x)>g(2)，即g(x)>2－ln2＋2＝2＋(1－ln2)>2，∴f(x)>2－x. (理)(2014·沈阳市质检)已知函数f(x)＝mx－sinx，g(x)＝axcosx－2sinx(a>0)．

(1)若函数y＝f(x)是(－∞，＋∞)上的单调递增函数，求实数m的最小值；

π

(2)若m＝1，且对于任意x∈[0，2]，都有不等式f(x)≥g(x)成立，求

实数a的取值范围．

[解析] (1)∵函数f(x)＝mx－sinx在R上单调递增， ∴f′(x)≥0恒成立， ∵f′(x)＝m－cosx， ∴m≥cosx，∴mmin＝1.

(2)∵m＝1，∴函数f(x)＝x－sinx， ∵f(x)≥g(x)，∴x＋sinx－axcosx≥0，

π

对于任意x∈[0，2]，令H(x)＝x＋sinx－axcosx，

则H′(x)＝1＋cosx－a(cosx－xsinx)＝1＋(1－a)cosx＋axsinx. ①当1－a≥0时，即00， π

∴H(x)在[0，2]上为单调增函数， ∴H(x)≥H(0)＝0符合题意，∴0②当1－a<0时，即a>1时，令h(x)＝1＋(1－a)cosx＋axsinx， 于是h′(x)＝(2a－1)sinx＋axcosx， ∵a>1，∴2a－1>0，∴h′(x)≥0， π

∴h(x)在[0，2]上为单调增函数，

ππ

∴h(0)≤h(x)≤h(2)，即2－a≤h(x)≤2a＋1， π

∴2－a≤H′(x)≤2a＋1.

(ⅰ)当2－a≥0，即1π

∴H(x)在[0，2]上为单调增函数，于是H(x)≥H(0)＝0，符合题意，∴1π

(ⅱ)当2－a<0，即a>2时，存在x0∈(0，2)，使得当x∈(0，x0)时，有H′(x)<0，

此时H(x)在(0，x0)上为单调减函数， 从而H(x)0恒成立． 综上所述，实数a的取值范围为0一、选择题

11．(文)(2013·重庆理，6)若a[解析] 因为a0，f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0，由零点存在性定理知，选A.

(理)(2014·山东理，4)用反证法证明命题“设a、b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( ) A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根

B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根 C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根 D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根 [答案] A

[解析] 至少有一个实根的否定为：没有实根．

12．(文)正方形ABCD的边长是a，依次连接正方形ABCD各边中点得到一个新的正方形，再依次连接新正方形各边中点又得到一个新的正方形，依次得到一系列的正方形，如图所示．现有一只小虫从A点出发，沿正方形的边逆时针方向爬行，每遇到新正方形的顶点时，沿这个正方形的边逆时针方向爬行，如此下去，爬行了10条线段．则这10条线段的长度的平方和是( ) 1023A.2048a2 5112C.1024a [答案] A

[解析] 由题可知，这只小虫爬行的第一段长度的平方为

122

a1＝(a)

2

1023B.768a2 20472D.4096a

1212＝4a2，第二段长度的平方为a2＝(4a)2＝8a2，…，从而可知，小虫爬121行的线段长度的平方可以构成以a2＝a为首项，1

42为公比的等比数列，12110

4a[1－2]1023a2

所以数列的前10项和为S10＝＝2048. 1

1－2

(理)对于大于1的自然数m的三次幂可以用技术进行以下方式的

733

“”：2＝，33＝9

5

11

13153

，4＝

1719



，…，仿此，若m3的“分

裂数”中有一个是59，则m＝( ) A．7 C．9 [答案] B

[解析] 由23,33,43的“”规律可知m3的共有m项，它们都是连续的奇数，其第一个奇数为(m－2)(m＋1)＋3，当m＝8时，第一个奇数为57，故m＝8，此时83＝57＋59＋61＋63＋65＋67＋69＋71. 1

13．已知正三角形内切圆的半径是其高的3，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是( )

1

A．正四面体的内切球的半径是其高的2 1

B．正四面体的内切球的半径是其高的3 1

C．正四面体的内切球的半径是其高的4 1

D．正四面体的内切球的半径是其高的5 [答案] C

111

[解析] 原问题的解法为等面积法，即S＝2ah＝3×2ar⇒r＝3h，类111

比问题的解法应为等体积法，V＝3Sh＝4×3Sr⇒r＝4h，即正四面体的

B．8 D．10

1

内切球的半径是其高的4，所以应选C.

14．①已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2，用反证法证明时，可假设p＋q≥2，②已知a、b∈R，|a|＋|b|<1，求证方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1.用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1.以下结论正确的是( ) A．①与②的假设都错误 B．①与②的假设都正确 C．①的假设正确；②的假设错误 D．①的假设错误；②的假设正确 [答案] D

[解析] 反证法的实质是命题的等价性，因为命题p与命题的否定¬p真假相对，故直接证明困难时，可用反证法．故选D.

15．(2014·邯郸市模拟)已知直线y＝k(x＋1)(k>0)与函数y＝|sinx|的图象恰有四个公共点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)其中x1[解析] ∵直线y＝k(x＋1)(k>0)与y＝|sinx|图象恰有四个公共点，如图

B．sinx4＝(x4＋1)cosx4 D．sinx4＝(x4＋1)tanx4

∴当x∈(π，2π)时，函数y＝|sinx|＝－sinx，y′＝－cosx. 依题意，切点为(x4，y4)，∴k＝－cosx4， 又x∈(π，2π)时，|sinx4|＝－sinx4

∴y4＝k(x4＋1)，即－sinx4＝(－cosx4)·(x4＋1)， ∴sinx4＝(x4＋1)cosx4，故选B. 二、填空题

16．(文)(2014·新课标Ⅰ理，14)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A、B、C三个城市时，

甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市； 乙说：我没去过C城市； 丙说：我们三人去过同一个城市． 由此可判断乙去过的城市为________． [答案] A

[解析] 由于甲没去过B城市，且比乙去过的城市多，因此甲最多去过两个城市，因此甲去过A、C城市，又乙没去过C城市，三人去过同一城市，则该城市甲必去过，故只能是A城市．

x2y2(理)(2014·河北衡水中学二调)椭圆中有如下结论：椭圆a2＋b2＝

xy

1(a>b>0)上斜率为1的弦的中点在直线a2＋b2＝0上，类比上述结论：x2y2

双曲线a2－b2＝1(a，b>0)上斜率为1的弦的中点在直线________上． xy

[答案] a2－b2＝0

x2y2x

[解析] 椭圆a2＋b2＝1(a>0，b>0)上斜率为1的弦的中点在直线a2＋yx2y2

b2＝0上．类比上述结论可知，双曲线a2－b2＝1(a>0，b>0)上斜率为1xy

的弦的中点在直线a2－b2＝0上．

17．(文)(2013·哈尔滨质检)对于任意实数x，符号[x]表示不超过x的最大整数．例如：[1]＝1，[2.5]＝2.那么[log21]＋[log22]＋[log23]＋[log24]＋…＋[log21024]＝________. [答案] 8204

[解析] 依题意，当2k≤n<2k＋1(k∈N)时，k≤log2n2S＝1·22＋2·23＋3·24＋…＋9·210，②

由①－②得－S＝(2＋22＋23＋…＋29)－9×210＝－8×210－2，S＝8×210＋2，故所求的和等于8×210＋2＋10＝8204.

(理)平面向量也叫二维向量，二维向量的坐标表示及其运算可以推广到n(n≥3)维向量，n维向量可用(x1，x2，x3，…，xn)表示．设向量a＝(a1，a2，a3，…，an)，b＝(b1，b2，b3，…，bn)，规定向量a与b的

aibi

i＝1

n

夹角θ的余弦为cosθ＝n2

aib2ii＝1i＝1



n

.当a＝(1,1,1，…，1n个1，b＝(－



1，－1，1,1，…，1n－时，cosθ＝________. 2个1

n－4

[答案] 4 [解析] 依据n维向量的坐标表示及n维向量a与b的夹角余弦公式得，当a＝(1,1,1，…，1n，b＝(－1，－1，1,1，…，1n－2个时，a个i＝1n

ibi＝1×(－1)＋1×(－1)＋1×1＋…＋1×1＝n－4.

222

a2i＝1＋1＋…＋1＝n， i＝1

n

2222b2i＝(－1)＋(－1)＋1＋…＋1＝n， i＝1

n

n－4∴cosθ＝＝n. n·n三、解答题

18．(2013·太原调研)设x、y为正实数，a＝x2＋xy＋y2，b＝pxy，c＝x＋y.

(1)如果p＝1，则是否存在以a、b、c为三边长的三角形？请说明理由；

(2)对任意的正实数x、y，试探索当存在以a、b、c为三边长的三角

n－4

形时p的取值范围．

[解析] (1)存在以a、b、c为三边长的三角形． 当p＝1时，b＝xy.

∵c2＝x2＋y2＋2xy>x2＋y2＋xy＝a2，

∴c>a，又a2＝x2＋xy＋y2>xy＝b2，∴a>b，∴c>a>b， ∵x＋y＋∴

x＋y＋

x2＋xy＋y2>xy显然成立， xyx＋xy＋y

2

2

2

<1，

xy

∴c－a＝x＋y－x＋xy＋y＝22

x＋y＋x＋xy＋y

2

∴a＋b>c.

即p＝1时，存在以a、b、c为三边长的三角形．

a＋c>b，

(2)∵ac－ax＋y－x2＋xy＋y2>pxy，x2＋xy＋y2ft>p，x

两边除以xy，令y＝t，得

gt1

这里f(t)＝t＋＋t1

g(t)＝t＋－t

1t＋t＋1，

1

t＋t＋1.

112

∵x、y为正实数，∴t为正数，令u＝t＋，则u≥2，t＋t＝u－2，

t∴g(t)＝u－令h(u)＝u－则h′(u)＝1－

u2－1， u2－1(u≥2) <0， u－1

2

u

∴h(u)在[2，＋∞)上单调递减， ∴h(u)≥h(2)＝2－3. 1

即g(t)≤2－3.又f(t)＝t＋＋

t

1t＋t＋1≥2＋

2＋1＝2＋3，

当且仅当t＝1时，f(t)取最小值2＋3，g(t)取最大值2－3， 因此p的取值范围为2－3