自动控制原理 孟华第3章习题解答

c(t)10.2e60t1.2e10t试求：（1）系统的闭环传递函数Φ(s)=？

(2) 阻尼比ζ=？无自然振荡频率ωn=？ 解：（1）由c(t)得系统的单位脉冲响应为g(t)12e60t(t0)

12e10t

(s)L[g(t)]1211600 122s10s60s70s6002n （2）与标准(s)2对比得： 2s2nnn60024.5，7026001.429

3.2.设图3.36 (a)所示系统的单位阶跃响应如图3.36 (b)所示。试确定系统参数K1,K2和a。

(a) (b)

图3.36 习题3.2图

解：系统的传递函数为

K12nK1K2s(sa)W(s)K22K2 2K1sasK1s2nn1s(sa)又由图可知：超调量 Mp431 33 峰值时间 tp0.1s

代入得

2nK1121 e30.112nKK2解得：

ln312；0.33，n101221108.， 33.3，K1na2n20.3333.321.98，K2K3。

3.3. 给定典型二阶系统的设计性能指标：超调量p5%，调节时间 ts3s，峰值时间tp1s，试确定系统极点配置的区域，以获得预期的响应特性。 解：设该二阶系统的开环传递函数为

2n Gsss2n120.05pe3则满足上述设计性能指标：ts3

nt1p2n1得：0.69，n1n12

由上述各不等式得系统极点配置的区域如下图阴影部分所示：

3.4.设一系统如图3.37所示。

(a)求闭环传递函数C(s)/R(s)，并在S平面上画出零极点分布图； (b)当r(t)为单位阶跃函数时，求c(t)并做出c(t)与t的关系曲线。

图3.37 习题3.4图

解： (a)系统框图化简之后有

C(s)2s2R(s)s0.5s2.252s(s3535j)(sj)2235j 2

z12,s1,2零极点分布图如下：

(b) 若rt为单位阶跃函数，Lrt1 ，则 s235)41s23541C(s)s2s3535(sj)(sj)22s(s2 3588s1818s22353535s35235s3523535235(s2)s2s()s2()4422c(t)8835235costsint 35352235大致曲线图略。

3.5.已知二阶系统的闭环传递函数为

2nC(s) 2R(s)s22nsn 分别在下述参数下确定闭环极点的位置，求系统的单位阶跃响应和调整时间。 (1) =2，n=5s1； (2) 1.2，n=5s1；

(3) 说明当≥1.5时，可忽略其中距原点较远的极点作用的理由。 解：（1）>1,闭环极点s1,2nn211053

W(s)C(s)25 2R(s)s20s25C(s)W(s)R(s)251 2s20s25sT11n(21)tT111 T2

5(23)5(23)tT2eee5(23)te5(23)t c(t)11T2T11T1T21643643s11.34,s218.66|s2/s1|13.95

e5(23)tc(t)111.07735e1.34t

643ts2.29s

（2）1.2)>1,闭环极点s1,2nn21650.44

W(s)C(s)25 2R(s)s20s25T1tT111 , T2

5(1.20.44)5(1.20.44)tT2eee5(1.20.44)te5(1.20.44)t c(t)11T2T11T1T211.20.441.20.44111.20.441.20.44s1650.442.68,s29.32

ts1(6.451.7)(6.451.21.7)1.2s n51 （3）答：1.5时，s1,2nn217.551.25。s11.91，

s213.09，|s2/s1|6.855，两个闭环极点的绝对值相差5倍以上，离原点较远的极点

对应的暂态分量初值小、衰减快（是距离虚轴较近的极点暂态分量衰减速度的5倍以上），因

此可以忽略掉。

2n3.6.设控制系统闭环传递函数为G(s)2，试在S平面上绘出满足下列各2s2nsn要求的系统特征方程式根可能位于的区域： (1) 1> ≥0.707，n≥2 (2) 0.5≥>0，4≥n≥2

(3) 0.707≥>0.5，n≤2

3.7.一种测定直流电机传递函数的方法是给电枢加一定的电压，保持励磁电流不变， 测出电机的稳态转速；另外要记录电动机从静止到速度升为稳态值的50%或63.2%所需的时间，利用转速时间曲线（见图3.38）和所测数据，并假设传递函数为 G(s)(s)K V(s)s(sa)

图3.38 习题3.7图

可求得K和a的值。若实测结果是：加10V电压可得 1200r/min的稳态转速，而达到该值50%的时间为1.2s，试求电机传递函数。

提示：注意

(s)K=，其中(t)d，单位是rad/s V(s)sadt(s)K=可得 V(s)sa解： 由式

(s)KK1010KV(s)sasasa11s(s1)a10K11() assa10Kat(t)(1e)0(1eT)

at(1.2)0(1e1.2a)0.50(1e1.2a)0.5

aln20.58 1.210K01200rmin20r/s aka00.58201.16 1010电机传递函数为：G(s)(s)K1.16 V(s)s(sa)s(s0.58)3.8.系统的特征方程式如下，要求利用劳斯判据判定每个系统的稳定性，并确定在右半s平面其根的个数及纯虚根。

(1) s3s3s2s20 (2) 0.02s30.3s2s200

(3) s52s42s344s211s100 (4) 0.1s41.25s32.6s226s250 答案：

（1）劳斯表如下：

432s4s3s2s1s013734723222

劳斯表第一列元素的符号变化两次，系统有两个正实部根，系统不稳定 （2）劳斯表如下：

s3s2s

1

0.0210.3201320

s0

劳斯表第一列元素的符号变化两次，系统有两个正实部根，系统不稳定 （3）劳斯表如下：

s5s4s3s21220223523385102114410610

s1s0劳斯表第一列元素的符号变化两次，系统有两个正实部根，系统不稳定 （4）劳斯表如下：

s4s3s2s1s00.11.250.522.6252625

劳斯表第一列元素符号没有变化，所以系统有两个正根，系统稳定

3.9.有一控制系统如图3.39所示，其中控制对象的传递函数是

1 G(s)

s(0.1s1)(0.2s1)采用比例控制器，比例增益为Kp ，试利用劳斯判据确定Kp值的范围。

图3.39 习题3.9图

解：G(s)Kps(0.1s1)(0.2s1)3

2特征方程为：D(s)0.002s0.3ssKp0 劳斯表如下：

s3s2ss100.0020.30.30.002Kp0.3Kp1Kp

0.30.002Kp0要使系统稳定只需，解得 0Kp150。 0.3Kp03.10.某控制系统的开环传递函数为 G(s)H(s)K(s1)

s(Ts1)(2s1)试确定能使闭环系统稳定的参数K、T的取值范围。 解：由系统开环传函可知

D(s)s(Ts1)(2s1)K(s1)2Ts(2T)s(K1)sK0劳斯表如下：

32

s3s2s1s02T2T2K(1K)T22TKK1K

由劳斯准则可知，欲使系统稳定，则第一列元素符号不能改变。若第一列元素均大于0，即

T02T0 2K(1K)T20K0解得

K0，2(K1)(K1)T

2(K1)，当0K1时,T0。

K1当K>1时0T

3.11.设单位反馈系统的开环传递函数分别为 K*(s1) (1) G(s)

s(s1)(s5)K* (2) G(s)

s(s1)(s5)试确定使闭环系统稳定的开环增益Ｋ的取值范围（注意K≠K*解：(1) D(s)0.2s0.8s(K1)sK0

32

劳斯表如下：

s3s2s1s00.20.83K44KK1K0

解得：使闭环系统稳定的开环增益Ｋ的取值范围K(2) D(s)0.2s0.8ssK0

324。 3由于特征方程出现小于零的系数，可知无论开环增益Ｋ取何值闭环系统都不稳定。 3.12.设单位反馈系统的开环传递函数为

K G(s)

s(1s/3)(1s/6)若要求闭环特征方程的根的实部均小于-１，问Ｋ值应取在什么范围?如果要求实部均小于2，情况又如何?

解：由反馈系统的开环传函

G(s)K18K sss(1)(1)s(s3)(s6)36D(s)s39s218s18K0

（1）令sz1,得：劳斯表如下：

D(z)(z1)39(z1)218(z1)18Kz6z3z18K10032

z3z2z1z013618K10 2818K618K10欲使系统稳定，则第一列元素符号不能改变，大于零：

2818K0514得 K 9918K100（2）令sz2,得：

D(z)(z2)39(z2)218(z2)18Kz3z6z18K8032

如果要求实部均小于2，由特征方程可见，a260，系统稳定的必要条件不成立，无论K取何值，系统都不稳定。

3.13.单位反馈系统的开环传递函数为G(s)4s(s22s2)

(1) 求系统的单位阶跃响应；

(2) 输入信号为r(t) =1(t)，求系统的误差函数e(t)； 解：（1） 开环传递函数G(s)4

s(s22s2)44 22s(s2s2)4(s2)(s2)闭环传递函数 W(s)单位阶跃响应

C(s)K2sK3K141K0

ss2(s22)(s2)ss221K01，K1

32K2K3

3112s11112s22 C(s)3222ss23s2s3s23s23s2122c(t)1e2tcos2tsin2t

333 （2）不考虑扰动作用

r(t)1(t) G(s)2 2s(0.5ss1)KplimG(s)s0essr 1101Kp13.14.某控制系统的结构图如图3.40 所示。

(1) 当a=0时，试确定系统的阻尼比ζ，无阻尼自然振荡频率ωnn和单位斜坡信号作用时系统的稳态误差。

(2) 当系统具有最佳阻尼比（ζ=0.707）时，确定系统中的a值和单位斜坡信号作用时系统的稳态误差。

(3) 若要保证系统具有最佳阻尼比（ζ=0.707），且稳态误差等于0.25时，确定系统中的a值及前向通道的放大系数应为多少？ 解：(1) 当a=0时，G(s)

图3.40 习题3.14图

2188，W(s)2，n8，  2ns(s2)s2s8810.25。 KvKvlimsG(s)4，单位斜坡信号作用时系统的稳态误差essrs0(2) 当ζ=0.707时，G(s)88，W(s)2，n8，

s(s28a)s(28a)s82n2288428a，得a0.25，G(s)，KvlimsG(s)2，

s02s(s4)10.5。 Kv单位斜坡信号作用时系统的稳态误差essr(3) 此时G(s)KK，W(s)2

s(s2Ka)s(2Ka)sKKvlimsG(s)s0K4

2Ka2n2联立上两式解得

2K2Ka 2K32，a3。 16 3.15．已知单位反馈系统闭环传递函数为

b1sb0C(s)4 R(s)s1.25s35.1s22.6s10 (1) 求单位斜坡输入时，使稳态误差为零，参数b0,b1应满足的条件； (2) 在(1)求得的参数b0,b1下，求单位抛物线输入时，系统的稳态误差。 解：（1）等效单位负反馈开环传递函数

G(s)b1sb0

s41.25s35.1s2(2.6b1)s10b0根据单位斜坡输入时，稳态误差为0得：

b0102.6s10G(s)即开环传递函数为 22b2.6s(s1.25s5.1)1（2）单位抛物线输入时

s2(2.6s10)10KalimsG(s)lim22

s0s0s(s1.25s5.1)5.12essrC5.1 Ka103.16.系统结构图如图3.41 所示。

(1) 当r(t) = t， n(t) = t时，试求系统总稳态误差 (2) 当r(t) = 1(t)，n(t) = 0时，试求p,tp。

图3.41 习题3.16图

解：（1）

参考作用下的误差传递函数为

N(s)0,Er(s)1R(s)1G(s)141s(2s1)R(s)

稳态误差为

essr或

2s2s1limsEr(s)lims220.25 s0s02ss4sKvlimsG(s)limss0s044s(2s1)essr10.25Kv

扰动作用下的误差传递函数为

R(s)0,En(s)1N(s)1G(s)141s(2s1)N(s)

稳态误差为

essn2s2s1limsEn(s)lims(2)20.25 s0s02ss4s系统总误差为

essessressn0

（2）当r(t) = 1(t)，n(t) = 0时，G(s)4，

s(2s1)n2G(s)42 W(s)22221G(S)2ss4s0.5s2s2nsnn2解得：1

4212petp100%e31

n12211324 31 3.17.设单位反馈控制系统的开环传递函数为

100 G(s)

s(0.1s1)试求当输入信号r(t)=12tt2时，系统的稳态误差。 解：系统为I型系统

KvlimsG(s)limss0s0100100，Kp,Ka0

s(0.1s1)essABC00.02

1KpKvKa3.18.在许多化学过程中，反应槽内的温度要保持恒定， 图3.42（a）、（b）分别为开环和闭环温度控制系统结构图，两种系统正常的K值为1。

(a) (b)

图3.42 习题3.18图

（1） 若r(t)1(t)，n(t)0两种系统从响应开始达到稳态温度值的63.2％各需多长时间？

（2） 当有阶跃扰动n(t)0.1时，求扰动对两种系统的温度的影响。 解：（1）

1Rs

10s1达到稳态温度值的62.3%需时T10

1闭环：CsRs

0.1s1达到稳态温度值的62.3%需时T0.1

开环：Cs（2）

1Ns

10s11闭环：CsNs

10s100开环：Cs各项指标不变。

又解：can(t)=0.1，加干扰后对系统始终有影响；

cbn(t)=0.1e-10t，加干扰后，当t趋于无穷时，对系统没有影响。 结论：反馈结构可以消除干扰的影响。