集合的含义与表示 学案(1)
学习目标：
（1） 了解集合、元素的概念，体会集合中元素的三个特征； （2） 理解元素与集合的“属于”和“不属于”关系； （3） 掌握常用数集及其记法； 学习内容：
（一）集合的有关概念
1. 集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们 能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。 2. 一般地，我们把研究对象统称为元素（element），一些元素组成的总体
叫集合（set），也简称集。 3. 关于集合的元素的特征
（1）确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。 （2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素。 （3）无序性：给定一个集合与集合里面元素的顺序无关。 （4）集合相等：构成两个集合的元素完全一样。
4. 思考1：判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由：
（1） 大于3小于11的偶数； （2） 我国的小河流； （3） 非负奇数；
（4） 方程x210的解；
（5） 某校2007级新生； （6） 血压很高的人； （7） 着名的数学家；
（8） 平面直角坐标系内所有第三象限的点 （9） 全班成绩好的学生。 5. 元素与集合的关系；
（1）如果a是集合A的元素，就说a属于（belong to）A，记作：a∈A （2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于（not belong to）A，记
作：aA
例如，我们A表示“1~20以内的所有质数”组成的集合，则有3∈A 4A，等等。
6．集合与元素的字母表示： 集合通常用大写的拉丁字母A，B，C…表示，集合
的元素用小写的拉丁字母a,b,c,…表示。 ７．常用的数集及记法：
非负整数集（或自然数集），记作N； 正整数集，记作N*或N+； 整数集，记作Z； 有理数集，记作Q； 实数集，记作R；
（二）相关例题：
例1．用“∈”或“”符号填空： （1）8 N； （2）0 N； （3）-3 Z； （4）2 Q；
（5）设A为所有亚洲国家组成的集合，则中国 A，美国 A，印
度 A，英国 A。 例2．已知集合P的元素为1,m,m23m3, 若3∈P且-1P，求实数m的
值。
集合的含义与表示 学案(2)
学习目标：
（1）了解集合的表示方法；
（2）能正确选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用； 学习过程： 一、复习回顾：
１．集合和元素的定义；元素的三个特性；元素与集合的关系；常用的数集
及表示。
２．集合{1,2}、{(1,2)}、{(2,1)}、{2,1}的元素分别是什么？有何关系 二、新课学习 （一）．集合的表示方法
我们可以用自然语言和图形语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便，除此之外还常用列举法和描述法来表示集合。
(1) 列举法：把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“”括起
来表示集合的方法叫列举法。
如：{1，2，3，4，5}，{x2，3x+2，5y3-x，x2+y2}，…；
说明：1．集合中的元素具有无序性，所以用列举法表示集合时不必考
虑元素的顺序。
2．各个元素之间要用逗号隔开； 3．元素不能重复；
4．集合中的元素可以数，点，代数式等；
5．对于含有较多元素的集合，用列举法表示时，必须把元素间的
规律显示清楚后方能用省略号，象自然数集Ｎ用列举法表示为
1,2,3,4,5,......
例1．（课本例1）用列举法表示下列集合： （1）小于10的所有自然数组成的集合； （2）方程x2=x的所有实数根组成的集合； （3）由1到20以内的所有质数组成的集合；
x2y0;（4）方程组的解组成的集合。
2xy0.
思考2：（课本P4的思考题）得出描述法的定义：
（2）描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在花括号{ }内。
具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。
一般格式：xAp(x)
如：{x|x-3>2}，{(x,y)|y=x2+1}，{x︳直角三角形}，…； 说明：
1．课本P5最后一段话； 2．描述法表示集合应注意集合的代表元素，如{(x,y)|y= x2+3x+2}与 {y|y= x2+3x+2}是不同的两个集合，只要不引起误解，集合的代表元素也可省略，例如：{x︳整数}，即代表整数集Z。
辨析：这里的{ }已包含“所有”的意思，所以不必写{全体整数}。下列写法{实数集}，{R}也是错误的。
例2．（课本例2）试分别用列举法和描述法表示下列集合： （1）方程x2—2=0的所有实数根组成的集合； （2）由大于10小于20的所有整数组成的集合；
xy3;（3）方程组的解。
xy1.
说明：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。 （二）．相关练习：
１．用适当的方法表示集合：大于0的所有奇数
2．集合A＝{x|
4∈Z，x∈N}，则它的元素是 。 x33．已知集合A＝{x|-3合B用列举法表示是第一章 集 合
集合的含义与表示
一、选择题
1．下列各组对象
①接近于0的数的全体； ②比较小的正整数全体； ③平面上到点O的距离等于1的点的全体；④正三角形的全体；
⑤2的近似值的全体．
其中能构成集合的组数有( ) A．2组 B．3组 C．4组 D．5组 2．设集合M＝{大于0小于1的有理数}， N＝{小于1050的正整数}， P＝{定圆C的内接三角形}， Q＝{所有能被7整除的数}， 其中无限集是( ) A．M、N、P B．M、P、Q C．N、P、Q D．M、N、Q 3．下列命题中正确的是( )
2
A．{x｜x＋2＝0}在实数范围内无意义 B．{(1，2)}与{(2，1)}表示同一个集合 C．{4，5}与{5，4}表示相同的集合 D．{4，5}与{5，4}表示不同的集合 4．直角坐标平面内，集合M＝{(x，y)｜xy≥0，x∈R，y∈R}的元素所对应的点是( ) A．第一象限内的点 B．第三象限内的点 C．第一或第三象限内的点 D．非第二、第四象限内的点
5．已知M＝{m｜m＝2k，k∈Z}，X＝{x｜x＝2k＋1，k∈Z}，Y＝{y｜y＝4k＋1，k∈Z}，则( )
A．x＋y∈M B．x＋y∈X C．x＋y∈Y D．x＋yM 6．下列各选项中的M与P表示同一个集合的是( )
22
A．M＝{x∈R｜x＋＝0}，P＝{x｜x＝0}
22
B．M＝{(x，y)｜y＝x＋1，x∈R}，P＝{(x，y)｜x＝y＋1，x∈R}
22
C．M＝{y｜y＝t＋1，t∈R}，P＝{t｜t＝(y－1)＋1，y∈R} D．M＝{x｜x＝2k，k∈Z}，P＝{x｜x＝4k＋2，k∈Z} 二、填空题
7．由实数x，－x，｜x｜所组成的集合，其元素最多有______个．
2
8．集合{3，x，x－2x}中，x应满足的条件是______．
9．对于集合A＝{2，4，6}，若a∈A，则6－a∈A，那么a的值是______． 10．用符号∈或填空：
①1______N，0______N．－3______Q，，2______R． ②
1______R，5______Q，｜－3|______N＋，｜－3｜______Z． 22
11．若方程x＋mx＋n＝0(m，n∈R)的解集为{－2，－1}，则m＝______，n＝______．
12．若集合A＝{x｜x＋(a－1)x＋b＝0}中，仅有一个元素a，则a＝______，b＝______．
2
xy113．方程组yz2的解集为______．
zx314．已知集合P＝{0，1，2，3，4}，Q＝{x｜x＝ab，a，b∈P，a≠b}，用列举法表示集合Q＝______．
15．用描述法表示下列各集合：
①{2，4，6，8，10，12}________________________________________________． ②{2，3，4}___________________________________________________________．
③{,,,,}______________________________________________________． 16．已知集合A＝{－2，－1，0，1}，集合B＝{x｜x＝｜y｜，y∈A}，则B＝______． 三、解答题
17．集合A＝{有长度为1的边及40°的内角的等腰三角形}中有多少个元素？试画出这些元素来．
2
18．设A表示集合{2，3，a＋2a－3}，B表示集合{a＋3，2}，若已知5∈A，且5B，求实数a的值．
19．实数集A满足条件：1A，若a∈A，则
12345345671A． 1a(1)若2∈A，求A；
(2)集合A能否为单元素集？若能，求出A；若不能，说明理由； (3)求证：1
1A． a20．已知集合A＝{x｜ax－3x＋2＝0}，其中a为常数，且a∈R ①若A是空集，求a的范围；
②若A中只有一个元素，求a的值；
③若A中至多只有一个元素，求a的范围．
21．用列举法把下列集合表示出来： ①A={xN|②B={2
9N}; 9x9N|xN}; 9x2
③C＝{y｜y＝－x＋6，x∈N，y∈N}；
2
④D＝{(x，y)｜y＝－x＋6，x∈N，y∈N}； ⑤E＝{x|px,pq5,pN,qN*} q
2
22．已知集合A＝{p｜x＋2(p－1)x＋1＝0，x∈R}，求集合B＝{y｜y＝2x－1，x∈A}．
