３Ｏ 兹 袭蠢 ｓＨＩⅨ１ ＥＴＩＡｏＹｕ 孺嘲 中学数学教学中的应用 云南师范大学附属世纪金源学校摘要：数学离不开猜想。导入新课时 教师提出有探索性、挑战性的问题，往往 能够诱发学生的猜想，教学中若能经常善 于引导学生大胆提出猜想或假说，一定会 收到意想不到的效果。 关键词：猜想归纳类比演绎 逆向思维直观形象 猜想在数学发展中有着不可忽视的 作用，如著名的哥德猜想、费尔马大 定理、四色定理等都是以猜想开始，然后 再设法证明的，可以说没有猜想就没有数 学。“先猜后证”不仅是研究数学的基本 方法，同时也是学好数学，培养创造才能 的重要途径。猜想的基本形式是多样的， 本文结合自己的教学实践活动来谈谈猜 想在数学教学中的应用。 通过归纳提出猜想：就是考察某 种数学对象的若干特例。从中揣摩此类对 象的共性，对该类对象做出某种一般性判 断的猜想方法 一刘兴良 来，假设点眠在 直线Ｚ上从左向右 逐渐移动，可发 现，开始时张角极 小，随着 点的 右移，张角逐渐增大，随后当接近 点 时，张角又逐渐变小（到了 点，张角等 于０ｏ）。 根的情况，即： ｒ△１＜０ ｛△２＜０ 【Ａ ＜０ 从而得到不等式组的解集为Ａ＝｛ｎ ｆ一妻＜ｎ＜一ｌ｝，则原题目中。的取值 范围为： 一、于是初步猜想，在这两个极端情况之 间一定存在一点 ，它对Ｃ、Ｄ两点的张 角最大．类比圆弧与圆周角的知识，便可 进一步猜想：过ｃ、Ｄ两点作圆与直线２ 相切，切点 即为所求，问题得以解决。 由此可知通过类比提出猜想的思维 方法是：观察一联想一类比一猜想． 三、通过演绎提出猜想：在解题过程 中，结合已有的知识和经验，对要解决的 问题提出探索性的猜想。然后以这个猜想 为依据进行推理。这就是演绎猜想法 例３已知。＞０，ｂ＞０，求证 （旦 ）３ｏ ｛０ ＩⅡ≥一１或。≤一— １。 五、通过直观形象引发猜想：通过直 观形象让学生发现问题，提出猜想的内 容，在中学数学中也十分常见 例５ ｔａｎＡ与ｔａｎ（旱－Ａ）是方程 ｘ２＋ｐｘ＋ｑ＝０的解，若３ｔａｎＡ＝２ｔａｎ（旱 －Ａ），求Ｐ与ｑ的值。 分析：欲求Ｐ与ｑ的值，需求出ｔａｎＡ ）的值，猜想利用二者的 ≥ 与ｔａｎ（－Ａ＋ 例１已知 ） 较ｆ（ｘ／Ｔ）－￣ 分析：‘・’ ， ｅ胴，试比 关系即可求ｔａｎＡ，进而得到ｔａｎ（ ＋ ＿Ｊ。 的大小。 卜 （ ） 分析：不等式左边出现ａ，ｂ的立方 和，右边出现。，ｂ和的立方，将二者联系 在一起，就是解决问题的关键，由左边的 结构引发猜想，大胆应用ａＺ－ａｂ＋ｂ ≥ 猜想将ａ２－ａｂ＋ｂ ≥ 两边同乘以 （ａ＋ｂ），先满足左边的结构，这时出现了 ＋６０≥ａ２ｂ＋ａｂ （】＝） 略解为：设ｔ＝ｔａｎＡ， 则ｔａｎ（午－Ａ） 鲁 ｏｏ 根据函数的单调性只需比较２ 与 的大小。 ・．．．３ｔａｎＡ＝２ｔａｎ（旱－Ａ） ｆ 二ｆ１］ １ ． 当ｎ＝ｌ时，有．，（、／ ）＞等 ； ； 结合ａ３ｂ＋ａｂ。与（ａ＋ｂ）。对比分析，猜 想将①式左右同乘以３有 ３（Ⅱ３＋ｂ ）≥３ ＋３ａｂ ② … 当ｎ＝２时，有，（、／ ）＝ 当ｎ＝３时，有． 解得ｔ＝— 或ｔ＝一２。 、／ ）＜ ； 进一步猜想将②式左右两边同时加 上ａ３＋ｂ。有 ４（ ＋６０）≥（ａ＋ｂ）３ｏ 当ｎ＝４时，有，【、／ ）＝旦；＝ ； 当ｎ＝５、６时，有，（＼／ ）＞ ．。 由此可以猜想ｎ≥５时 厂（ｘ／２）＞ ，可以证明该结论对于ｎ≥５（ｎ∈ ｎ 十上 ）成立。 由此可总结，归纳猜想的思维方法 是：试验——观察——归纳——猜想，其 中试验是基础，归纳是关键。 二、通过类比提出猜想：就是由数学 对象Ａ联想到与它类似的数学对象Ｂ， 根据数学对象曰具有某种性质的事实， 判断数学对象Ａ也具有某种类似的性质 例２在直线Ｚ的同侧有Ｃ、Ｄ两点， 在直线ｌ上找点 ，使它对Ｃ、Ｄ两点的 张角最大。 探究：本题的结论不能一眼就看得出 到此问题的已被挖掘出来。 上述例题告诉我们，解决问题时，结 合题目中的条件，利用已有知识和经验， 大胆联系，合理猜想，在实践中一步步将 猜想变为现实，这就是由演绎引发猜想在 解题中的重要应用。 四、通过逆向思维提出猜想：具有互 否关系的数学对象间的猜想，若问题结论 较复杂，不易求解时，可猜想到它的“反 面”。即结论的否定，通过对其“反面”的分 析，使问题得到解决 例４三个方程 ＋４ ＋３—４ａ＝Ｏ， －＇４－ （０—１ｈ＋ ＝０，ｘＺ＋２ａｘ一２ａ＝Ｏ中至少有一个 方程有实根，求实数ａ的取值范围． 分析：三个方程中至少有一个方程有 分两种ｌ青况用韦达定理求得ｐ，ｑ的值。 直觉思维源于生动形象的直观素材， 爱因斯坦说过：“真正可贵的因素是直 觉。”波利亚也曾指出：“直观的洞察和逻 辑思维的证明是感知真理的两种不同方 式，直观的洞察可能远远超前于逻辑思维 的证明。”教学中教师要鼓励学生从直观 形象中发现解题的思路。 猜测、猜想、想象、灵感、念头、主意 等，都是表示数学思维过程中似乎不那么 肯定的东西。在解决问题的过程中，猜想 直在起作用，甚至指导着整个数学思维 的活动，当你一筹莫展时，一个思想的火 花，一个突如其来的猜想，都会引导你做 出新发现。 一参考文献： 实根分为三类，共七种情况，若一～求解 并将结论并起来，那是一个极其复杂的事 情，猜想其对立面——三个方程都没有实 ２０１０・１９ ［１］董奇主编．新课程与教育评价改 革．陕西师范大学出版社．２００３年 ［２］任长松著．课程的反思与重建．北 京大学出版社．２００２年
