立体几何理科练习题
1.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是棱长为2的正方形，侧面PAD为正三角形，且面PAD⊥面ABCD，E、F分别为棱AB、PC的中点． （1）求证：EF∥平面PAD； 求三棱锥B-EFC的体积； 求二面角P-EC-D的正切值．
2.如图，三棱柱ABF-DCE中，∠ABC=120°，BC=2CD，AD=AF，AF⊥平面ABCD．
（Ⅰ）求证：BD⊥EC；
（Ⅱ）若AB=1，求四棱锥B-ADEF的体积．
3.正方体ABCD-A1B1C1D1，AA1=2，E为棱CC1的中点． （1）求证：B1D1⊥AE；
（2）求三
（2）（3）
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棱锥A-BDE的体积．
4. 如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，平面PAD⊥底面ABCD，且△PAD是边长为2的等边三角形，PC=（1）求证：M是PC的中点； （2）求多面体PABMD的体积．
5.已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，△PAB是等边三角形，AB=2，PC=
，AB的中点为E
，M在PC上，且PA∥面MBD．
（1）证明：PE⊥平面ABCD； （2）求三棱锥D-PBC的体积．
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6.一块边长为10cm的正方形铁块按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器． （1）试把容器的容积V表示为x的函数 （2）若x=6，求图2的主视图的面积
7.如图，矩形ABCD中，BC=2，AB=1，PA⊥平面ABCD，BE∥PA，BE=PA，F为PA的中点．
（1）求证：PC∥平面BDF．
（2）记四棱锥C-PABE的体积为V1，三棱锥P-ACD的体
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积为V2，求的值．
8.如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1=AC=CB=2，AB=2
．
（Ⅰ）证明：BC1∥平面A1CD； （Ⅱ）求锐二面角D-A1C-E的余弦值．
9. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，PD⊥平面ABCD，PD=AD=1，点E、F分别为AB和PC的中点，连接EF、BF． （1）求证：直线EF∥平面PAD； 求三棱锥F-PBE的体积．
（2）
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10. 如图，梯形FDCG，DC∥FG，过点D，C作DA⊥FG，CB⊥FG，垂足分别为A，B，且DA=AB=2．现将△DAF沿DA，△CBG沿CB翻折，使得点F，G重合，记为E，且点B在面AEC的射影在线段EC上． （Ⅰ）求证：AE⊥EB；
（Ⅱ）设=λ，是否存在λ，使二面角B-AC-E的余弦值为？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．
11.在四边形ABCD中，对角线AC，BD垂直相交于点O，且OA=OB=OD=4，OC=3．
将△BCD沿BD折到△BED的位置，使得二面角E-BD-A的大小为90°（如图）．已知Q为EO的中点，点P在线段AB上，且（Ⅰ）证明：直线PQ∥平面ADE；
（Ⅱ）求直线BD与平面ADE所成角θ的正弦值．
．
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12.如图，四棱锥P-ABCD是底面边长为1的正方形，PD⊥BC，PD=1，PC=（Ⅰ）求证：PD⊥面ABCD； （Ⅱ）求二面角A-PB-D的大小．
13.如图在三棱锥A-BCD中，侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜边，且AD=
，BD=CD=1，另一个侧面是正三角形
．
（1）求证：AD⊥BC； （2）求二面角B-AC-D的余弦值；
（3）点E在直线AC上，当直线ED与平面BCD成30°角若时，求点C到平面BDE的距离．
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14. 如图所示，在边长为
的正方形ABCD中，以A为圆心画一个扇形，以
O为圆心画一个圆，M，N，K为切点，以扇形为圆锥的侧面，以圆O为圆锥底面，围成一个圆锥，求圆锥的全面积与体积．
15.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC=∠BAD=90°，AD=AP=4，AB=BC=2，M为PC的中点，点N在线段AD上． （I）点N为线段AD的中点时，求证：直线PA∥BMN； （II）若直线MN与平面PBC所成角的正弦值为0.8，求平面PBC与平面BMN所成角θ的余弦值．
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【答案】
1.（1）证明：取PD中点G，连结GF、AG，
∵GF为△PDC的中位线，∴GF∥CD且，
又AE∥CD且，∴GF∥AE且GF=AE，
∴EFGA是平行四边形，则EF∥AG， 又EF⊄面PAD，AG⊂面PAD， ∴EF∥面PAD；
（2）解：取AD中点O，连结PO，
∵面PAD⊥面ABCD，△PAD为正三角形，∴PO⊥面ABCD，且
，
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又PC为面ABCD斜线，F为PC中点，∴F到面ABCD距离，
故；
（3）解：连OB交CE于M，可得Rt△EBC≌Rt△OAB， ∴∠MEB=∠AOB，则∠MEB+∠MBE=90°，即OM⊥EC． 连PM，又由（2）知PO⊥EC，可得EC⊥平面POM，则PM⊥EC， 即∠PMO是二面角P-EC-D的平面角，
在Rt△EBC中，，∴，
∴，即二面角P-EC-D的正切值为
．
（Ⅰ）证明：三棱柱ABF-DCE中，AF⊥平面ABCD．∴DE∥AF，ED⊥平面ABCD， ∵BD⊂平面ABCD，∴ED⊥BD，
又ABCD是平行四边形，∠ABC=120°，故∠BCD=60°． ∵BC=2CD，故∠BDC=90°．故BD⊥CD． ∵ED∩CD=D，∴BD⊥平面ECD． ∵EC⊂平面ECD， ∴BD⊥EC；
2.
（Ⅱ）解：由BC=2CD，可得AD=2AB，∵AB=1，∴AD=2，作BH⊥AD于H，
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∵AF⊥平面ABCD，∴BH⊥平面ADEF，又∠ABC=120°，
∴BH=，
∴3.
．
解：（1）证明：连接BD，则BD∥B1D1， ∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD． ∵CE⊥面ABCD， ∴CE⊥BD． 又AC∩CE=C， ∴BD⊥面ACE． ∵AE⊂面ACE， ∴BD⊥AE，
∴B1D1⊥AE．-----------（6分）
（2）S△ABD=2
．-----------（12分）
4.证明：（1）连AC交BD于E，连ME． ∵ABCD是矩形，∴E是AC中点．
又PA∥面MBD，且ME是面PAC与面MDB的交线， ∴PA∥ME， ∴M是PC的中点．
解：（2）取AD中点O，连OC．则PO⊥AD，
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由平面PAD⊥底面ABCD，得PO⊥面ABCD， ∴
，∴
，
∴，
∴．
5.证明：（1）由题可知PE⊥AB，CE⊥AB． ∵AB=2，∴PE=CE=又∵PC=
．
，∴PE2+EC2=PC2，
∴∠PEC=90°，即PE⊥CE． 又∵AB，CE⊂平面ABCD， ∴PE⊥平面ABCD；
解：（2）S△BCD=×22×sin120°=由（1）知：PE⊥平面ABCD，
，PE=．
VP-BCD=•S△BCD•PE=1． ∵VD-PBC=VP-BCD，
∴三棱锥D-PBC的体积为1．
6.解：（1）设所截等腰三角形的底边边长为x cm．
在Rt△EOF中，EF=5cm，OF=x cm，所以
EO=．
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于是V=x2（cm3）．
依题意函数的定义域为{x|0＜x＜10}．
（2）主视图为等腰三角形，腰长为斜高，底边长=AB=6，
底边上的高为四棱锥的高=EO==4，
S==12（cm2）
7.（1）证明：连结BF，连接BD交AC与点O，连OF， 依题得O为AC中点，又F为PA的中点， 所以OF为△PAC中位线，所以OF∥PC 因为OF⊂平面BDF，PC⊄平面BDF 所以PC∥平面BDF．
（2）解：设BE=a，则PA=2BE=2a，
∴V1=
=（a+2a）×1×2=a．
V2=
==．
∴．
8.解：（Ⅰ）连结AC1，交A1C于点O，连结DO，则O为AC1的中点，因为D为AB的中点，所以OD∥BC1，又因为OD⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，∴BC1∥平面A1CD…（4分） （Ⅱ）由
，可知AC⊥BC，以C为
坐标原点，方向为x轴正方向，方向为y轴正方向，
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方向为z轴正方向，建立空间直角坐标系Cxyz， 则D（1，1，0），E（0，2，1），A1（2，0，2），
设可取
是平面A1CD的法向量，则
．…（6分）
即
，
，
同理，设是平面A1CE的法向量，则可取
．…（8分）
，
从而…（10分）
所以锐二面角D-A1C-E的余弦值为…（12分） 9.（1）证明：如图，取PD中点G，连接FG，AG，
则FG∥DC，FG=，
∵底面ABCD为菱形，且E为AB中点，
∴GF=AE，GF∥AE，则四边形AEFG为平行四边形， 则EF∥AG，
∵EF⊄平面PAD，AG⊂平面PAD，则直线EF∥平面PAD；
（2）解：连接DE，∵AD=1，AE=，∠DAB=60°，
∴DE=，∴AE2+DE2=AD2，即DE⊥AB，
又PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AB，则AB⊥平面PDE，有平面PDE⊥平面PAB， 过D作DH⊥PE于H，∴DH⊥平面PAB，
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在Rt△PDE中，PD=1，DE=，则PE=．
∴DH=．
∴C到平面PAB的距离为，则F到平面PAB的距离为．
∴=．
10.（Ⅰ）证明：由已知，四边形ABCD是边长为2的正方形，
∵DA⊥AF，DA⊥AE，AE∩AF=A， ∴DA⊥面ABE，则平面ABCD⊥平面ABE， 又CB⊥AB，∴CB⊥AE．
又点B在面AEC的射影在线段EC上，设为H，则AE⊥BH， ∴AE⊥面BCE，又BE⊂面BCE， ∴AE⊥EB；
（Ⅱ）解：以A为原点，垂直于平面ABCD的直线为x轴，AB所在直线为y轴，AD为z轴，
如图所示建立空间直角坐标系A-xyz，
由已知=λ=，假设存在λ，使二面角B-AC-E的余弦值为． 设E（a，b，0），则设平面AEC的一个法向量
，，
．
则，解得，
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令y=a，得是平面EAC的一个法向量．
，
又平面BAC的一个法向量为
由|cos＜＞|=||==，化简得a2=b2 ①，
又∵AE⊥平面BCE，∴AE⊥BE， ∴
，即a2+b（b-2）=0 ②，
联立①②，解得b=0（舍），b=1． 由
，BE=
，∴AE=BE．
∴当λ=1时，二面角B-AC-E的余弦值为．
11.（Ⅰ）证明：如图，取OD的中点R，连接PR，QR，则DE∥RQ， 由题知
，又
，故AB：AP=4：1=DB：DR，
因此AD∥PR，
因为PR，RQ⊄平面ADE，
且AD，DE⊂平面ADE，故PR∥平面ADE，RQ∥平面ADE， 又PR∩RQ=R，
故平面PQR∥平面ADE，从而PQ∥平面ADE．…6分 （Ⅱ）解：由题EA=ED=5，
，设点O到平面ADE的距离为d，
则由等体积法可得，
故，因此．…12分．
，
12.解；（Ⅰ）证明：∵PD=DC=1，PC=
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∴△PDC是直角三角形，即PD⊥CD，…（2分） 又∵PD⊥BC，BC∩CD=C， ∴PD⊥面ABCD…（7分）
（Ⅱ）解：连接BD，设BD交AC于点O， 过O作OE⊥PB于点E，连接AE， ∵PD⊥面ABCD，∴AO⊥PD， 又∵AO⊥BD，∴AO⊥面PDB． ∴AO⊥PB，
又∵OE⊥PB，OE∩AO=O， ∴PB⊥平面AEO，从而PB⊥EO，
故∠AEO就是二面角A-PB-D的平面角．…（10分） ∵PD⊥面ABCD，∴PD⊥BD， ∴在Rt△PDB中，
，
又∵，∴，…（12分）
tan∠AEO===，∴∠AEO=60°． 故二面角A-PB-D的大小为60°．…（15分） 13.证明：（1）取BC中点O，连结AO、DO，
∵在三棱锥A-BCD中，侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜边， 且AD=
，BD=CD=1，另一个侧面是正三角形，
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∴AO⊥BC，DO⊥BC，∴BC⊥面AOD， ∴BC⊥AD．
解：（2）作BM⊥AC于M，作MN⊥AC，交AD于N， 则∠BMN就是二面角B-AC-D的平面角， ∵AB=AC=BC=
，M是AC中点，
∴BM=，MN=，BN=，
由余弦定理得cos∠BMN==，
∴二面角B-AC-D的余弦值为．
（3）过A作AH⊥平面BCD，交DO延长线于H，连结CH， 设E是所求的点，过E作EF⊥CH于F，连结FD， 则EF∥AH，
∴EF⊥面BCD，∠EDF就是直线ED与平面BCD所成角，∴∠EDF=30°， 设EF=x，由题意AH=CH=1，CF=x，FD=
，
∴tan∠EDF==，解得x=，
则CE=1，设点C到平面BDE的距离为d， ∵VE-BCD=VC-BED，
∴=，
解得d=，∴点C到平面BDE的距离为． 14.解：设圆锥的母线长为l，底面半径为r，高为h，
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由已知条件 解得
，
，
， ，
∴S=πrl+πr2=10π，
∴
15.证明：（Ⅰ）连结点AC，BN，交于点E，连结ME，
∵点N为线段AD的中点，AD=4， ∴AN=2，∵∠ABC=∠BAD=90°，AB=BC=2， ∴四边形ABCN为正方形，∴E为AC的中点， ∴ME∥PA，
∵PA⊄平面BMN，∴直线PA∥平面BMN．
解：（Ⅱ）∵PA⊥平面ABCD，且AB，AD⊂平面ABCD， ∴PA⊥AB，PA⊥AD，
∵∠BAD=90°，∴PA，AB，AD两两互相垂直，
分别以AB，AD，AP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 则由AD=AP=4，AB=BC=2，得：
B（2，0，0），C（2，2，0），P（0，0，4）， ∵M为PC的中点，∴M（1，1，2）， 设AN=λ，则N（0，λ，0），（0≤λ≤4），则
=（-1，λ-1，-2），
=
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（0，2，0），=（2，0，-4）， 设平面PBC的法向量为=（x，y，z），
则，令x=2，得=（2，0，1），
∵直线MN与平面PBC所成角的正弦值为，
∴|cos＜＞|===， =（-2，1，0），
=（-1，1，2），
解得λ=1，则N（0，1，0），
设平面BMN的法向量=（x，y，z），
则，
令x=2，得=（2，-4，3），
cosθ===．
∴平面PBC与平面BMN所成角θ的余弦值为．
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