河北省唐山市第二中学高二上学期期中考试数学试题含答案

考试时间：120分钟 总分：150分

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共22题。考生作答时，将第I卷答案填涂在选择题答题卡上，第II卷答案写在非选择题答题卡上，在本试卷上答题无效。考试结束后，只交两张答题卡。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一．选择题（共12小题，每题5分，共60分）

1．若直线经过A(2,3)，B(4,3)两点，则直线AB的倾斜角为（ ） A．

 6B．

 3C．

2 3D．

5 62．已知直线l1：(m2)x(m2)y20，直线l2：3xmy10，且l1l2， 则m等于 （ ） A．﹣1 3．“mB．6或﹣1

C．﹣6

D．﹣6或1

422”是“直线xmy4m20与圆xy4相切”的（ ） 3B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件

A．充分而不必要条件 C．充分必要条件

1x0

4．命题“∃x0＜0，2 ＜1”的否定是（ ）

1111A．∃x0≥0，2≥1 B．∀x≥0，2 ≥1 C．∀x＜0，2＞1 D．∀x＜0，2≥1

5．某几何体的三视图及其尺寸如图所示，则该几何体的体积为（ ） A．6 C．12

B．9 D．18

x0

x

x

x

6．在三棱锥A﹣BCD中，AB面BCD，AB4，AD25 ，

BCCD2，

则三棱锥A﹣BCD的外接球的表面积是（ ） A．25

B．5 C．5 D．20

7．设m、n为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，下列命题正确的是（ ） A．若α∥β，m⊥n，m⊥α，则n∥β C．若m⊂α，n⊂β，m∥n，则α∥β 8．若直线ykx63k与曲线yB．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β D．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n

9x2有两个交点，则k的取值范围是（ ）

3,1] D．(,1] 4A．[1,) B．[1,) C．(349．一个椭圆中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P(2,3)是椭圆上一点，且PF1,F1F2,PF2成等差数列，则椭圆方程为（ ）

x2y21 A．

166x2y21 B．842

2

x2y21 C．86x2y21 D．

1uuuruuuruuur10．已知定点A(4,0)和圆x+y＝4上的动点B,动点P(x,y)满足OAOB2OP,则点P的

轨迹方程为（ ）

22A．(x2)y2 B．(x2)y2 C．(x2)y1

2222D．(x2)y1

11．已知四面体A-BCD中，E，F分别是AC，BD的中点，若AB＝2，CD＝4，

EF与CD所成角的度数为30°，则EF与AB所成角的度数为（ ） A．90°

B．45°

22C．60° D．30°

x2y212．椭圆C:221(ab0)的左焦点为F，若F关于直线

ab3xy0的对称点A是椭圆C上的点，则椭圆C的离心率为（ ）

A．

3311 B． C． D．31

222

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分,共20分，答案填在Ⅱ卷答题卡上）

13．如果方程

表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是 。

14．过点P（1，|AB|＝ 。

）作圆O：x2+y2＝1的两条切线，切点分别为A和B，则弦长

15．在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱 AA1、BB1的中点，G为棱A1B1上的一点，且A1G＝λ（0＜λ＜2）， 则点G到平面D1EF的距离为 。

x2y21的左焦点为F，直线xm与椭圆相交于点M,N，当FMN的周长 16. 椭圆54最大时，FMN的面积是 。

三、解答题：（共6小题，70分。解答应写出文字说明、证明过程，答案填在Ⅱ卷答题卡上）

x2y21表示焦点 17．已知命题p：x1,1，不等式mx0恒成立；q：方程24m2在x轴上的椭圆．（1）若p为假命题，求实数m的取值范围； （2）若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数m的取值范围．

18．已知圆C与直线x+y＝1相切于A（2，﹣1），且圆心在直线y＝﹣2x上（1）求圆C的方程；

（2）已知直线l经过原点，并且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程．

19．已知椭圆C：

＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2且离心率为

，过左

焦点F1的直线l与C交于A，B两点，△ABF2的周长为16． （1）求椭圆C的方程；

（2）过点P（2，1）作弦且弦被P平分，求此弦所在的直线方程．

20．如图，直三棱柱（侧棱与底面垂直的三棱柱）A1B1C1﹣ABC中，AC⊥BC，AC＝BC＝1，

CC1＝2，点M是A1B1的中点． （1）求证：B1C∥平面AC1M；

（2）求AA1与平面AC1M所成角的正弦值．

21．已知圆C：（x+1）2+y2＝16和点B（1，0），P是圆C上一点，线段BP的垂直平分线交

CP于点E，（1）求点E的轨迹方程.

（2）设点E的轨迹为曲线G，过点B（1，0）的直线与曲线G交于不同的两点M，N，

A为曲线G的左顶点．当△AMN的面积为

22．已知四棱锥S﹣ABCD的底面ABCD是菱形，∠ABC＝的

任意一点．

（1）求证：平面EBD⊥平面SAC；

（2）设SA＝AB＝2，是否存在点E使平面BED与平面SAD所成的锐二面角的大小为30°？如果存在，求出点E的位置，如果不存在，请说明理由．

，SA⊥底面ABCD，E是SC上时，求l的方程．

唐山二中2019-2020学年度第一学期高二期中考试

数学答案

一、选择题

CBADA DBBCD AD

二、填空题 13、

25857 16、 m4 14、3 15、552三、解答题

17、（1）解：（1）若￢p为假，则p为真， 若命题p真，即对∀x∈[﹣1，1]，m﹣x2≥0恒成立， 则m≥（x2）max＝1，所以m≥1；

（2）解：命题q：方程表示焦点在x轴上的椭圆，∴m2＞4⇒m＞2或m＜﹣2， ∵p∨q为真命题，且p∧q为假命题，∴p、q一真一假， ①如果p真q假，则有

，得1≤m≤2；

②如果p假q真，则有，得m＜﹣2，

综上实数m的取值范围为m＜﹣2或1≤m≤2． 18、解：（1）由题意设圆心为（a，﹣2a）， 由圆心与切点的连线与切线垂直可得∴C（1，﹣2），半径r＝|AC|＝

．

，解得a＝1．

∴圆C的方程为（x﹣1）2+（y+2）2＝2；

（2）①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，满足题意； ②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx， 由题意，

，解得k＝

，∴直线l的方程为y＝﹣

．

综上，满足题意的直线l的方程为x＝0或y＝﹣．

19、解：（1）椭圆C：＝1的离心率为，∴＝，

△ABF2的周长为|AB|+|AF2|+|BF2|＝4a＝16，∴a＝4，∴c＝2∴b2＝a2﹣c2＝4，∴椭圆C的方程

+

＝1；

，

（2）设过点P（2，1）作直线l，点差法求得直线l的斜率为k＝﹣， ∴此弦所在的直线方程为y﹣1＝﹣（x﹣2），化为一般方程是x+2y﹣4＝0．

20.（1）证明：直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AC⊥BC，AC＝BC＝1，CC1＝2，点M是A1B1

的中点．连结A1C和AC1交于点O，连结OM，则OM//B1C ，OM平面AC1M B1C平面AC1M，∴B1C∥平面AC1M．

（2）解：以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，则B1（0，1，2），C（0，0，0），A（1，0，0），C1（0，0，2），M（

，2），

＝（﹣1，0，2），

＝（﹣

，2），

＝（0，

0，2），设平面AC1M的法向量＝（x，y，z），

则，取z＝1，得＝（2，﹣2，1），

设AA1与平面AC1M所成角为θ， 则AA1与平面AC1M所成角的正弦值为：

sinθ＝AA1•nAA1•n＝＝．

21.解：(1)定义法求得E的轨迹方程：

（2）直线l的斜率不存在时SAMN

9,不合题意。 2∴直线l的斜率存在，设l：yk(x1)，M（x1，y1），N（x2，y2） 由

消去y得消元可得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0

，x

|MN|＝|x1﹣x2|＝

点A（﹣2，0）到直线y＝k（x﹣1）的距离为d＝

∴S＝|MN||•d＝

18k21k34k2＝

．∴17k4+k2﹣18＝0⇒k＝±1

∴直线l的方程为x﹣y﹣1＝0或x+y﹣1＝0 说明：设xmy1计算简单

22.证明：（1）∵SA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴SA⊥BD． ∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD．∵AC∩AS＝A，∴BD⊥平面SAC． ∵BD⊂平面EBD，∴平面EBD⊥平面SAC．

（2）解：设AC与BD的交点为O，以OC、OD所在直线分别为x、y轴， 以过O垂直平面ABCD的直线为z轴，建立空间直角坐标系（如图）， 则A（﹣1，0，0），C（1，0，0），S（﹣1，0，2），B（0，﹣设E（x，0，z），则

＝（x+1，0，z﹣2），

，0），D（0，

，0）．

＝（1﹣x，0，﹣z），

设＝，∴，∴E（，0，），

∴＝（，﹣，）．＝（0，，0），

设平面BDE的法向量＝（x，y，z），

∵．解得＝（2，0， 1﹣λ）为平面BDE的一个法向

量．

同理可得平面SAD的一个法向量为m＝（

），

∵平面BED与平面SAD所成的锐二面角的大小为30°，

∴cos30°＝＝＝，解得λ＝1．

∴E为SC的中点．