初中数学专题折叠问题
专题八 折叠问题
学习重点与方法点拨：
出题地点： 选择、填空压轴题或压轴题倒数第二题
折叠问题中，常出现的知识时轴对称。折叠对象有三角形、矩形、正方形、梯形等；
考察问题有求折点地点、求折线长、折纸边长周长、求重叠面积、求角度、判断线段 之间关系等；轴对称性质 ----- 折线，是对称轴、折线两边图形全等、对应点连线垂直对称 轴、对应边平行或交点在对称轴上。 ?
压轴题是由一道道小题综合而成，经常伴有折叠；解压轴题时，要学会将大题分解成 一道道小题；那么多作折叠的选择题填空题，很有必需。
基本图形：
在矩形 ABCD中，将△ ABF沿 BE折叠至△ FBE,可得何结论？
（1）基本图形练习：
如图，将三角形纸片 ABC沿过点 A 的直线折叠，使得 AC落在 AB 上，折痕为 AD，
睁开纸片；再次折叠，使得 A 和 D 点重合，折痕为 EF,睁开纸片后获得△ AEF,则△ AEF是等 腰三角形，对吗？
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（2）折叠中角的考法与做法：
将矩形纸片 ABCD沿过点 B 的直线折叠，使得 A 落在 BC边上的点 F 处，折痕为 BE（图
1）；再沿过点 E 的直线折叠，使点 D 落在 BE边上的点 D’，折痕为 EG（图 2） , 再睁开纸
片，求图（ 3）中角 a 的大小。
（3）折叠中边的考法与做法：
如图，将边长为 6cm的正方形 ABCD折叠，使点 D落在 AB边中点 E 处，
折痕为 FH，点 C 落在 Q处， EQ与 BC交于点 G，则△ EBG的周长是多少？
★解题步骤：
模块精讲
第一步：将已知条件标在图上；
例 1. （ 2014?扬州）已知矩形 ABCD的一条边 AD=8，将矩形 ABCD折叠，使得极点 B 落在 CD
边上的 P 点处．
（ 1）如图 1，已知折痕与边 BC交于点 O，连结 AP、OP、 OA．
①求证：△ OCP∽△ PDA；
②若△ OCP与△ PDA的面积比为 1：4，求边 AB的长；
（ 2）若图 1 中的点 P 恰巧是 CD边的中点，求∠ OAB的度数；
（ 3）如图 2， ，擦去折痕 AO、线段 OP，连结 BP．动点 M在线段 AP上
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（点 M与点 P、A 不重合），动点 N 在线段 AB的延伸线上， 且 BN=PM，连结 MN交 PB于点 F，
作 ME⊥BP于点 E．试问当点 M、 N 在挪动过程中，线段 EF的长度能否发生变化？若变化，说明原因；若不变，求出线段 EF的长度．
例 2. （ 2013?苏州）如图，在矩形 ABCD中，点 E 是边 CD的中点，将△ ADE沿 AE折叠后得
到△ AFE，且点 F 在矩形 ABCD内部．将 AF延伸交边 BC于点 G．若
= ，则 = 用
含 k 的代数式表示）．
例 3、（2013?苏州）如图，点 O为矩形 ABCD的对称中心， AB=10cm，BC=12cm，点 E、F、G
分别从 A、B、C 三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动， 点 E 的运动速度为 1cm/s，
点 F 的运动速度为 3cm/s，点 G的运动速度为 1.5cm/s ，当点 F 抵达点 C（即点 F 与点 C重
合）时，三个点随之停止运动． 在运动过程中， △EBF对于直线 EF 的对称图形是△ EB′F．设点 E、F、G运动的时间为 t （单位： s）．
（ 1）当 t=
s 时，四边形 EBFB′为正方形；
（ 2）若以点 E、 B、 F 为极点的三角形与以点 F，C，G为极点的三角形相像，求 t 的值；
（ 3）能否存在实数 t ，使得点 B′与点 O重合？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明原因．
例 4、如图，已知矩形纸片 ABCD，AD=2，AB=4．将纸片折叠，使极点 A 与边 CD上的点 E 重
合，折痕 FG分别与 AB，CD交于点 G，F，AE与 FG交于点 O．
（ 1）如图 1，求证： A，G，E，F 四点围成的四边形是菱形；
（ 2）如图 2，当△ AED的外接圆与 BC相切于点 N时，求证：点 N是线段 BC的中点； 3 / 6
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（ 3）如图 2，在（ 2）的条件下，求折痕 FG的长．
例 5、已知 AD∥BC，AB⊥ AD，点 E，点 F 分别在射线 AD，射线 BC上．若点 E 与点 B 对于
AC对称，点 E 与点 F 对于 BD对称， AC与 BD订交于点 G，则（
） A．1+tan ∠ADB=
2
B
． 2BC=5CF
C．∠ AEB+22° =∠ DEF
D
． 4cos∠ AGB=
6
讲堂练习
1、
2、（ 2014 连云港）如图 1，将正方形纸片 ABCD对折，使 AB与 CD重合，折痕为 EF．如图
2，睁开后再折叠一次，使点
C 与点 E 重合，折痕为 GH，点 B 的对应点为点 M，EM交 AB于
N，则 tan ∠ANE= _________ ．
图3
图4
3、（ 2014?徐州）如图 3，在等腰三角形纸片 ABC中， AB=AC，∠ A=50°，折叠该纸片，使
点 A 落在点 B 处，折痕为 DE，则∠ CBE= _________ °．
4、（ 2014?扬州）如图 4，△ ABC的中位线 DE=5cm，把△ ABC沿 DE折叠，使点 A 落在边 BC
2
上的点 F 处，若 A、 F 两点间的距离是 8cm，则△ ABC的面积为 _________ cm． 4 / 6
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5、（ 2013?扬州）如图 1，在梯形 ABCD中， AB∥CD，∠ B=90°， AB=2，CD=1，BC=m，P 为
线段 BC上的一动点，且和 B、 C不重合，连结 PA，过 P 作 PE⊥PA交 CD所在直线于 E．设
BP=x，CE=y．
（ 1）求 y 与 x 的函数关系式；
（ 2）若点 P在线段 BC上运动时，点 E 总在线段 CD上，求 m的取值范围；
（ 3）如图 2，若 m=4，将△ PEC沿 PE翻折至△ PEG地点，∠ BAG=90°，求 BP长．
课后稳固习题
1、（2014?淮安）如图，在三角形纸片 ABC中， AD均分∠ BAC，将△ ABC折叠，使点 A 与点
D 重合，睁开后折痕分别交 AB、 AC于点 E、F，连结 DE、 DF．求证：四边形 AEDF是菱形．
2、（ 2013?宿迁）如图，在梯形 ABCD中， AB∥DC，∠ B=90°，且 AB=10，BC=6，CD=2．点
E 从点 B 出发沿 BC方向运动，过点 E 作 EF∥AD交边 AB于点 F．将△ BEF沿 EF所在的直线
折叠获得△ GEF，直线 FG、EG分别交 AD于点 M、N，当 EG过点 D时，点 E即停止运动．设
BE=x，△ GEF与梯形 ABCD的重叠部分的面积为 y．
（ 1）证明△ AMF是等腰三角形；
（ 2）当 EG过点 D时（如图（ 3）），求 x 的值；
（ 3）将 y 表示成 x 的函数，并求 y 的最大值．
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3、如图 , 在矩形 ABCD中,AB=6,BC=8,把△ BCD沿着对角线 BD折叠 , 使点 C 落在 C' 处,BC 交
AD于点 G,E,F, 分别是 C'D 和 BD上的点 , 线段 EF 交 AD于点 H,把△ FDE沿着 EF 折叠 , 使点 D
落在 D' 处, 点 D'恰巧与点 A重合 .
4、（ 1）求证 : 三角形 ABG≌△ C'DG
5、（ 2）求 tan ∠ABG的值； ?
6、（ 3）求 EF的长。
3、
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