抽象函数的单调性和奇偶性

抽象函数的单调性和奇偶性

一、判断单调性和奇偶性

1. 判断单调性

根据函数的奇偶性、单调性等有关性质，画出函数的示意图，以形助数，问题迅速获解。 例1．如果奇函数f(x)在区间[3，7]上是增函数且有最小值为5，那么f(x)在区间

[7，3]上是

A. 增函数且最小值为5 C. 减函数且最小值为5

B. 增函数且最大值为5 D. 减函数且最大值为5

例2．偶函数f(x)在(0，)上是减函数，问f(x)在(，0)上是增函数还是减函数，并证明你的结论。

2. 判断奇偶性

根据已知条件，通过恰当的赋值代换，寻求f(x)与f(x)的关系。

例3．若函数y与yf(x)的图象关于原点对称，判断：函数 f(x)(f(x)0)yf(x)是什么函数。

二、证明单调性和奇偶性

1.证明单调性

例4．已知函数f(x)= 是

例5．已知f(x)对一切x，y，满足f(0)0，f(xy)f(x)f(y)，且当x0时，

f(x)1，求证：（1）x0时，0f(x)1；（2）f(x)在R上为减函数。

g(x)1g(x)1,且f(x),g(x)定义域都是R,且g(x)>0, g(1) =2,g(x)

2.证明奇偶性

xy)f()xf(y)例6．已知f(x)的定义域为R，且对任意实数x，y满足f(，求证：f(x)是偶函数。

xy)f()xf(y) 分析：在f(中，令xy1， (1)f(1)f(1)f(1)0 得f

1(1)f(1)f(1)f(10) 令xy，得f

1

于是f ()xf(1x)f(1)f(x)f(x)故f(x)是偶函数。

三、求参数范围

这类参数隐含在抽象函数给出的运算式中，关键是利用函数的奇偶性和它在定义域内的增减性，去掉“f”符号，转化为代数不等式组求解，但要特别注意函数定义域的作用。 例7．已知f(x)是定义在（1，1）上的偶函数，且在（0，1）上为增函数，满足

f(a2)f(4a)0，试确定a的取值范围。

2

例8．已知f(x)是定义在(，1]上的减函数，若f(msinx)f(m1cosx)对

xR恒成立，求实数m的取值范围。

22 解：

四、不等式

1.解不等式

这类不等式一般需要将常数表示为函数在某点处的函数值，再通过函数的单调性去掉函数符号“f”，转化为代数不等式求解。

例9．已知函数f(x)对任意x，yR有f(x)f(y)2f(xy)，当x0时，

f(x)2，f(3)5，求不等式f(a22a2)3的解集。

2. 讨论不等式的解

求解这类问题利用函数的单调性进行转化，脱去函数符号。

例10．已知函数f(x)是定义在(，1]上的减函数，且对一切实数x，不等式恒成立，求k的值。 f(ksinx)f(ksinx)

22五、比较函数值大小

利用函数的奇偶性、对称性等性质将自变量转化到函数的单调区间内，然后利用其单调

性使问题获解。

例11．已知函数f(x)是定义域为R的偶函数，x0时，f(x)是增函数，若x10，x20，且|x1||x2|，则f(x1)，f(x2)的大小关系是_______。

六、综合问题求解

2

解题时需把握好如下三点：一是注意函数定义域的应用，二是利用函数的奇偶性去掉函数符号“f”前的“负号”，三是利用函数单调性去掉函数符号“f”。 例12.设函数yf(x)定义在R上，当x0时，f(x)1，且对任意m，n，有

f(mn)f(m)f(n)，当mn时f(m)f(n)。

（1）证明f(0)1；

（2）证明：f(x)在R上是增函数；

（3）设A(x，y)|f(x2)f(y2)f(1)，

B{(x，y)|f(axbyc)1，a，b，cR，a0}，若AB，求

a，b，c满足的条件。

解：（1）

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