极限的应用

有很多问题的精确解，仅仅通过有限次的算术运算是求不出来的，而必须通过分析一个无限变化过程的变化趋势才能求得，由此产生了极限概念和极限方法。 起初牛顿和莱布尼茨将无穷小的概念作为基础建立微积分，后来遇到了一些逻辑方面的坎坷，所以在他们探究的晚期都会有不同程度地接受了极限思想。牛顿运用路程的变量S和时间的变量t之比

表示了运动物体的平均速度，让t无限地趋近于零，这样就会得到物体的瞬时速度，因此引出了导数的概念和微分学理论等知识。牛顿发现了极限概念的重要性，尝试将极限概念作为微积分研究的基础，他说：“两个量和量之比，如果在有限的时间内不断趋近于相等，且在这一时间结束之前前互相靠近，使两个两个量和量之比差小于任意给定的差，最终就成为了相等”。但是牛顿的极限思想也是建立在几何直观上的，因此他将无法得出极限的严格而精确的表述。牛顿所应用的极限的概念，只是接近以下直观性的语言描述：“如果当n无限增大时，an无限地接近于常数A，那么就说an以A为极限。”

例，圆是一个曲边形，它的内接正多边形是直边形，二者有内在的区别，但是这个区别又不是相绝对的，在一定的和所给的条件下，圆的内接正多边形可以转化为该圆周。这个条件就是“若一个圆的内接正多边形的边数无增多时”，注意其中“无限”二字。因此在无限的过程中，直边形可以转化为曲边形，也就是说在无限过程中，根据直边形的周长数列从而得到了曲边形的周长。这种表现就是极限的思想及方法在定义圆的周长上的应用。 根据圆的周长定义和描述，显然就会计算出半径为R的圆的周长即C=2 R。其中， 是圆周率，R是常数。那么这个圆的周长公式是怎样得到的呢？

我们会用直尺度量线段的长，从而也就会度量多边形的周长，因而多边形的周长是已知的。圆的周长是一条封闭的曲线，不可能用直尺直接量出它的长度。这就出现了一个新的问题：何谓圆的周长？也就是，怎样定义圆的周长？这是计算圆的周长的基础。圆的周长是个未知的新概念。我们都知道这个道理，一个新的概念必须是建立在已知概念的基础上的。在这里一个完全陌生的圆的周长是建立在已知的多边形周长的基础上的。然而我们怎么样借助于一个已知的多边形的周长去定义圆的周长呢？ 追溯到我国古代，数学家刘徽在魏景元四年（公元263年）创立的“割圆术”，这种方式就是借助于圆的一串内接正多边形的周长数列定义了圆的周长。割圆术的原理：起初做圆的内接正六边形，然后平均等分分每个边所对应的弧，接着做圆的内接正十二边形，就这样以此类推应用同样的方法，继续作一个圆的内接正二十四边形，

圆的内接正四十八边形......显然不论正多边形的边数有怎么地多，每个圆的内接正多边形的周长都是已知的一个数。因此，就得到一串数列，此数列为圆的内接正多边形的周长数列：p,6pp12,24,....,p2n16,...其中，通项

p2n16表示第n次作出的圆的内接

6正边形的周长。 那么有这样一个问题：这一串圆的内接正多边形与该圆周是会有怎样的联系呢？刘徽说：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣，”显然，若一个圆的内接正多边形的边数成倍变化或无限增加时，那么，这一串圆的内接正多边形将会无限的趋近于这个圆周，也就是说它们的极限位置就是该圆周。若从内接的正多边形的周长来说，当n无的增大时，这一串6圆的内接正多边形的周长数列{}将趋近于某个稳定的数L,换句话说，用圆的内接正多边形的周长近似的替代了圆的周长，即圆的内接正多边形的边数成倍无限增加时，这一串圆的内接正多边形的极限位置“则与圆合体”，因此这一串圆的内接正多

p2n1p2n1边形的周长数列{26}为某个稳定的数L,L就应该是该圆的周长。

根据上述的分析，圆的周长也可以这样定义：如果圆的内接正多边形的周长数

6列{}稳定于某个数L(当n无限增大时)，则称L是该圆的周长。 威尔斯特拉丝提出了极限的定义，给微积分提供了严格的理论基础。 所谓

pn1p2n1xnx，就是指“如果对任意>0,总是存在自然数N，使得当n>N时,

不等式

xn。 x 恒成立”

1 极限的定义与性质 1.1 数列极限的定义与性质 1.1.1 数列极限的定义

定义 设若{an}为数列，a为有限常数，如果对于任意给定的正数，总存在正整数N，使得当n>N时，有

ana,

则称数列{an}的极限是常数a或称数列{an}收敛于常数，记为：

limana或ana(n)

n若数列{an}不存在极限，则称数列{an}发散。 数列{an}的极限是a，用逻辑符号可简要表示为：

limana0,NN,nN,有ana0

n

1.1.2 数列极限的性质

1.1.3（极限的唯一性） 若数列{an}收敛，则它的极限是唯一的。 1.1.4（极限的有界性） 若数列{an}收敛，则数列{an}一定有界，即

M0,nN,有anM

1.1.5（收敛数列的保号性） 若limana与limbnb，且ab，则

nn NN,nN,有anbn.

推论3.1 若limana与limbnb，且NN,nN,有anbn

nn (anbn),则abab. 推论3.2 若limana，且abab，则NN,nN，有anbanb.

n1.1.6 （收敛数列与其子数列间的关系）如果数列{an}收敛于a,那么它的任一子数列也收敛，且极限也是a.

2.2函数极限的定义及性质

2.2.1函数极限的定义

(1)当x→∞时函数f(x)的极限 若存在常数A,对于任意给定的正数>0,总存在正数X，当x>X时，有f(x)A恒成立，则称常数A为f(x)当x→∞时的极限，记为

limxf(x)A.类似可给出limxf(x)A及limxf(x)A的定义.

(2)当x→x0时函数f(x)的极限 若存在常数A，对于任意给数

0,总存在0,当0xx0时，有f(x)A恒成立，则称常数A为f(x)当xx0的极限，记为linxx0f(x)A

(3)当x→x0时函数f(x)的左、右极限 若存在 常数A，对于任意给定的正数0，总存在0,当0若存在常数A,对于任意给定的正数0，总存在0，使得当00xx0f(x)A,

3.3.函数极限的性质

3.1.1(极限的唯一性) 如果limxx0, 那么A=B.

f(x)A,limxx0f(x)B3.1.2(函数极限的局部有界性) 如果limxx0f(x)A,那么f(x)在x0的某去心领域U

{x|0xx}内有界，即存在常数M>O和o使得当03.1.3(函数极限的局部保号性) limxx0f(x)A,而且A>0(或A<0),那么存在常数

o,当0xx0时，有f(x)0(或f(x)0).如果在x0的某一去心领域内f(x)>=0

（或f(x)<=0）,而且limxx0f(x)A,，那么A>=0(或A<=0).

3.1.4(函数极限与数列极限的关系) 如果极限limxx0f(x)A, 存在，{xn}为函数f(x)的定义域内任一收敛于x0的数列，且满足：xnx0,那么相应的函数值数列{f(xn)}必收敛，且limnf(xn)limxx0f(x).

注 上述函数极限的性质对x→x0+,x0-,∞，∞均成立

4.4. 无穷小量与无穷大量

以下lim表示limxx0或limx...的任意确定的一种。 4.4.1 定义

无穷小量 如果limf(x)o,那么称函数f（x）为此极限过程下的无穷小量 无穷大量 如果limf(x)=∞，那么称函数f(x）为此极限过程下的无穷大量 【注1】在自变量的同一变化过程中，如果f(x)为无穷大量，那么1/f(x)(f(x)≠0)必为无穷小量；如果g(x)为无穷小量，那么1/g(x)(g(x)≠0)必为无穷大量。 【注 2】不要把无穷小量与很小很小的数混为一谈，0是唯一可以作为无穷小量的常数；也不要把无穷大量与很大很大的数混淆，任何常数都不是无穷大量。 4.1.2性质

性质 1 limf(x)=Af(x)=A+a(x),其中a(x)是此极限过程下的无穷小量。 性质2 （1）有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量。 （2）无穷小量与有界量的乘积仍是无穷小量. （3）有限个无穷小量的乘积仍是无穷小量

7.7 极限在生活中的实际应用

7.1.1 城市废弃物的管理

甲市2014年末的调查资料所示，到2014年末，该市已积攒的废弃物200万吨。通过预测甲市的数据，从2014年起该市还将以4万吨的速度产生新的废弃物。如果从2015年起该市每年处理上一年堆积废弃物的25%，按照这样的方式依次循环，该市的废弃物是否将会全部处理完成？

设2014年后每年的废弃物数量分别是b1，b2，b3...bn，根据题意，得

所以limnbn=16

随着时间的推移，按照极限思想的方法并不会将所有的废弃物处理掉，剩余的废弃物将会维持在某一个固定的水平。

7.1.2 市场经营中的稳定性

投资者交易的行为是影响市场经营稳定性的重要因素，运用股票举例来说，为了尽量避免出现盲目随大流行为，减少一些不理性的投资，我们需要对股票的内在价值（即未来收入现金流的现值）应该要有比较详细清楚的认识，进而决定是要购买还是要售出，做出理性地投资选择.下面是针对不同的模型确定股票相对应的未来收入现金流的现值。

（1）零增长模式

假设股利增长率为0,那么它的内在价值可以这样表示

）

（V-内在价值，D股息(红利)，i贴现率）， 现由假定知 D=D1=D2=...=Dt,i=i1=i2=...=in,

计算出股票的内在价值后，就可以求出股票的净现值NPV，也就是内在价值减去市场价格，用公式可以表示为：

NVP=V-P.

当NVP>0,该股票被低估，可买入；当NVP<0，被高估，不益购买.

例 乙公司在未来无限期支付每股股利为10元，现价45元，必要收益率20%，评价该股票.

解：运用（*）式就可以求出该股票的内在的价值： V=

D10==50，NVP=V-P=50-45=5>0 i20%故该股票被低估，可以购买.

(2)不变增长模型

假设股利一直按不变增长率g增长，即DtDt11g...D01g，

代入（1）式得此时内在价值为 .（3）

例：2015年某公司支付每股股利1.60元.预计未来公司股票的股利按每年4%增长，假设必要收益率为10%，当每股股票价格为30元，评价该股票.

t解：利用（3）式的结论，由于D1=1.6*(1+4%)=1.67,可知 股票内在价

tD01g1g11i1iD01gDlim1值

t1gigig11iVt1Dt1+ittt1D01gt1+itV=

1.6*(14%)=27.7,故

10%4% NVP=V-P=27.7-30<0, 该股票被高估，建议出售. 7.1.3谣言传播问题的研究

在传播学中有这样一个规律：在一定的状况下，谣言的传播可以用下面的函数关系来表示：

pt1，P(t)表示的是t时刻人群中知道这个谣言的人数比例，其中a与

1aektk都是正数。

求limp(t)limt11，p(t)是t时刻人群中知道此谣言的人数比例为

t1aekt100%.

这从数学理论上回答了谣言传播问题。例如，在“SARS病毒”时期时人们表现出抢购板蓝根药物、白醋、口罩等，甲流感病毒袭来时人们“抢购大蒜”的疯潮，日本发生核辐射泄露后的惊动，在日本掀起了一场“抢盐”的疯狂行为，当谣言极速流传时也会有猛然停止的时候。很显然会呈现出这样一个规律：随着时间的慢慢推移，最终所有的人都将会知道这个谣言。 7.1.4连续复利问题

此极限limn1=e反映出了一种经济含义，遍布在经济领域的每个角落。

1nn如果设本金为A0，年利率设为r，期限为t年，按照本息和复利计算公式，得

AtA0(1r)t;这就是连续复利计算的模型。

如果每年结算n次，每期利率为

rntr，那么t年末的本息和为AtA0(1)，

nn这说明连续复利计算次数越频繁，计算利息的周期越短，计算所得的本息和数额就越

nrrntrA0(1)limA01A0ert，但不会无限增大。大。当n时，Atlim nnnnrt以本金为100000元，年利率为5%，t10为例，到期的本息和约为1872元。z这个阐述了一个现象：如果本金不是特别大时，仅仅依靠利息的收入是难以达到致富的愿望。想到通货膨胀的影响，通过在银行存款10年后是否任然会保值这还是不确定。

总 结

在高等数学和分析学里极限的计算方法及其应用有着非常重大的意义.该论文总结了极限计算的一些方法及其它们的应用, 但是在做求解极限类型的题目时，我们要根据题目来考虑，不同的情况采用不同的方法，不能死板固定地使用某些特定的方法，并对具体的题型要注意去判断和研究，有时候解题时也可用多种方结合应用，要学会活学活用。

极限是辩证想法逻辑中快速想法形成的较好的实践，它一方面使人们看到数列。极限an变化的永不停息，另一方面也使人们看到无限变化过程中飞跃式“终结”的算法是非常重要的内容。求极限的方法是多种多样的并且是十分灵活，所以我们要学会观察极限的题型，相对而言找到解决问题的方法是比较重要的，不同类型的极限问题，要应用不同的方法解决。学会灵活应用，该论文在原先的知识体系基础上进行了一定的整理总结，给出了极限的基本概念和一些相关的性质，详细的介绍了具有代表性的不同的求解方法，在学习极限时，以及运用这些方法解决极限的相关问题。只有不断整理归纳，不断完善知识理论和结构框架，这样的话在解析的过程当中，才会有新的发现，有不断地进步和创新。

在实际生产和生活中极限的应用非常广泛和普遍，就比如文中提到的连续复利问题，市场经营中的稳定性问题，谣言传播问题等都与极限息息相关密不可分。因此对极限的探讨必然会引起越来越多的关注。

通过研究极限的基本概念，性质，及其在现实生活中的一些应用，我们对极限有了一个更进一步的了解，这样就会给数学问题的探讨和计算带来特别重大的方便，对极限的研究也会使它在经济领域和数学领域中发挥更大的作用。