上海市数学竞赛

下列为完整的解答。

题一（1）

设x0a，讨论数列xn1xn1的敛散性。

题一（1）方法分析

对于数列单调性判别有下列方法： (1)．初等方法 通过xnxn1的符号以及(2)．求导方法。设xnf(xn1)

1）当函数yf(x)在区间I内单调递增（不一定严格）时，且数列{xn}（可能去掉有限项）的取值在I内。如果存在k使得xkxk1，则数列{xn}除掉有限项以后，为单调递增；如果存在k使得xkxk1，则数列{xn}除掉有限项以后，为单调递减。

2）当函数yf(x)在区间I内单调递减（不一定严格）时，且数列{xn}（可能去掉有限项）的取值在I内。如果存在k使得x2k1x2k1，则有

xn是否大于等于1或者小于等于1来说明； xn1x2kx2k2f(x2k1)f(x2k1)0，

即x2kx2k2，此时

x2k1x2k3f(x2k)f(x2k2)0

得到除掉有限项以后，{x2n1}为单调递增，{x2n}单调递减；同理当存在k使得x2k1x2k1时，有{x2n1}为单调递减，{x2n}单调递增。

根据1）与2）的讨论有{xn}（可能去掉有限项）以后其子数列{x2n1}与{x2n}单调。 定理 若f(x)在[a,b上连续，在]af(x)b。 (a,b内可微，且满足)（1）如果对x(a,b)有f(x)0，则数列

x0[a,b],xn=f(xn-1),n1,2,

是单调减（当x0x1）或者是单调增（当x0x1）且有界。此时数列收敛。

（2）如果对x(a,b)有f(x)0，则数列

x0[a,b],xn=f(xn-1),n1,2,

奇次项数列单调递增且偶次项数列单调递减，或者奇次项数列单调递减且偶次项数列单调递增。此时奇次项数列与偶次项数列都收敛。

题一（1）题解 设函数y1x,x[0,1]，则0f(x)1,x(0,1)y10,x(0,1)21x，因此

由定理（2）知数列xn1xn1,0x0a1奇次项数列与偶次项数列都收敛，有

climx2n1limx2n11d,dlimx2n11limx2n1c nnnn易知对于足够大的n有，0.5xn0.75，得cdlimxnn51。 2注 如果a0或者1，奇次项数列与偶次项数列都收敛，但极限不相同。

题一（2）

设x0a，讨论数列xn1的敛散性。

1xn1题一（2）方法分析

定义1 设f(x)在[a,b]上有定义，方程f(x)x在[a,b]上的解称为f(x)在[a,b]上的不动点。

定义2 设为满足01的常数，且[a,b]上函数f(x)满足af(x)b,x[a,b]。如果对对x,y[a,b]有

f(x)f(y)xy. 则称f(x)是[a,b]的一个压缩映射。

注：[a,b]上压缩映射一定是[a,b]上连续函数。

定理（压缩原理） 若f(x)是[a,b]的一个压缩映射，则f(x)在[a,b]上存在惟一的不动点。

由此有推论

推论 若f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可微，且满足af(x)b。如果对

x(a,b)有f(x),01，则f(x)是[a,b]的一个压缩映射. 特别数列

x0[a,b],xn=f(xn-1),n1,2,

收敛。

题一（2）题解

设函数y=111,x[,1]（我们总考虑a1，则自然有x21，所以只考虑函数1x22定义域为[,1]），此时|y|=12141因此由推论得对于任意x0a1，,x[,1]，

(1x)292数列xn1收敛，且有

1xn1limxnlimn1

n1xn1由此得limxnn51. 2