维普资讯 http://www.cqvip.com 高校应用数学学报Ａ辑 Ａｐｐ１．Ｍａｔｈ．Ｊ．Ｃｈｉｎｅｓｅ Ｕｎｉｖ．Ｓｅｒ．Ａ ２００７，２２（１）：１７—２２ 有限分形介质中分数阶反应扩散方程 及其解析解 刘艳芹 ，蒋晓芸 （１．德州学院数学系，山东德州２５３０２３； ２．山东大学数学与系统科学学院，山东济南２５０１００） 摘 要：建立了有限分形介质中具有吸附效应的分数阶反应扩散积分方程．利 用Ｌａｐｌａｃｅ变换、广义有限Ｈａｎｋｅｌ变换及其相应的逆变换得到了以Ｍｉｔｔａｇ— Ｌｅｆｆｌｅｒ函数为主要形式的解析解，并研究了解的渐近性态． 关键词：分数阶微积分；分形介质；Ｌａｐｌａｃｅ变换；广义有限Ｈａｎｋｅｌ变换；广义 Ｍｉｔｔａｇ—ｌｅｆｆｌｅｒ函数 中图分类号：０１７５．２９ 文献标识码：Ａ 文章编号：１０００—４４２４（２００７）０１—００１７—０６ 理论分析和实验研究表明，在分形多孔介质、分形晶体以及某些不纯介质中的扩散现象 不能用经典的扩散方程来描述，我们称之为反常扩散．近年来，作为分形几何和分数维动力 学的基础，分数阶微积分在描述自然界扩散现象中起了非常重要的作用，已广泛地应用于物 理、化学、环境、材料科学等领域，其基本思想是利用对时间的分数阶导数代替整数阶时间导 数 ¨］，从而使问题的刻画更具广泛性．Ｎａｒａｈａｒｉ Ａｃｈａｒ［ 利用上述方法，将分数阶积分算 子引入柱面坐标下的径向扩散方程，建立了分数阶径向扩散积分方程： ｃ（ｒ， ）一ｃ（ｒ，０）＋Ｄ。 １ Ｉ ｒ ｃ（ｒ， ）ｌ， （１） 并求得了解析解，其中： １ ｎ 。ＩＴｆ（ｔ）一南 一ｒ） 厂（ｒ）ｄｒ， ＞０ （２ 为分数阶积分算子＿６］． 在方程（１）的基础上，本文建立了有限分形介质中具有吸附效应的分数阶扩散积分方 程．利用Ｌａｐｌａｃｅ变换、广义有限Ｈａｎｋｅｌ变换及相应的逆变换得到了上述问题浓度分布的 收稿日期：２００６—０６—１６ 基金项目：国家自然科学基金（１０２７２０６７）；教育部博士点专项科研基金（２００３０４２２０４６） 维普资讯 http://www.cqvip.com １８ 高校应用数学学报 第２２卷第１期 解析解，并讨论了各种情况下解的性态，许多前人结果可作为本文的特例而被包含・ §１ 有限分形介质中分数阶反应扩散方程及其解析解 设在半径为Ｒ的球体中的内径向扩散，ｔ＝Ｏ时刻在球表面上的浓度分布为常数，建立 如下的有限分形介质分数阶反应扩散积分方程： 卜 ］， ｃ（ｒ，０）一０，０＜ｒ＜Ｒ， ㈥ （４） ｃ（ｒ，ｆ）ｌ ：ｃ。，￡≥０， （５） Ｉ：０，￡≥０． 到的条件．对（３）一（６）作Ｌａｐｌａｃｅ变换得： ： （６） 其中ｃ（，．，￡）为浓度分布，ｄ厂为分形维数，方程（４）（５）分别为初、边条件，方程（６）为对称性得 暮卜 （８） （ｒ，０）：０，０＜ｒ＜Ｒ， 云（ｒ，５）ｌ ；Ｒ—ｃ。／ｓ，￡≥０， （９） ——■ —一ＩＩ：０，￡≥０． 一＇‘，／‘ 其中８（ｒ， ）是ｃ（ｒ，￡）的像函数・ （１０ 对上述初边值问题的方程，引入变换： ： ， ： 厂（ ），其中 一√ ， ＝１一｛Ｉ ｆ・ 代入方程（７）中得： ＋ 尸一［１＋多］厂一。，此方程有解：厂： Ｌ ）＋ＢＫ ＇由条件 （１ｏ）知：Ａ一 可Ｃｏ丽，Ｂ－－０，从而 一 ｆ 了ｌ Ｊ丽Ｃ。ｆｒ＼ （ ） ’ 但其逆很难求得． 再对上述拉氏空间定解问题（７）一（１０）作如下变换： 一 —ｒ 厂（ ）， 一６广． （１１） 则可化为 （ ）厂＝ｄ Ｚｆ十歹１ ｄ ｆ一多，， 厂（ ）Ｉ 一 Ｃｏ了１， （１２） （１３） 其中 ：卜 ａｆ． 对（１２）和（１３）式作 阶的广义有限Ｈａｎｋｅ１变换 。 维普资讯 http://www.cqvip.com 刘艳芹等：有限分形介质中分数阶反应扩散方程及其解析解 １９ Ｈ ［／３＝ｊＲ。 （ ） ） 其中 是超越方程Ｊ （ Ｒ）一０的正根．得到 ｆＩ 卜Ｄ Ｊ＿ １ 一Ｒ （ 一 …一 ” … Ｒ） （ Ｒ）一 一 整理得 （１４） 利用广义有限Ｈａｎｋｅｌ变换的反演公式 ¨ ｆ（ｙ 一 ， （１５） 将（１４）代入（１５）式，再把（１５）式代入（１１）式，整理可得 一薹 薹 其中 １ ， — １ —ａ （１６） （ ）＝＝＝ 一 ‘ 可见只要求得 （ ，ｓ）的Ｌａｐｌａｃｅ逆变换Ａ（￡， ），就可得到模型的解析解・ Ａ（ ， ）－－Ｓ一［ （ ，ｓ）］一 ｌ‘（ —ｆ）一１Ｅ…［一（Ｋ＋Ｄ ）（ —ｆ） ］ｄｆ— ｔ￣Ｅ ＋１［一（Ｋ＋Ｄ ） ］， 这里Ｅ （ ）为广义Ｍｉｔｔａｇ—Ｌｅｆｆｌｅｒ函数・ ）一 ， ＞０， ＞０）， （１７） （１７）式逆变换的得出，利用了广义Ｍｉｔｔａｇ—Ｌｅｆｆｌｅｒ函数的Ｌａｐｌａｃｅ变换的一个重要公式： ｛南｝ Ｅ“口（一 口）， 对（１６）式作Ｌａｐｌａｃｅ逆变换，从而得到扩散方程的解析解 ｃ（ｒ， ）一 一［ （ｓ， ）］一 妻 厶丽ｎ＝ｌ “卅儿ｕ 以川［＿（Ｋ＋ ］． 。 （１８） （１８）式可以化简为 一 薹 州卜（Ｋ＋Ｄ …１９） 维普资讯 http://www.cqvip.com ２０ 高校应用数学学报 第２２卷第１期 利用Ｂｅｓｓｅｌ函数Ｉ－ｓ－Ｉ的递推关系，从（１９）式司以得出如Ｆ形式的解 ＝ 妻两ｎ （１＿ －（Ｋ埘： ］｝．（２０） ＝ｌ或者 一 妻两 ［＿（Ｋ埘ｚ）￡ １｝．（２１） ｎ＝ｌ方程（１８）一（２１）为有限分形介质中具有吸附效应的分数阶反应扩散积分方程（３）一（６）的解 析解． §２结果讨论 １）当ｄｆ＝ｄ＝１，Ｋ一０时，方程（２０）简化为 一 ｛１－－Ｅ．，ａｃ－－Ｄ￥２ｔ￣ （２２） 此为一维欧氏空间扩散：ｈ－程的解． ２）当ｄｆ＝ｄ＝２，Ｋ＝０时，方程（２０）简化为： 一 Ｉ－－－Ｄ ， （２３） （２３）式与文献［１２］得到的二维欧氏空间柱面坐标下分数阶径向扩散方程的解是一致的． 特别地ａ一１时， 一 唧ｃ ： 一 ２ｃ。 。（ｅ ｒ） 一Ｒ ｅ （ｅ Ｒ） ２Ｃｏ￣， 唧ｃ一 即为标准的内径向扩散方程的解 ． ３）平均平方位移（ｒ。（￡）） ∽ 一 ｒ， ２ ｄｆ／ 一 ２ｏ￣０Ｄ ２＋ｄ ｆ Ｒｚ一警 （Ｄｅ：＋Ｋ） （ｅｎＲ）Ｊ。 ” ， 其中 州ｒ一［ ＋ ］， 故 （ｒｚ（￡）＞一２（￡Ｊｃ。ＤＲ ∑ ｛１一Ｅ¨［一Ｄ ￡ ］）． Ｈ一１ Ｄｅ：＋Ｋ 。 维普资讯 http://www.cqvip.com 刘艳芹等：有限分形介质中分数阶反应扩散方程及其解析解 ２１ ４ 。ＤｄｆＲ ∑ ｛Ｅ州［一ＤＳ．Ｚｔ。］一１｝ （Ｄ８：＋Ｋ） ’ 中，也有类似的令我们感兴趣的问题． （２５） 很显然这里得到的平均平方位移不正比于 ，这不同于以往的反常扩散，另外在文献［１２］ §３ 结论 本文建立了有限分形介质中具有吸附效应的分数阶反应扩散积分方程．通过Ｌａｐｌａｃｅ 变换，广义有限Ｈａｎｋｅｌ变换及相应的逆变换得到了以Ｂｅｓｓｅｌ函数无穷级数表示的解析解． 本文得到的结果是前人标准扩散的推广．只是对这类的内径向扩散问题，其解的平均平方位 移不正比于ｔ ，这与通常的反常扩散所具有的性质是不同的． 参考文献： ［１］Ｍｅｔｚｌｅｒ Ｒ，Ｋｌａｆｔｅｒ Ｊ．Ｂｏｕｎｄａｒｙ ｖａｌｕｅ ｐｒｏｂｌｅｍｓ ｆｏｒ ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ ｄｉｆｆｕｓｉｏｎ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ［Ｊ］．Ｐｈｙｓｉｃａ Ａ， ２０００，２７８（１－２）：１０７—１２５． ［２］Ｇｉｏｎａ Ｍ，Ｒｏｍａｎ Ｈ Ｅ．Ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ ｄｉｆｆｕｓｉｏｎ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｆｏｒ ｔｒａｎｓｐｏｒｔ ｐｈｅｎｏｍｅｎａ ｉ‘ｎ ｒａｎｄｏｍ ｍｅｄｉａ ［Ｊ］．Ｐｈｙｓｉｃａ Ａ，１９９２，１８５（１）：８７—９７． ［３］Ｍｅｔｚｌｅｒ Ｒ，Ｋｌａｆｔｅｒ Ｊ．Ｔｈｅ ｒａｎｄｏｍ ｗａｌｋ’Ｓ ｇｕｉｄｅ ｔＯ ａｎｏｍａｌｏｕｓ ｄｉｆｆｕｓｉｏｎ：ａ ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ ｄｙｎａｍｉｃｓ ａｐｐｒｏａｃｈ［Ｊ］．Ｐｈｙｓｉｃｓ Ｒｅｐｏｒｔｓ。２０００，３３９（１）：１－７７． ［４］Ｍｅｔｚｌｅｒ Ｒ，Ｇ１６ｃｋｌｅ Ｗ Ｇ，Ｎｏｎｕｅｎｍａｃｈｅｒ Ｔ Ｆ．Ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ ｍｏｄｅｌ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｆｏｒ ａｎｏｍａｌｏｕｓ ｄｉｆｆｕｓｉｏｎ ［Ｊ］．Ｐｈｙｓｉｃａ Ａ，１９９４，２１１（１）：１３－２４． ［５］Ｋｌａｆｔｅｒ Ｊ，Ｚｕｍｏｆｅｎ Ｇ．Ｌｅｖｙ ｓｔａｔｉｓｔｉｃｓ ｉｎ ａ Ｈａｍｉｈｏｎｉａｎ ｓｙｓｔｅｍ［Ｊ］．Ｐｈｙｓ Ｒｅｖ Ｅ，１９９４，４９（６）：４８７３— ４８７７． ［６］Ｏｌｄｈａｍ Ｋ Ｂ，Ｓｐａｎｉｅｒ Ｊ．Ｔｈｅ Ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ Ｃａｌｃｕｌｕｓ［Ｍ］．Ｎｅｗ Ｙｏｒｋ：Ａｃａｄｅｍｉｃ Ｐｒｅｓｓ，１９７４． ［７］徐明瑜，谭文长．广义二阶流体分数阶反常扩散速度场、应力场及涡旋层的理论分析口］．中国科学 Ａ辑，２００１，３１（７）：６２８—６３８． ［８］Ｗｙｓｓ Ｗ．Ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ ｄｉｆｆｕｓｉｏｎ ｅｑｕａｔｉｏｎ［Ｊ］．Ｊ Ｍａｔｈ Ｐｈｙｓ，１９８６，２７（１１）：２７８２—２７８５． ［９］Ｓｃｈｎｅｉｄｅｒ Ｗ Ｒ，Ｗｙｓｓ Ｗ．Ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ ｄｉｆｆｕｓｉｏｎ ａｎｄ ｗａｖｅ ｅｑｕａｔｉｏｎ［Ｊ］．Ｊ Ｍａｔｈ Ｐｈｙｓ，１９８９，３０（１）： １３４—１４４． ［１Ｏ］Ｇｌｏｃｋｌｅ Ｗ Ｇ，Ｎｏｎｕｅｎｍａｃｈｅｒ Ｔ Ｆ．Ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ ｉｎｔｅｇｒａｌ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ ａｎｄ Ｆｏｘ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｉｎ ｔｈｅ ｔｈｅｏｒｙ ｏｆ ｖｉｓｃｏｅ１ａｓｔｉｃｉｔｙ［Ｊ］．Ｍａｃｒｏｍｏｌｅｃｕｌｅｓ，１９９１，２４（２４）：６４２６—６４３４． ［１１］Ｇｌｒｅｎｆｌｏ Ｒ，Ｌｕｃｈｋｏ Ｙ，Ｍａｉｎａｒｄｉ Ｆ．Ｗｒｉｇｈｔ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ａｓ ｓｃａｌｅ—ｉｎｖａｒｉａｎｔ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｅ ｄｉｆｆｕｓｉｏｎ— ｗａｖｅ ｅｑｕａｔｉｏｎ［Ｊ］．Ｊ Ｃｏｍｐｕｔ Ａｐｐｌ Ｍａｔｈ，２０００，１１８（１）：１７５—１９１． ［１２１ Ｎａｒａｈａｒｉ Ａｃｈａｒ Ｂ Ｎ，Ｈａｎｎｅｋｅｎ Ｊｏｈｎ Ｗ．Ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ ｒａｄｉｃａｌ ｄｉｆｆｕｓｉｏｎ ｉｎ ａ ｃｙｌｉｎｄｅｒ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｍｏｌｅｃｕｌａｒ Ｌｉｑｕｉｄｓ，２００４，１１４：１４７—１５１． ［１３］同登科，王瑞和．分形油藏非Ｎｅｗｔｏｎ黏弹性液分数阶流动分析［Ｊ］．中国科学Ｇ辑，２００４，３４（１）： ８７一ｌＯ１． ［１４］Ｓｎｅｄｄｏｎ Ｉ Ｈ．Ｔｈｅ Ｕｓｅ ｏｆ Ｉｎｔｅｇｒａｌ Ｔｒａｎｓｆｏｒｍｓ［Ｍ］．Ｎｅｗ Ｙｏｒｋ：ＭｃＧｒａｗ—Ｈｉｌｌ Ｂｏｏｋ Ｃｏｍｐａｎｙ， １ ９７２． 维普资讯 http://www.cqvip.com ２２ 高校应用数学学报 第２２卷第１期 １５］ ｒａ１ａｗ Ｈ ｓ，ＪａｅｇｅｒｒＪ ｃ・ｃ。ｎｄｕｃｔｉ。ｎ。ｆ Ｈｅａｔ ｉｎ Ｓ０ｌｉｄｓ’２ｎｄ ｅｄｉＭ］．Ｌ。ｎｄ０力：０ｘｆ０ｒｄ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ Ｐｒｅｓｓ，１９５９． Ａｎａｌｙｔｉｃａｌ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｏｆ ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ ｒｅａｃｔｉｏｎ ｄｉｆｆｕｓｉｏｎ ｅｑｕａｔｉＯｎ ｉｎ ｆｉｎｉｔｅ ｆｒａｃｔａｌ ｍｅｄｉａ ＬＩＵ Ｙａｎ—ｑｉｎ ，ＪＩＡＮＧ Ｘｉａｏ—ｙｕｎ （１．Ｄｅｐｔ・ｏｆ Ｍａｔｈ．，Ｄｅｚｈｏｕ Ｕｎｉｖ．，ＤｅｚｈＤ ２５３０２３Ｃｈｉ 口 ，２・ＳｃｈｏＤ１ ｆ ｏＭａｔｈ・ａｎｄ ＳｙｓｔＰ， Ｓｃｉ．，Ｓｈａ，ｌｄｏｎｇ Ｕ，ｌｉ ．，Ｊｉ，ｌｎ，ｌ ２５０１００，Ｃｈｉ，ｌ口） Ａｂ ｔｒａｃｔ：Ｆｒａｃｔｉｏｎａ１ ｒｅａｃｔｉｏｎ ｄｉｆｆｕｓｉｏｎ ｉｎｔｅｇｒａ１ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｗｉｔｈ ａｂｓｏｒｐｔｉｏｎ ｉｎ ｆｉｎｉｔｅ ｆｒａｃｔａｌ ｍｅｄｉａ ａｒｅ ｇｉＶｅｎ ｉｎ ｔｈｉｓ ａｒｔｉｃｌｅＡｎａｌｙｒｉｃａｌ ｓｏｌｕｔｉ０ｎ ｏｆ ｔｈｅ ｃｏｎｃｅｎｔｒａｔｉｏｎ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ ．ｃａｎ ｂｅ ｅｘｐｒｅｓｓｅｄ ａｓ Ｍｉｔｔａｇ—Ｌｅｆｆｌｅｒ ｆｕｎｃｔｉ０ｎ ｂｙ ｍｅａｎｓ ｏｆ Ｌａｐｌａｃｅ ｔｒａｎｓｆｏｒｍ ａｎｄ ｆｉｎｉｔｅ Ｈａｎｋｅｌ ｔｒａｎｓｆｏｒｍ・Ａｎｄ ｔｈｅ ａｓｙｍｐｔ。ｔｉｃ ｂｅｈａｖｉ。ｒｓ ｆｏｒ ｔｈｅ ｓ。ｌｕｔｉ。ｎ ａｒｅ ａ１ｓ。ｇｉｖｅｎ． Ｋｅｙ ｗ０ｒｄｓ：ｆｒａｃｔｉ。ｎａ１ ｃａｌｃｕｌｕｓ；ｆｒａｃｔａＩ ｍｅｄｉａ；ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ ｆｉｎｉｔｅ ＨＬａｐｌａｃｅ ｔｒａｎｓｆｏｒｍ；ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ Ｍｉｔｔａｇ—Ｌｅｆｆｌｅｒ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ａｎｋｅ１ ｔｒａｎｓｆ。ｒｍ： ＭＲ Ｓｕｂｊｅｃｔ Ｃｌａｓｓｉｆｉｃａｔｉｏｎ：３５Ｋ５７
