2021年全国高中数赛江苏赛区初赛试卷及详解(纯word)

2021年全国高中数赛江苏赛区预赛试卷及详解 2021年5月7日8:00――10:00

一、填空题（本题共10小题，每小题7分后，共70分后）

1.已知向量ap?1,3,pb??3,1，则向量ap与ab的夹角等于． 求解一：由题设ap?pb?(1,3)?(?3,1)?0，且|ap|?|pb|，故?apb为全等直角三角

形，从而向量ap与ab的夹角等于.

4解二：因为ab?ap?pb?(1?3,3?1)，所以cos?ab,ap与ab的夹角等同于.

42，所以向量ap22.已知集合a?x|?ax?1??a?x??0，且a?a,3?a，则实数a的取值范围是．

求解：有题设，言??(2a?1)(a?2)?0 (3a1)(a3)0a2或a?1?2所以：? 1a33所以

1?a?1或2?a?332??2?，其中i是虚数单位，则z3?z2?．?isin333.已知复数z?cos32解：有题设z?z?cos6??isin6??cos4??isin4??1?3i

333322x2y24.在平面直角坐标系xoy中，设f1,f2分别就是双曲线2?2?1?a?0,b?0?的左，右焦点，

abp是双曲线右支上一点，m是pf2的中点，且om?pf2,3pf1?4pf2，则双曲线的离心率 为 ． 答案：5．

5.定义区间?x1,x2?的长度为x2?x1．若函数y?log2x的定义域为?a,b?，值域为?0,2?，则区间?a,b?的长度的最大值与最小值的差为． 答案：3.

6.若关于x的二次方程mx2??2m?1?x?m?2?0?m?0?的两个互异的根都小于1，则实数 m的值域范围就是． 37答案：?,.

47.若tan4x?3sin4xsin2xsinxsinx，则．3cos8xcos4xcos4xcos2xcos2xcosxcosx 答案：3.

8.棱长为2的正方体abcd-a1b1c1d1在空间坐标系o-xyz中运动，其中顶点a维持在z轴

上，顶点b1保持在平面xoy上，则oc长度的最小值是． 答案：6?2.

9.设数列a1,a2,a3,?,a21满足：an?1?an?1?n?1,2,3,?,20?，a1,a7,a21成等比数列．若a1?1,a21?9，则满足条件的不同的数列的个数为． 答案：15099．

10.对于某些正整数n，分数

n?2不是既约分数，则n的最小值就是．23n?7

答案：17.二、解答题：（本大题共4小题，每小题20分，共80分）

nan?12,n?n*.11.设数列?an?满足：①a1?1，②an?0，③an?nan?1?1求证：（1）数列?an?是递增数列；

1（2）对例如图任一正整数n，an?1??.

k?1knnan?12an?1?,且an?0，证明：（1）因为an?1?an?an?1?nan?1?1nan?1?1所以an?1?an?0．所以an?1?an,n?n*.所以数列?an?是递增数列． （2）因为an?1?an?所以当n?2时， an?1a1?n?1?,

nan?1?1nan?1nan??an?an?1an?1?an?2??a2?a1??a111111n?1n?221n1?1??.k?1k?

1又a1?1?1?1,所以对任意正整数n，an?1??.

k?1knx2y212.在平面直角坐标系xoy中，设立椭圆e:2?2?1?a?b?0?，直线l:x?y?3a?0.若椭

ab3圆e的离心率为，原点o到直线l的距离为32. 2（1）谋椭圆e与直线l的方程；

（2）若椭圆e上三点p,a?0,b?,b?a,0?到直线l的距离分别为d1,d2,d3，求证：d1,d2,d3可以是某三角形三条边的边长．?3a?32,??2??a?2,3?c解：（1）由题设条件得??，从而?,b?1.2??a222?b?c?a,x2故所求的椭圆e:?y2?1．直线l:x?y?6?0. 4（2）设p?2cos?,sin??，则d1?所以2cos??sin??62?6?5sin2,其中tan??2. 62?1062?10?d1?.22又d2?0?1?62?2?0?652,d3??22.22故d2?d1.因为

d2?d3?d1?d3?529262?10?22d1,22262?10102?1052?22d1.222所以d1,d2,d3可以是某个三角形的三条边的边长．

13.例如图，圆o就是四边形abcd的内切圆，切点分别为p,q,r,s,oa与ps处设点a1,ob与pq处设点b1，oc与qr处设点c1，od与sr处设点d1． 求证：四边形a1b1c1d1是平行四边形． dd1src1cqob1a1bpa证明：相连接pr,qs.

dd1src1cqob1a1bpa因为圆o是四边形abcd的内切圆，所以oa是?sap的平分线，且ap?as.在△asp中，由三线合一，点a1是线段ps的中点．同理点b1是线段pq的中点，所以a1b1//sq． 同理a1d1//b1c1．

所以四边形a1b1c1d1是平行四边形．14.求满足x3?x?y7?y3的所有素数x和y.解：满足题设条件的素数只有x?5,y?2.假设y?5,则

y7?y3?5y6?y3?y6?20y5?y3?y6?6y5?70y4?y3?y6?6y5?15y4?20y3?15y2?6y?1??y?1?.所以，x3?x3?x?y7?y3??y?1?,即x??y?1?.

又因为x|x3?x?y7?y3?y3?y?1??y?1?y2?1，且x为素数，而y?1?y?y?1?y2?1??y?1??x,从而x\\\\|y3?y?1??y?1?y2?1,这与x|y7?y3矛盾． 所以y?5.

因为y是素数，所以y?2,或y?3.

当y?2时，x3?x?120，即为?x?5?x2?5x?24?0,所以x?5.当y?3时，x3?x?2160?24?33?5.所以x?2,或x?3，或x?5.

经检验，x?2，或x?3，或x?5时，x3?x?24?33?5.所以满足条件的素数只有x?5,y?2. 2626