衔二次函数(四个课时)

初升高衔

第一、二课时 二次函数在闭区间上的最值

教学目标

:

1.：初步掌握解决二次函数在闭区间上最值问题的一般解法，总结归纳出二次函数在闭区间上

最值的一般规律，学会运用二次函数在闭区间上的图像研究和理解相关问题.

2．通过探究，让学生体会分类讨论思想与数形结合思想在解决数学问题中的重要作用,培养学生分析问题、解决问题的能力，同时培养学生合作与交流的能力

教学重点：二次函数在闭区间上的最值问题.

教学难点：简单的含参的二次函数在闭区间上的最值问题.

一、 知识要点：

一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况.

设f(x)ax2bxc(a0)，求f(x)在x[m，n]上的最大值与最小值。

bb4acb2分析：将f(x)配方，得顶点为 ，、对称轴为x2a4a2a 当a0时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m，n]上f(x)的最值：

2bb4acbm，n时，f(x)的最小值是f（1）当 ，f(x)的最大值是f(m)、f(n)中的较大者。

2a2a4a（2）当bm，n时 2abm，由f(x)在m，n上是增函数则f(x)的最小值是f(m)，最大值是f(n) 若2ab若n，由f(x)在m，n上是减函数则f(x)的最大值是f(m)，最小值是f(n)

2a 当a0时，可类比得结论。 二、例题分析归类： （一）、正向型

是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。

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1. 轴定区间定

二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。 例1. 函数yx24x2在区间[0，3]上的最大值是_________，最小值是_______。 练习.1. 已知2x3x，求函数f(x)x2x1的最值。

2．函数yxx1在[1,1]上的最小值和最大值分别是 （ ）

22(A)1 ,3 (B)311 ,3 （C） ,3 （D）, 3 4243．函数yx24x2在区间[1,4] 上的最小值是 （ ）(A)7 (B)4

(C)2 (D)2

4．函数y8的最值为 （ ） 2x4x5(A)最大值为8，最小值为0 (B)不存在最小值，最大值为8

（C）最小值为0, 不存在最大值 (D)不存在最小值，也不存在最大值 5．若函数y2x24x,x[0,4]的取值范围是______________________

6．如果实数x,y满足x2y21，那么(1xy)(1xy)有 （ ）

13 (B)无最大值，最小值为 243 （C）)最大值为 1, 无最小值 (D)最大值为1，最小值为

4 (A)最大值为 1 , 最小值为

7．若x0,y0,x2y1，那么2x3y2的最小值为__________________

228．设mR,x1,x2是方程x2mx1m0的两个实根，则x1的最小值______ x222

2、轴定区间变

二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定函数在动区间上的最值”。

2例2. 如果函数f(x)(x1)1定义在区间t，t1上，求f(x)的最小值。



2f(x)x2x3，当x[t，t1](tR)时，求f(x)的最大值． 练习 1. 已知

2．已知函数yx2x3在闭区间[0,m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是

（ ）

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(A) [1,) (B) [0,2] (C) [1,2] (D) (,2]

3．设f(x)x24x4,x[t,t1](tR),求函数f(x)的最小值g(t)的解析式

观察前两题的解法，为什么最值有时候分两种情况讨论，而有时候又分三种情况讨论呢？这些问题其实仔细思考就很容易解决。不难观察：二次函数在闭区间上的的最值总是在闭区间的端点或二次函数的顶点取到。第一个例题中，这个二次函数是开口向上的，在闭区间上，它的最小值在区间的两个端点或二次函数的顶点都有可能取到，有三种可能，所以分三种情况讨论；而它的最大值不可能是二次函数的顶点，只可能是闭区间的两个端点，哪个端点距离对称轴远就在哪个端点取到，当然也就根据区间中点与左右端点的远近分两种情况讨论。根据这个理解，不难解释第二个例题为什么这样讨论。 对二次函数的区间最值结合函数图象总结如下：

当a0时f(x)maxbf(n)，n(如图3)b12af(m)，(mn)(如图1)bb2a2f(x)minf()，mn(如图4)

b12a2af(n)，(mn)(如图2)b2a2f(m)，m(如图5)2a

当a0时f(x)maxbf(n)，n(如图6)b12af(m)，(mn)(如图9)2a2bb f()，mn(如图7)f(x)minb12a2af(n)，(mn)(如图10)b2a2f(m)，m(如图8)2a

3、轴变区间定

二次函数随着参数的变化而变化，即其图象是运动的，但定义域区间是固定的，我们称这种情况是“动二次函数在定区间上的最值”。

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例3. 已知x1，且a20，求函数f(x)x2ax3的最值。

例4. (1) 求f(x)x22ax1在区间[-1,2]上的最大值。

(2) 求函数yx(xa)在x[1,1]上的最大值。 练习1．已知函数f(x)ax(2a1)x3(a≠0)在区间[2．已知f(x)xax

4. 轴变区间变

二次函数是含参数的函数，而定义域区间也是变化的，我们称这种情况是“动二次函数在动区间上的最值”。

222y4a(xa)(a0),u(x3)y例5 已知，求的最小值。

2223，2]上的最大值是1，则实数a的值为 2a，在区间[0,1]上的最大值为g(a)，求g(a)的最小值。 2（二）、逆向型

是指已知二次函数在某区间上的最值，求函数或区间中参数的取值。

例6. 已知函数f(x)ax22ax1在区间[3,2]上的最大值为4，求实数a的值。

x2x在区间[m,n]上的最小值是3m最大值是3n，求m，n的值。 例7.已知函数f(x)23例8. 已知二次函数f(x)ax2(2a1)x1在区间,2上的最大值为3，求实数a的值。

2练习.（2009江苏卷）设a为实数，函数f(x)2x2(xa)|xa|. (1)若f(0)1，求a的取值范围； (2)求f(x)的最小值； (3)设函数h(x)f(x),x(a,)，直接写出(不需给出演算步骤)不等式h(x)1的解集. ．．．．

解后反思：若函数图象的开口方向、对称轴均不确定，且动区间所含参数与确定函数的参数一致，可采用先斩后奏的方法，利用二次函数在闭区间上的最值只可能在区间端点、顶点处取得，不妨令之为最值，验证参数的资格，进行取舍，从而避开繁难的分类讨论，使解题过程简洁、明了。

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第三课时 二次方程根的分布

学习目标：

1．能利用二次函数的图象与判别式的符号，判断一元二次方程根的存在性及根的个数； 2．体验并理解函数与方程相互转化的数学思想和数形结合的数学思想 教学重点：二次函数根的分布的分析方法 教学难点：二次方程根的分布的关系式 设x1，x2是实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的两根，则x1，x2的分布范围与二次方程系数之间的关系如下表所示. 根的 分布 x1例、已知函数f(x)＝mx2＋(m－3)x＋1在原点右侧至少有一个零点，求实数m的取值范围．

练习1、已知函数f(x)＝x2－(2a－1)x＋a2－2的图象与x轴的非负半轴至少有一个交点，求a的取值范围

练习2、若关于x的方程3tx2＋(3－7t)x＋4＝0的两个实根α，β满足0<α<1<β<2，实数t的取值范围是______．

练习3、若方程x2＋(k－2)x＋2k－1＝0的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，则实数k的取值范围是______________ .

练习4 、若关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是( )

A．(－1,1)

B．(－2,2)

C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

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第四课时 一元二次函数与一元二次不等式

教学目标：1、了解二次函数的图像及其性质

2、理解二次函数，二次方程，二次不等式三者之间的关系 3、掌握利用数形结合的方法来分析二次函数及不等式的问题

教学重点：如何利用一元二次函数图像解一二二次不等式 教学难点：“恒成立问题”、“存在问题”

一．一元二次不等式

【知识讲解】

1、定义：形如ax2+bx+c＞0（a＞0）（或ax2+bx+c＜0（a＞0））的不等式叫做关于x的一元二次不等式。

2、一元二次不等式的一般形式：

ax2+bx+c＞0（a＞0）或ax2+bx+c＜0（a＞0）

3、一元二次不等式的解集：

Δ=b2-4ac Δ＞0 yΔ=0 yΔ＜0 y y=ax2+bx+c＞0 （a＞0）的图象 x1Ox2xOx1(x2)xOxax2+bx+c=0 （a＞0）的根 ax2+bx+c＞0 （a＞0）的解集 ax2+bx+c＜0 （a＞0）的解集 bb24acx1=2a x1= x2=- x≠-x2=bb4ac2a2b 2a没有实数根 x＜x1或x＞x2 （x1＜x2） x1＜x＜x2 （x1＜x2） b 2a全体实数 无解 无解 例1 解下列不等式：

（1）4x2-4x＞15； （2）-x2-2x+3＞0； （3）4x2-4x+1＜0

练习.解不等式m2x2-m2x+6m2>0 二．恒成立问题：

1．一般地，af(x)恒成立，f(x)的最大值为M，则aM；

af(x)恒成立，f(x)的最小值为m，则am.

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22．axbxc0（a0)恒成立 a0 0ax2bxc0(a0)恒成立注意: 要单独考虑a0时的情况.

a0 02例1．关于x的不等式x4xm对任意x(0,1]恒成立，则有（ ）（A m3 B m3

C 3m0 D m4

例2．已知关于x的不等式(k2＋4k－5)x2＋4(1－k)x＋3>0对任何实数x都成立，求实数k的取值范围。 练习：（1）函数f(x)kx26kx8的定义域是R，则k的取值范围是（ ） A.k≤0或k≥

28 92 B.k≥

8 9 C.0≤k≤

8 9 D.0k≤

8 9（2）不等式(a1)x(a1)x10的解集为R，求a的取值范围

例3．（1）方程x2xa0在[0,3]上有解，求a的取值范围。

（2）不等式x2xa0在[0,3]上恒成立，求a的取值范围。 （3）不等式x2xa0在R上恒成立，求a的取值范围。

2例4．已知f(x)xax3a,若x[2,2]时，f(x)0恒成立，求a的取值范围

222

练习：设f(x)x2ax2(aR)

（1）当xR时，f(x)a恒成立，求a的取值范围。

（2）当x[1,)时，f(x)a恒成立，求a的取值范围。 （《全线突破》P24例1）

例5．对于函数f（x），若存在x0∈R，使f（x0）=x0成立，则称x0为f（x）的不动点.已知函数f（x）=ax2+（b+1）

x+b－1（a≠0）.

（1）当a=1，b=－2时，求f（x）的不动点；

（2）若对于任意实数b，函数f（x）恒有两个相异的不动点，求a的取值范围. 练习．已知函数f(x)ax2a2x2ba3

当x(2,6),f(x)0,当x(,2)(6,),f(x)0， (1) 求f(x)的解析式； (2) 设g(x) 三、存在问题

2kf(x)4(k1)x2(6k1),当k取何值时，g(x)0恒成立？ 4 高中数学 罗成