理论力学题库
第一部分：概念题
理论力学的研究对象和研究方法 内力的特点 柯尼希(König)定理 质心运动定理的物理意义 地球自转对物体运动的影响实例 如何处理可变质量物体的运动 刚体的平动 平面平行运动 瞬心，瞬心的特点 空间极迹, 本体极迹 惯量椭球，惯量主轴 刚体一般运动的动能 回转效应 表观重力
平面平行运动的定义, 特点及自由度
非惯性系中质点运动微分方程及各项的意义。 正则变换 泊松定理 拉格朗日力 自由度，广义坐标
约束，约束的类型，完整约束，理想约束 循环坐标，循环动量，循环积分 哈密顿函数的物理意义 位形空间 广义能量积分
虚位移，虚功 拉格朗日变量 正则变量 泊松括号的作用
正则变换的目的，正则变换的条件，正则变换的关键 广义势
带电粒子在电磁场中的拉格朗日方程
平面刚体, 定轴转动刚体, 定点运动刚体, 一般运动刚体, 平动刚体的自由度 面积常数的物理意义
第二部分：证明题
1 试导出可变质量物体的运动微分方程 2 试导出有心运动的轨道微分方程
3 证明在重力作用下火箭运动的速度为V=V0 - gt+Vr ln(m0/m), 其中V0和m0为火箭的初速度和初质量, Vr为喷气速度(令为常数), g是重力加速度, t为时间.
4 原始总质量为M0的火箭, 发射时单位时间内消耗的燃料与M0成正比, 即
αM0(α为比例常数), 并以相对速度Vr喷射. 已知火箭本身质量为M, 求证只有当αVr > g时火箭才能上升, 并证其最大速度为: Vr ln(M0/M) – g(1– M/M0)/α
5 质点组对某点O的总角动量等于其质心(质量为M)对点O的角动量与整个质点组相对质心的角动量之和, 试证之. 6 试导出Euler动力学方程 7 试导出质点组关于质心的动能定理 8 试证面积常数h=rθ 9 导出两体问题的结论.
&/∂q&α; 10. 若xi=xI (q1,q2,…,qS , t), 试证: ∂xi/∂qα=∂x
2.
d
&/∂qα (∂xi/∂qα)=∂x
dt
&α &α, [qα,H]=q 11 证明 [pα,H]=p
12 证明[GZ,Py]=−PX, [Gy,PX]=−PZ 13 若f=f (q,p,t), 一般
df∂f
, 有无特例? 若有, 试证之. ≠
dt∂t
14 已知质点组点的动量P和角动量G的笛卡儿分量所组成的泊松括号
[GZ,PX]=PY, [GY,Py]=0, [GX,PZ]=−PY, 请直接写出以下结果
[GY,PX]= ？ [GX,Py]= ？ [GX,PX]= ？ [GY,PZ]= ？
15 [qα,pβ]=δαβ
第三部分：运算题
1. 如向互相垂直的均匀电磁场E, H中发射一电量为e的电子, 设电子的初速度V0与E及H垂直, 试求电子的运动规律 (已知电子受力F=eE + e/c V× H, 其中V为任一瞬时电子的速度, c 为光速)
2. 一质量为m 的质点受引力的作用在一直线上运动, 引力值为mµ a2 / x2, 其中x是相
对于线上某一固定点(取为原点)的距离. 如质点在离原点2a处静止出发, 求到达 a处所需的时间.
3. 已知一点作平面运动时, 其速度的大小为常数C, 矢径的角速度大小为常数ω. 求点的运动方程及其轨迹. 设t=0时, r=0, θ=0.
4. 海防炮的炮弹质量为m, 自离海平面高h处以初速V0水平射出. 空气阻力可视为与速 度的一次方成正比, 即R= - kmV, 其中k为常数, 试求炮弹的运动方程.
5. 任意二维光滑曲线y = y(x), 为保证质点在运动中不会脱离曲线的约束, 要求曲线段是向上凹的. 质点从y=y0 ( y0任意)高度静止下滑. (1) 试证曲线对质点的约束力
N=mg[1+y'+2(y0−y)y]/(1+y')
2
''
2
3/2
(2) 由此推出椭圆 (x2/a2+y2/b2 = 1) 在y≤0曲线段的约束力 N=−mgay[3b+(a−b)y]/[b+(a−b)y]
4
2
2
2
4
2
2
23/2
.
6. 如果单摆在有阻力的媒质中振动, 并假定振幅很小, 故阻力与θ 成正比, 且可写为
R=2mklθ, 式中m为摆锤质量, l为摆长, k为比例系数, θ为角速度. 试写出下列
几种情况下单摆的运动微分方程
..
.
7. 一质点沿着抛物线y2=2px运动, 其切向加速度为法向加速度的2k倍. 如质点从正焦弦 (p/2, p)的一端以速度u出发, 试求其到达正焦弦另一端时的速率.
8. 一均匀圆盘, 质量为M, 半径为R, 静止地放在一光滑平面上, 圆盘中心固定. 质量为 m的甲虫, 原先静止于圆盘边缘上, 尔后甲虫沿圆盘边缘爬动.
(1) 用三大守恒定律分析系统的守恒情况. (2) 求盘心和甲虫的轨迹.
9. 在光滑的水平面上, 一个质量为m的小球以速度V0与一根长度为2a, 质量为M的静 止均质杆碰撞(如图示). 试求碰后杆的质心C的速度(要求理论分析, 列出有关方程, 不 必求解).
10. 一均匀圆盘, 质量为M, 半径为R, 静止地放在一光滑的平面上, 圆盘中心不固定. 质 量为m的甲虫, 原先静止于圆盘边缘上, 尔后甲虫以匀相对速率u沿圆盘边缘爬动,
(1) 求质心C与盘心和甲虫间的距离
(2) 用三大守恒定律分析系统的守恒情况.
(3) 求盘心的平动速率和相对盘心的转动角速度.
11. 质量为m1和m2的两自由质点互相以力吸引, 引力与其质量成正比, 与距离平方成反 比, 比例系数为k. 开始时, 两质点皆处于静止状态, 其间距离为a. 试求两质点的距离 为a/2时它们的速度.
12. 一等腰直角三角形OAB在其自身平面内以匀角速度ω绕顶点O转动, 某一点P以匀 相对速度沿AB边运动. 当三角形转了一周时, P点走过了AB. 如已知AB=b, 试求P点在A时的绝对速度和绝对加速度.
13. 质量为m的质点位于一光滑水平面上, 此平面以等角速度ω通过平面上某一点O的 铅直轴转动. 若质点受O吸引, 引力为F= －mω r (r为质点相对于O的矢径). 试证在任何起始条件下, 质点以角速度2ω走一圆周轨迹.
14. 一光滑管子在光滑水平面上以等角速度ωO(方向铅直向上)转动, 管内有一弹性系数为
k, 自然长度为lo的弹簧, 其一端联于转轴的O点, 另一端联一质点m. 开始时, 质点
2
&=0. 求质点的运动及它对管壁的压力(在整个运动过程中, 不超过弹位于x=lo处, 且x
簧弹性限度)
15. 椭球状的杯子内放一重mg的小球, 杯子以等角速度ω绕其自身铅直轴转动, 小球与椭
球杯处于相对静止状态, 求距离h 16. 一直线以等角速度ω在一固定平面内绕其O端转动。当直线位于oξ的位置时，有一
点M开始从O点沿该直线运动，如要使此点的绝对速度V的大小为常数，问该点应
按何种规律沿此直线运动，并求点的轨迹及加速度。
17. 设一长L的杆AB作平面运动. 已知VA的大小和方向和VB的方向, 如图示. 求杆上
某点C的位置( VC的方向正好沿杆的方向), 瞬时角速度及Vc
18. 半径R=43厘米之圆盘OA在绕固定点O转动时, 并在顶角为60度的固定圆锥上滚 动. 如圆盘A点的加速度之值为常数并等于48厘米/秒2, 求圆盘绕其对称轴转动的角 速度.
19. 曲柄OA长为L0, 以等角速度ω转动并带动长为L的连杆AB, 滑块B沿垂线运动. 求 连杆的角速度, 角加速度及滑块B的加速度
20. 质量为m的小环, 套在半径为a 的光滑圆圈上, 并可沿着圆圈滑动. 若圆圈在水平面 内以等角速度ω绕圈上某点O转动(如图示). 试求小环的运动微分方程.
21. 雨滴下落时, 其质量增加率与雨滴的表面积成正比, 求雨滴速度与时间的关系
22. 原始总质量为m0的火箭, 发射时单位时间内消耗的燃料与m0成正比, 即αm0(α为比 例常数), 并以相对速度Vr喷射. 已知火箭本身质量为m, 求证只有当αVr > g时火箭 才能上升, 并证其喷射行程的最大高度 hmax=−
g2α2
(1−
mSmmVm
)+r(SlnS+1−S) m0αm0m0m0
23. 试证在有心力场中, 位矢在相同时间间隔内扫过的面积相等, 并证明面积常数矢量的
2&大小等于rθ.
24. 试证有心运动一般特性之一---------掠面速度守恒
25. 据汤川核力理论, 中子与质子间的引力具有如下形式的势能: V( r )= k e -αr/r, 其中
k<0. 试求:
(a) 中子与质子间的引力表达式.
(b) 求质量为m粒子作半径为a 的园运动的角动量及能量. 26. 质量为m的质点在有心 力场mc/r3中运动, 式中r为质点到力心O的距离, C为常数.
当质点离O很远时, 质点的速度为V∞, 而其渐近线与O的距离则为ρ(即瞄准距离).
试求质点与O的最近距离.(93J)
27. 重P之均匀棒AB搁在两固定平面上,此两平面与水平面成α及β角,求平衡时角ϕ. 28. 相同的两个光滑球悬在结于定点O的两条绳子上, 此两球同时又支持一个等重的第
三球. 求α及β间的关系.
29. 两根长2l,重P的均质棒以绞链C互相连结并靠在一个半径为r, 其轴为水平的光滑
固定圆柱上. 求系统平衡时的角度∠ACB=2ϕ.
30. 重P, 固有长度为l,弹性模量为λ的弹性圈放在顶角为2α的光滑竖直圆锥体上. 求
平衡时圈面离圆锥体顶点的距离h.
31. 一弹性绳圈(自然长度为lO, 弹性系数为k, 单位长度质量为σ)水平地套在一固定的
光滑球面(半径为R, 且2πR>lO)上, 它因自重而下滑. 试用虚功原理求其平衡条件. 32. 均匀杆OA, 重P1 ,长l1,能在竖直平面内绕固定铰链O转动, 此杆的A端用铰链连另
一重P2 , 长l2的均匀杆AB.在AB杆的B端加一水平力F, 求平衡条件
33. 一水平的固定光滑钉子M与光滑铅直墙面的距离为d, 一长为l的均匀棒AB搁在钉
子上，下端靠在墙上，求平衡时棒与墙所夹的角度φ。
34. 长为2L的均匀杆AB,一端靠在光滑的竖直墙上，另一端搁在光滑的固定曲面上，曲
面方程为x2+(2y-a)2=a2, a为常数，求杆的平衡位置
35. 半径为r的均匀重球可以无滑动地沿一具有水平轴的半径为R的固定圆柱之内表面而
滚动. 求与圆球绕平衡位置作微振动的周期相同的数学摆之摆长. 36. 一光滑管OA, 其O端固定于球绞链O, A端以绳子固结于铅垂轴Oς于B点(倾角α不
变), 并以匀角速度ω绕铅垂轴Oς转动, 质点m沿管移动, 离a点距离为ρ, 运动开始时, m在ρO处, 且初速为0. 求质点对管OA的相对运动
37. 一质点的质量为m ,受重力的作用, 在旋轮线的导轨上运动. 旋轮线的方程为 S=4asinφ,其中S是自O点起算的弧长, φ是旋轮线的切线与水平轴的交角.试以两种广义坐标写出系统的拉格朗日函数,并以一种情况求质点的运动.
38. 两皮带轮M1与M2, 质量为m1与m2, 半径为r1与r2, 其上缠有绳子, 此绳绕过一质
量为m3, 半径为r3的滑轮M3; 滑轮M3可以无摩擦地绕定轴O转动. 假定绳子与滑轮之间没有滑动而皮带轮中心皆沿铅垂直线运动, 求系统的运动微分方程.
39. 一珠子无摩擦在一摆线形状之金属线上运动, 摆线方程为:
x=a(θ−sinθ),y=a(1+cosθ) 式中0≤θ≤2π. &=0). 试用哈密顿正则方程求珠子的运动规律(设t=0,θ=θ 40. 试用哈密顿正则方程求行星的运动微分方程.
41. 在光滑直管中有一质量为m的小球, 此管以等角速度ω绕通过其一端的水平轴转动,
在起始瞬时, 球距转动轴的距离为a, 球相对于管的速度为g/(2ω), 试用哈密顿正则方 程求小球沿管的运动规律
42. 试写出带电粒子在电磁场中的哈密顿函数。
43. 试应用正则方程求电子在库仑场中运动的微分方程。
44. 一质量为m的小球用长为L的轻绳悬挂于一质量为m’的小环上，小环穿在一根光滑
的水平钢丝上，如图示。初始时整个系统处于静止状态，尔后小球在钢丝所在的铅直面内摆动，并带动小环在钢丝上滑动。试由哈密顿正则方程求小球摆动的角度θ所满足的微分方程。
45. 试用哈密顿变分原理导出弹簧振子的运动微分方程.
46. 试用哈密顿变分原理导出行星运动微分方程.
47. 一U型管, 断面积σ, 内盛液体, 液体单位体积的质量为ρ. 原来液体两表面高度差
为h, 此时液体运动的速度为0. 由于重力的影响, 液体在管内运动. 设管与液体之间没有摩擦, 试用哈密顿变分原理求液面的运动.
48. 在光滑平面上竖直固定一半径为r的圆柱体，设长为l的轻绳的一端固定在柱体侧面
的O点，另一端系着一质量为m的小球，小球在平面上以垂直于绳方向的初速度V0运动，试求：（1）体系的拉格朗日函数。（2）应用哈密顿变分原理求运动方程及其解。
49. 二维平面谐振子系统,其哈密顿函数H=(px+py)/(2m)+m(ω1x2+ω2y2)/2
若选母函数S(x,y,Q,Q2)=m(ω1xctgQ1+ω2yctgQ2),试证
*
2
2
2
2
2
2
H=H(P1,P2),与Q1,Q2无关.
50. 证明 变换：Q=
2qcosp， P=2qKsinp 为正则变换。 K51. 证明变换：Q=ln(1+qcosp)， P=2(1+qcosp)qsinp 为正则变换
