2022年初升高暑期数学精品讲义专题01 数与式的计算重难点突破(原卷版)

在初中，我们已学习了实数，知道字母可以表示数用代数式也可以表示数，我们把实数和代数式简称为数与式．代数式中有整式（多项式、单项式）、分式、根式．它们具有实数的属性，可以进行运算．在多项式的乘法运算中，我们学习了乘法公式（平方差公式与完全平方公式），并且知道乘法公式可以使多项式的运算简便．由于在高中学习中还会遇到更复杂的多项式乘法运算，因此本节中将拓展乘法公式的内容，补充三个数和的完全平方公式、立方和、立方差公式．在根式的运算中，我们已学过被开方数是实数的根式运算，而在高中数学学习中，经常会接触到被开方数是字母的情形，但在初中却没有涉及，因此本节中要补充．基于同样的原因，还要补充“繁分式”等有关内容．

1、知识结构思维导图

2、学法指导与考点梳理

考点1 乘法公式

（1）平方差公式 （2）完全平方公式 （3）立方和公式 （4）立方差公式 （5）三数和平方公式

(ab)(ab)a2b2；(ab)2a22abb2．(ab)(a2abb2)a3b3；(ab)(a2abb2)a3b3；

(abc)2a2b2c22(abbcac)；

（6）两数和立方公式 (ab)3a33a2b3ab2b3；（7）两数差立方公式 (ab)3a33a2b3ab2b3．

考点2 根式

式子a(a0)叫做二次根式，其性质如下：(1) (a)2a(a0)(2) a2|a|(3) abab(a0,b0)(4) bbaa(a0,b0)3、重难点题型突破

一、乘法公式

【公式1】(abc)2a2b2c22ab2bc2ca【公式2】(ab)(a2abb2)a3b3(立方和公式)【公式3】(ab)(a2abb2)a3b3(立方差公式)

例1．（1）、（2022·河南洛阳·九年级期中）下列运算正确的是（ ）A．a2＋a＝2a3

B．（－2a2）3＝－8a5C．（a＋1）（－1＋a）＝a2－1

D．2a2×3a3＝6a6

ab（2）．（2022·北京昌平·二模）若ab1，则代数式b1a2b2的值为（A．2B．1C．1

D．2

【变式训练1-1】．（2022·山东泰安·三模）下列运算中，正确的是（ ）A．

2x3y2x3y1xx112xx2B．

23C．

aa21D．

2x8x3） 【变式训练1-2】．（2022·上海·七年级期末）如图①所示，在边长为a的正方形纸板中挖掉一个边长为b的小正方形（ab），把余下的部分剪成一个矩形（如图②），通过计算两个图形的阴影部分的面积，验证了一个等式，则这个等式是（ ）

222A．(ab)a2abb22(a2b)(ab)aab2bC．

22B．ab(ab)(ab)222(ab)a2abbD．

例2．（江苏省无锡市东林集团2021-2022学年八年级下学期期中数学试题）计算：

a2b2abba(1)

x2x1x1(2)

a24b2322(3)先化简，再求值：a4ab4ab，其中a3，b1．

1x12【变式训练2-1】．（2022·辽宁沈阳·二模）先化简再求值：x1x1x1．其中x2．二、根式

式子a(a0)叫做二次根式，其性质如下：(1) (a)a(a0)(3) ab2(2) a|a|(4) 2ab(a0,b0)baba(a0,b0)54例3．（1）、（2022·湖南常德·一模）A．2B．521122（ ）C．53D．632（2）、（2022·山西临汾·八年级期中）若a2a2a4，则a的取值范围是（ ）

A．a2B．a2C．a4D．2a2【变式训练3-1】．（2022·河南·郑州外国语中学模拟预测）函数______．

yx5x2中自变量x的取值范围是

【变式训练3-2】．（2022·江苏苏州·二模）如图所示的正方形瓷砖是由8个全等的三角形和8个全等的筝形拼成的．已知该瓷砖的边长为100cm，则1个三角形的面积为________cm．

2例4．（黑龙江省牡丹江市2021-2022学年八年级下学期期中数学试题）计算2182127(51)03；

(1)

2(2)(86)(3224)(523)；

1m24m412m1mm，其中m22．(3)先化简，再求值：

22【变式训练4-1】．（2022·河南驻马店·模拟预测）（1）计算

1034；

2xx2422xx4x4（2）化简：三、分式

AA的分子、分母中至少有一个是分式时，就叫做繁分式，繁分式的化简常用以下两种方法：BB(1) 利用除法法则；(2) 利用分式的基本性质．

当分式

例5、（1）（2022·阿克苏·三模）下列运算正确的是（ ）

3b2ab24a9b6A．12b2b23ab3a2B．1122aa3aC．1122a1D．a1a1（2）、（2022·江苏镇江·二模）已知：a与b互为相反数，且

abaabb12，则a2ab1______．

m22m12【变式训练5-1】．（2022·安徽·合肥市第四十五中学七年级阶段练习）若m为整数，则能使m1的值也为整数的m是______．

m2【变式训练5-2】．（2022·河北·石家庄市第四十一中学一模）若式子x4xm不论x取任何数总有意义，

则m的取值范围是（ ）A．m2B．m2C．m4且m0D．m41为ABC的中线，【变式训练5-3】．（2022·云南大理·模拟预测）如图，APAP2为APC3为1的中线，APAP2C的中线……按此规律，APn为APn1C的中线．若ABC的面积为S，则APnC的面积为（ ）

SSSSA．2n2B．2n1C．2nD．2n1【变式训练5-4】．（2020·山东·日照市新营中学七年级期中）（多选题）下列说法中正确的是（ 311abA．计算

333的结果是1

B．如果

cc，那么abC．若ab，则

a2(b)2D．若

ab，则ab）