圆的有关概念和性质
知识点复习：
1．在同圆或等圆中，如果在两条弦、两条弧、两个圆心角中有_____组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
2. 垂径定理：垂直于弦的直径_____________这条弦，并且平分弦所对的两条_______。
3. 垂径定理的逆定理：平分弦（不是__________）的直径__________这条弦，并且平分弦所对的两条___ 4. 圆周角与圆心角的关系：一条弧所对的__________等于这条弧所对的__________的一半。 ___________________所对圆周角相等。在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的______相等。 直径所对的圆周角是________，____________的圆周角所对弦是直径。 5．圆的切线
⑴ 判定：经过直径________，并且与这条直径_____________的直线是圆的切线。 ⑵ 性质：圆的切线垂直于___________的直径。 6．三角形的外心
________________________确定一个圆。经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的_____________，它的圆心叫做三角形的外心；三角形的外心是三角形的_____________________________的交点。 7．三角形的内心
与三角形的三边都_______的圆叫做三角形的________圆，它的圆心叫做三角形的内心；三角形的内心是三角形的三条________________________的交点。
㈡和圆有关的位置关系
8．点和圆的位置关系：有三种。设圆的半径为r，_______________________的距离为d，则⑴点在圆内
_______________；⑵点在圆上_______________；⑶点在圆外_____________________。
9．直线和圆的位置关系：有三种。设圆的半径为r，_______________________的距离为d，则 ⑴直线和圆没有公共点直线和圆_______________d_____r； ⑵直线和圆有惟一公共点直线和圆_______________d_____r； ⑶直线和圆有两个公共点直线和圆_______________d_____r. 10.两圆位置关系：
两圆半径分别为R,r,圆心距为d. 两圆外离________________ 两圆外切________________ 两圆相交________________ 两圆内切________________ 两圆内含________________ ㈢与圆有关的计算：
11. ⑴弧长公式：l＝______________（已知弧所对的圆心角度数为nº，所在圆的半径为R） ⑵设扇形的圆心角度数为nº，所在圆的半径为R，弧长为l，则扇形的周长为C＝____________； 面积S＝_______________＝_______________
圆的练习二
1.如图，AB为⊙O直径，E是
中点，OE交BC于点D，BD=3，AB=10，则AC=_____.
2.如图，⊙O中，若∠AOB的度数为56°，∠ACB=_________.
3.如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，∠BDC=25°，则∠BOC=________.
4.如图，等边ΔABC的三个顶点在⊙O上，BD是直径，则∠BDC=________，∠ACD=________.若CD=10cm，则⊙O的半径长为________.
5.如图所示，在⊙O中，AB是⊙O的直径，∠ACB的角平分线CD交⊙O于D，则∠ABD=______度．
6.如图，在“世界杯”足球比赛中，甲带球向对方球门PQ进攻，当他带球冲到A点时，同样乙已经助攻冲到B点.有两种射门方式：第一种是甲直接射门；第二种是甲将球传给乙，由乙射门.仅从射门角度考虑，应选择
________种射门方式.
三、解答题
1.如图，AB为⊙O的直径，CD为弦，过C、D分别作CN⊥CD、DM•⊥CD，•分别交AB于N、M，请问图中的AN与BM是否相等，说明理由.
2.如图，在⊙O中，C、D是直径AB上两点，且AC=BD，MC⊥AB，ND⊥AB，M、N•在⊙O上.(1)求证：
=
；
成立吗？
(2)若C、D分别为OA、OB中点，则
3.如图，已知AB=AC，∠APC=60° (1)求证：△ABC是等边三角形. (2)若BC=4cm，求⊙O的面积.
一、选择题
下列结论中不正 A.AB⊥CD
D.PO=PD
1.如图，在⊙O中，P是弦AB的中点，CD是过点P的直径，•则确的是( )
B.∠AOB=4∠ACD C.
2.如图，⊙O中，如果=2，那么( ) A.AB=AC C.AB＜ D.AB＞ 3.如图，∠ A.∠4＜∠
B. C. D.
B.AB=2AC 2AC 2AC
1、∠2、∠3、∠4的大小关系是( ) 1＜∠2＜∠3
∠4＜∠1=∠3＜∠2 ∠4＜∠1＜∠3＜＜∠2
∠4＜∠1＜∠3=∠2
4.如图，AD是⊙O的直径，AC是弦，OB⊥AD，若OB=5，且∠CAD=30°，则BC等于( )
A.3 B.3+
D.5
C.5-二、填空题
1.P为⊙O内一点，OP=3cm，⊙O半径为5cm，则经过P点的最短弦长为________；最长弦长为_______.
2.如图，OE、OF分别为⊙O的弦AB、CD的弦心距，如果OE=OF，那么_______(只需写一个正确的结论).
3.如图，AB和DE是⊙O的直径，弦AC∥DE，若弦BE=3，则弦CE=________.
4.半径为2a的⊙O中，弦AB的长为
，则弦AB所对的圆周角的度数是________.
5.如图，AB是⊙O的直径，C、D、E都是圆上的点，则∠1+∠2=_______.
三、解答题
1.如图，⊙O直径AB和弦CD相交于点E，AE=2，EB=6，∠DEB=30°，求弦CD长.
2.如图，∠AOB=90°，C、D是
三等分点，AB分别交OC、OD于点E、F，求证：AE=BF=CD.
3.如图，⊙C经过坐标原点，且与两坐标轴分别交于点A与点B，点A的坐标为(0，4)，M是圆上一点，∠BMO=120°.
(1)求证：AB为⊙C直径.
(2)求⊙C的半径及圆心C的坐标.
答案与解析 基础达标 一、选择题
1.A 2.C 3.D 4.D 5.D 6.D 7.D 8.D 9.D 10.A 二、填空题
2.28° 3.50° 4.60°，30°，10cm 5.45 6.第二 三、解答题
1.AN=BM 理由：过点O作OE⊥CD于点E， CE=DE，且CN∥OE∥DM. ON=OM，∴OA-ON=OB-OM， AN=BM.
连结OM、ON，在Rt△OCM和Rt△ODN中OM=ON， ∵OA=OB，AC=DB，∴OC=OD，∴Rt△OCM≌Rt△ODN， ∴∠AOM=∠BON，∴(2)
1.8 则∴∴
2.(1)
提示：同上，在Rt△OCM中，
.
3.(1)证明：∵∠ABC=∠APC=60°，
，
，同理
又 (2)解：连结 在 设
，∴∠ACB=∠ABC=60°，∴△ABC为等边三角形.
OC，过点O作OD⊥BC，垂足为D， Rt△ODC中，DC=2，∠OCD=30°，
OD=x，则OC=2x，∴4x2-x2=4，∴OC=
⊙O的面积
能力提升 一、选择题
1.D 2.C 3.B 4.D 二、填空题
1.8cm，10cm 2.AB=CD 3.3 4.120°或60° 5.90° 三、解答题
过O作OF⊥CD于F，如右图所示 ∵AE=2，EB=6，∴OE=2，
1.
∴OF=1，EF=，连结OD，
，∴CD=2
.
在Rt△ODF中，42=12+DF2，DF=
2. 连结AC、BD，∵C、D是
三等分点，
∴AC=CD=DB，且∠AOC=
×90°=30°，
∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA=75°，
又∠AEC=∠OAE+∠AOE=45°+30°=75°， ∴AE=AC，
同理可证BF=BD，∴AE=BF=CD.
3. (1)⊙C经过坐标原点O，且A、B为⊙C与坐标轴的交点，有∠AOB=90° ∴AB为直径；
的比为1：2，∴它们所对的圆周角之比为∠BAO:∠BMO=1：2
(2)∵∠BMO=120°，
∴∠BAO=60°，∴在Rt△ABO中，AB=2AO=8，∴⊙C的半径为4； 作
∴AE=OE，BF=OF
在Rt△ABO中，AO=4，OB=
，垂足分别为点E、F
∴
∴圆心C的坐标为
.
综合探究
1.（2，0）提示：如图，作线段AB、BC的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为圆心.
2.(1)AC、AD在AB的同旁，如右图所示，作 ∵AB=16，AC=8，AD=8
，
，垂足分别为点E、F
∴
在Rt
△AOE中，
∴∠CAB=60°，
同理可得∠DAB=30°， ∴∠DAC=30°.
(2)AC、AD在AB的异旁，同理可得：∠DAC=60°+30°=90°
