43多项式方法求特征值问题

4．3多项式方法求特征值问题

4.3.1 F-L方法求多项式系数

我们知道，求n阶方阵A的特征值就是求代数方程

()|AI|0〔〕

的根。()称为A的特征多项式。上式展开为

()np1n1p2n2.....pn〔〕

其中p1,p2,...pn为多项式()的系数。 从理论上讲，求A的特征值可分为两步：

第一步直接展开行列式|AI|求出多项式()；

第二步求代数方程(x)0的根，即特征值。

对于低阶矩阵，这种方法是可行的。但对于高阶矩阵，计算量那么很大，这种方法是不适用的。这里我们介绍用F-L〔Faddeev-Leverrier〕方法求特征方程〔〕中多项式()的系数。由于代数方程求根问题在第2章中已经介绍，所以本节中解决特征值问题的关键是确定矩阵A的特征多项式()，所以称这种方法为多项式方法求特征值问题。 记矩阵A=

(aij)nn的对角线元素之和为

trAa11a22...ann〔〕

利用递归的概念定义以下n个矩阵Bk(k1,2,....,n):

p1trB11B1A,ptrB22BA(BpI),21121p3trB33BA(BpI),3221..........pktrBk.....kBkA(Bk1pk1I),......1..........ptrBBnA(Bn1pn1I),nnn〔〕

可以证明,()式中pk,k1,2,...,n,即是所求A的特征多项式()的各系数。用〔〕式求矩

阵的特征多项式系数的方法称为F-L方法。相应特征方程为：

(1)n(np1n1p2n2.....pn)0〔〕

而且可证矩阵A的逆矩阵可表示为

A11(Bn1pn1I)pn ()

例1 求矩阵

324A202423

word版

.

的特征值与A. 解用F-L方法求得

1324B1A202423p1trB161124B2A(B1p1I)28242111p2trB2152800B3A(B2p2I)0800081p3trB383所以A的特征方程为 此方程的根,即特征值为

(1)3(362158)0

18,21,3112111A(B2p2I)p3412从例1中的计算结果可知B3的Bn总有

114271841142

p3I.Faddeev曾经证明: 对n阶矩阵A,按()式计算出

BnpnI ()

特征向量求法

当矩阵A的特征向量确定以后,将这些特征值逐个代入齐次线性程组(AI)x=0中,由于系数矩阵AI的秩小于矩阵AI的阶数n,因此虽然有n个方程n个未知数,但实际上是解有n个未知数的相互的r个方程(r在计算机中解这样的齐次线性程组,可用高斯-假设当消去法,以便把一组n个方程简化为等价的一组n-1个方程的方程组.然而,用高斯-假设当消去法简化一个齐次线性程组时,方程之间不都是的,在消去过程中系数为零的情况较多.必需交换方程中未知数的次序,以防止主元素位置上为零的情况.因此,为了提高精度和防止零元素的可能性,我们总是用主元素措施把绝对值最大的系数放于主元素位置. 例如,假设矩阵A为

word版

.

其特征方程为

422A532241 452234221=0

展开后为 故特征值分别为

(1)(2)(5)0

11,22,35

下面求特征向量，将1代入方程组(AI)x0中，得

3x12x22x305x12x22x302x4x0x0123〔〕

以-5为主元素,交换上式第一与第二个方程得

5x12x22x303x12x22x302x4x0x0123 ()

用高斯-假设当消去法消去-5所在列中的x1,并把主元素所在行调到最后,得

10xx1525x3010xxx30125522xx1525x30 ()

再以16/5为主元素,消去它所在列中的x2,并把主元素所在的行调到最后,得

0x10x20x301x10x2x30210xxx30124 ()

这就是用高斯假设当消去法实现把一组三个方程简化为等价的一组两个方程的情形.因为这个等价的方程组包含两个的方程,而有三个未知数，所以只要假定其中一个值,那么其它两个值就可以通过两个方程解出.比方,令x31,那么得到矩阵A的对应于11的一个特征向量为

word版

.

对另外两个特征值的对应特征向量求法与上述对11的推导过程一样.

计算机中实现求解这样的齐次线性方程组的消去步骤是,用第3章讨论过的高斯-假设当消去法的公式,方程组()的系数矩阵经过第一次消去后的矩阵B为

12141 16516B525454525 ()

以矩阵为方程组()的系数矩阵,其中省略了有0和1元素的第一列.

在进展第二次消元之前,要应用完全主元素措施对前两行进展最大主元素选择,然后再进展必要的行或列交换.每完成一次消元过程,总省略只有0和1元素的第一列,并且计算机仅寻找矩阵的前n-k行中的最大主元素,其中k是消元过程应用的次数.对()式再进展一次消元过程,那么得到列矩阵

01B1214 ()

此矩阵是对应于方程组()的系数矩阵,不过省略了含0和1元素的前两列.一般来说,最后矩阵列的数目等于矩阵AI的阶数和秩的差值.

由于方程组()有三个未知数,两个方程,所以计算机必须任意给定一个未知数的值,以便可以从其他两个方程中解出另外两个未知数.为方便，在计算机决定特征向量时,要恰当地设定任意选取的未知数的值.例如,令x31,由方程组知道,其他两个分量的值正好能从含

x3的非零系数项得出.为此,从计算机所存储的最终矩阵中,令B1最上面的0元素为-1,并把它

11(,,1)T顺次调到最下面第三行的位置上,就得到所求的特征向量24.

在工程问题中,从特征方程所求出的特征值,少数情形也有一样的.一般地,当一个特征方程有k重根时,矩阵AI的秩可能比其阶数少1,或2,或3,…,或k,当然对应于的线性无关的特征向量的个数也就是1,或2,或3,…,或k,下面通过一个特征值对应两个线性无关特征向量的例子进一步说明计算机求特征向量的方法. 设矩阵A为

其特征方程为 word版

324A202423

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324242023展开后得 所以特征值为

(1)2(8)0

121,38

为了决定1的特征向量,将1代入方程组(AI)x=0,得

424x1212x02424x3 ()

应用一次高斯-假设当消去法,得

0x10000x00211/21x3 ()

写成矩阵形式,()式的系数矩阵为

00B001/21 ()

因为方程组()的系数矩阵的秩为1,它比矩阵阶数少2,因此对应于1有两个线性无关的特征向量,必须给两个未知数任意规定值,才能确定这两个线性无关的特征向量,由〔〕式可看出,一般总是选择x21,x30求一个特征向量;选择x20,x31求另一个特征向量;这样有两个线性无关的特征向量

1/210101, 

计算机中求两个线性无关的特征向量的方法是,在()式的B中,把第一列中第一个0元素用-1代替,第二列中第二个0元素也用-1代替,然后把第一、第二行顺次调到最下面一行的位置上，第三行自然就成了第一行，如此调换后矩阵的第一列和第二列就是所求的两个线性无关的特征向量。对应于1的全部特征向量为

1/21k0k11201

其中k1与k2是任意常数，且不同时为零。

为了说明列交换的必要性，防止主元素为零，再举一个例子，设矩阵A为

其特征方程为 word版

2812A144010

.

特征值为

(2)(1)0

12,20,31

对应于2的特征向量可由解以下方程组而求得

4812x11x0242010x3 ()

用一次高斯-假设当消去法，得

001x1001x02123x3 ()

假设不进展列交换，那么下一个消元过程只能在第一行的第二个元素与第二行的第二个元素中找最大主元素，而它们都是零，我们不得不对()式进展列交换，即交换未知数之间的次序，之后再进展消去过程.

对()式进展列交换，即把绝对值最大系数放在主元素位置，显然是第一列与第三列的交换，交换后成为

1284x34x0212010x1 ()

其中未知数列矩阵中x1与x3也进展了交换，这样才能保证()式与式等价，对式进展一次高斯-假设当消去法，得

02/31/3x302/3x01/321/312/3x1 ()

再进展一次消去过程，得

() 在计算机中计算，剩下一个最终的列矩阵

000x3100x02011/2x10B01/2 ()

将()式中的列矩阵B中第一个0元素用-1代替，并随即调到最下面一行，便得到

〔〕

这就是对应于方程组()的解，在计算机程序中应把原来进展列交换的列号次序记住，重新把式中各分量排列一下，即交换第一行和第三行的元素，就得到对应于2的特征向量

01/21word版

.

对应于的全部的特征向量为

11/20 k 其中k为不等于零的任意常数.

11/20word版