2014年普通高等学校招生全国统一考试（新课标卷Ⅱ）
理科数学
第Ⅰ卷
一 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的．
1．设集合M＝{0，1，2}，N＝{x｜x2－3x＋2≤0}，则M∩N＝（ ）
A．{1} A．－5
B．{2} B．5
C．{0，1} C．－4＋i
D．{1，2} D．－4－i
2．设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝2＋i，则z1z2＝（ ） 3．设向量a，b满足｜a＋b｜＝10，｜a－b｜＝6，则a·b＝（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5 1
4．钝角三角形ABC的面积是，AB＝1，BC＝2，则AC＝（ ）
2
A．5 B．5 C．2 D．1
5．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率
是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ ） A．0.8
B．0.75
C．0.6
D．0.45
6．如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm）,图中粗线画出的是某零件的三视图，该零
件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ） 17A． 27A．4
8．设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0，0)处的切线方程为y＝2x，则a＝（ ）
A．0
B．1 C．2 D．3
（第6题图）
k＝k＋1 （第7题图）
S＝M＋S 结 束 MxM＝ k输出S
5 B．
9 B．5
10
C．
27
C．6
1 D． 3
D．7 开 始 7．执行右图程序框图，如果输入的x，t均为2，则输出的S＝（ ）
输入x，t M＝1，S＝3 k＝1 是 k ≤t 否 x＋y－7≤0
9．设x，y满足约束条件x－3y＋1≤0，则z＝2x－y的最大值为（ ）
3x－y－5≥0
A．10
B．8 C．3 D．2
10．设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标
原点，则△OAB的面积为（ ） A．
33 4
93 B．
8
C．
639 D． 324
11．直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，
则BM与AN所成的角的余弦值为（ ） A．
12302
B． C． D． 105102
πx
12．设函数f(x)＝3sin，若存在f(x)的极值点x0满足x02＋[f(x0)] 2＜m2，则m的取值范围是（ ）
m
A．(－∞，－6)∪(6，＋∞) B．(－∞，－4)∪(4，＋∞) C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第13题~第21题为必考题，每个试题考生必须做答.第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答． 二 填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．(x＋a)10的展开式中，x7的系数为15，则a＝______．(用数字填写答案) 14．函数f(x)＝sin(x＋2φ)－2sinφcos(x＋φ)的最大值为______．
15．已知偶函数f(x)在[0，﹢∞)单调递减，f(2)＝0．若f(x－1)＞0，则x的取值范围是______． 16．设点M(x0，1)，若在圆O：x2＋y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°，则x0的取值范围是______．
三 解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17．（本小题满分12分）
已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋1．
1
（Ⅰ）证明{an＋}是等比数列，并求{an}的通项公式；
21113
（Ⅱ）证明：＋＋……＋＜．
a1a2an2
18．（本小题满分12分）
如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD中点． （Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；
（Ⅱ）设二面角D-AE-C为60°，AP＝1，AD＝3，求三棱锥E-ACD的体积．
19．（本小题满分12分）
某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y（单位：千元）的数据如下表：
年份 年份代号t 人均纯收入y 2007 1 2.9 2008 2 3.3 2009 3 3.6 2010 4 4.4 2011 5 4.8 2012 6 5.2 2013 7 5.9 B
（第18题图） A C D P
E
（Ⅰ）求y关于t的线性回归方程；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变
化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入． 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
ˉ
) (t－ˉt)( y－y
i
i
n
ˆi＝1
b＝n
ˆˉˆˉ
，a＝y－bt．
i
2
(t－ˉt)
i＝1
20．（本小题满分12分）
x2y2
设F1，F2分别是椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的左，右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂
ab直．直线MF1与C的另一个交点为N． 3
（Ⅰ）若直线MN的斜率为，求C的离心率；
4
（Ⅱ）若直线MN在y轴上的截距为2，且｜MN｜＝5｜F1N｜，求a，b．
21．（本小题满分12分）
已知函数f(x)＝ex－e-x－2x． （Ⅰ）讨论f(x)的单调性；
（Ⅱ）设g(x)＝f(2x)－4b f(x)，当x＞0时，g(x)＞0，求b的最大值． （Ⅲ）已知1.4142＜2＜1.4143，估计ln2的近似值（精确到0.001）．
请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号．
22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于B，C，PC＝2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E．证明：
（Ⅰ）BE＝EC； （Ⅱ）AD·DE＝2PB2．
23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标π
方程为ρ＝2cosθ，θ∈[0，]．
2（Ⅰ）求C的参数方程；
（Ⅱ）设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y＝3x＋2垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D的坐标．
24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
1
设函数f(x)＝｜x＋｜＋｜x－a｜（a＞0）
a（Ⅰ）证明：f(x)≥2；
（Ⅱ）若f(3)＜5，求a的取值范围．
P B D C E （第22题图）
A O
