商人安全过河问题

讨论资金积累、国民收入与人口增长的关系

班级：2009级数学与应用数学

黄全（组长）: P092314746

邱亚彪: P091712712 谢志成:P091712679 央 金:P091715381 罗国庭:P091712739

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讨论资金积累、国民收入与人口增长的关系

摘 要

如何保证人口增长对国民收入影响的正效应和国民平均收入持续性增长，一直是全国人民所共同关注的问题。本文对资金积累、国民收入和人口增长三者之间的关系进行讨论，通过导数结合三者之间存在的基本规律，建立相应的微分方程，利用微分方程法给出方程，由matlab解得资金积累、国民收入与人口增长的关系。通过掌握该关系，确定资金积累的增长率大于人口增长率时国民收入才会增长，从而更好地调整人口出身率、控制人口的数量和人口质量，保证我国人口增长与国民收入增长之间的适当的比例关系，使得国民平均持续性增长，促进社会经济的迅速发展，提高人民的生活质量，为整个社会的长远战略需求做贡献。

关键字：资金积累 状态转移律 图解法 微分方程 决策

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一、 问题重述

讨论资金积累、国民收入与人口增长的关系

（1）若国民平均收入x与按人口平均资金积累y成正比，说明仅当总资金积累

的相对增长率k大于人口的相对增长率r时，国民平均收入才是增长的.

（2）作出k(x)和r(x)的示意图，说明二曲线交点是平衡点，讨论它的稳定性。 （3）分析人口激增会引起什么后果

二、符号说明

x1:

t时刻总资金累积量，x2：t 时刻人口数量，

，k：总资金的相对增长率

x3：国民平均收入量

r：人口的相对增长率

三 、模型的假设

在一定时期后,增长的人口数量为:：x2rx2；

总资金的增长量为：x1kx1 ；

四、问题的分析

在社会主义发展的初级阶段，国民收入是指一定时期（通常为1年）内，物质生产部门劳动者新创造的价值,它是物质资料生产进一步发展和人口再生产条件改善的物质基础。在其他条件已定的情况下,国民收入总量愈多,人均消费基金和积累基金也越多，从而有利于人们生活的改善和技术装备水平的提高，也有利于人口数量的控制和人口质量的提高。人口增长从 3个方面影响国民收入的增减：

① 人口或劳动者数量的多少；

② 每个劳动者技术装备水平的高低； ③ 劳动者节省消耗和管理才能的大小。

国民收入又分为资金的累积和消费，累积资金=国民收入错误！未找到引用源。消费资金，而消费资金=基本消费资金错误！未找到引用源。人口发展速度。因此， 为增加人均国民收入，增强一国的经济实力和提高人民生活水平，要在大力发展经济、增加生产的基础上合理地调节人口增长。

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人均国民收入的增长速度是反映人口增长和国民收入增长相互关系的最主要的综合指标。人均国民收入的增长表明人口增长对国民收入的影响是正效应。为了保证人口增长对国民收入影响的正效应，必须使人口增长与国民收入增长保持一定的比例关系。这种比例关系不能是等速的，必须是人口增长速度大大低于国民收入增长速度。其结果是一方面积累资金增加，另一方面需要安排就业的人数却可减少，这就必然有利于提高生产技术构成，提高劳动生产率，推动经济的发展，增加国民收入总量。人口增长过慢，劳动力资源短缺，也会导致一些生产资料闲置，某些自然资源得不到应有的开发利用；尽管人均技术装备水平可能有所提高，每个劳动者为社会所做的贡献有所增加，但由于整个社会生产资料和自然资源利用不充分，国民收入总量的增长将受到相当的影响。

人口增长和国民收入增长的关系决定人均国民收入指标的变化，人均国民收入是综合地反映一国经济发展水平、经济实力、人民生活水平的重要标志。它与人口增长成反比，与国民收入增长成正比。

资金增长和人口增长都满足指数增长，又题意可知：国民平均收入与按人口平均资金累积成正比，不妨设次比例系数为b。

2010年第六次全国人口普查知我国的人口为1339724852亿，总资金累积量（国内生产总值）为397983亿元，人口增长率为0.57%，总资金（国内生产总值）增长率为10.3%。a的值约为1.

五、模型建立

又由题意得:

X（t）b*t（其中3b>0,且Y(t)表示人口平均资金累积） (1)

由题意得出:

Y(t)X1(t)/X2(t) [人口平均资金累积=总资金累积/总人口] (2) 把(2)式代入(1)式得：

X（t）b[X1(t)/X2(t)] 3 (3)

对(3)式两边同时求微分得:

dX3(t)/dtb*(kr)*X3(t) (4)

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所以由(4)式可知当k>r时，国民收入dX3(t)/dt0，x(t)增加，即国民平均收入增加 。

综上给出微分方程组如下：

dx1dtdx2dtdx3dtkx1；

rx2；

b(kr)x3

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六、模型求解：

先建立编程的基本过程，然后考虑模型，再编写程序。 然后就可以得出结果了，建立 M文件renkou.m如下： function dx=renkou(t,x) dx=zeros(3,1);

k=0.103;r=0.0057;a=1;x(3)=a*x(1)/x(2); dx(1)=k*x(1);dx(2)=r*x(2);dx(3)=a*(k-r)*x(3); 命令窗口中主程序jieweifenfangcheng.m如下：

[t,x]=ode45('renkou',[2010 2050],[397983 1339743852 29705.902319005]); figure(1),Subplot(1,3,1)=plot(t,x(:,1),'k*') %作出总资金累积量与时间的图像 xlabel('时间[年]'),ylabel('总资金累积量[亿元]')

figure(2),Subplot(1,3,2)=plot(t,x(:,2),'m-') %作出人口数量与时间的图像 hold on

xlabel('时间[年]'),ylabel('总人口数')

figure(3),Subplot(1,2,2)=plot(t,x(:,3),'r+') %作出国民平均收入与时间的图像 hold on

xlabel('时间[年]'),ylabel('国民平均收入[亿元]')

七、结果分析

运行结果为dx = 1.0e+006 * 0.0410 7.6365 0.0000

dx = 1.0e+006 * 0.0426 7.6535 0.0000

dx = 1.0e+006 * 0.0435 7.6621

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0.0000

dx = 1.0e+006 * 0.0482 7.7048 0.0000

dx = 1.0e+006 * 0.0491 7.7124 0.0000 dx =

1.0e+006 * 0.0502 7.7219 0.0000 dx =1.0e+006 * 0.0501 7.7219 0.0000

dx = 1.0e+006 * 0.0542 7.7571 0.0000

dx = 1.0e+006 * 0.0567 7.7749 0.0000

dx = 1.0e+006 * 0.0699 7.81 0.0000

dx = 1.0e+006 * 0.0730 7.8801 0.0000

dx = 1.0e+006 * 0.0763 7.9000 0.0000

dx = 1.0e+006 * 0.0757 7.9000 0.0000 dx =

1.0e+006 *

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0.0819 7.9360 0.0000

dx = 1.0e+006 * 0.0856 7.9542 0.0000

dx = 1.0e+006 * 0.1056 8.0454 0.0000

dx = 1.0e+006 * 0.1102 8.0618 0.0000

dx = 1.0e+006 * 0.1152 8.0822 0.0000

dx = 1.0e+006 * 0.1142 8.0822 0.0000

dx = 1.0e+006 * 0.1237 8.1191 0.0000

dx = 1.0e+006 * 0.1292 8.1377 0.0000

dx = 1.0e+006 * 0.1594 8.2310 0.0000 dx =1.0e+006 * 0.16 8.2477 0.0000

dx = 1.0e+006 * 0.1739 8.2686 0.0000

dx = 1.0e+006 *

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0.1725 8.2686 0.0000

dx = 1.0e+006 * 0.1867 8.3063 0.0000

dx = 1.0e+006 * 0.1951 8.3254 0.0000

dx = 1.0e+006 * 0.2406 8.4208 0.0000

dx = 1.0e+006 * 0.2512 8.4379 0.0000

dx = 1.0e+006 * 0.2626 8.4593 0.0000 dx =

1.0e+006 * 0.2604 8.4593 0.0000

dx = 1.0e+006 * 0.2819 8.4979 0.0000 dx =

1.0e+006 * 0.2946 8.5173 0.0000

dx = 1.0e+006 * 0.3633 8.6150 0.0000

dx = 1.0e+006 * 0.3793 8.6325

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0.0000 dx =1.0e+006 * 0.39 8.6544 0.0000 dx =

1.0e+006 * 0.3932

8.6544 0.0000 dx =

1.0e+006 * 0.4256 8.6938 0.0000

dx = 1.0e+006 * 0.4448 8.7138 0.0000 dx =

1.0e+006 * 0.5486 8.8137 0.0000

dx = 1.0e+006 * 0.5726 8.8316 0.0000 dx =

1.0e+006 * 0.5986 8.8540 0.0000

dx = 1.0e+006 * 0.5937 8.8540 0.0000

dx = 1.0e+006 * 0.26 8.43 0.0000

dx = 1.0e+006 * 0.6716 8.9147

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0.0000

dx = 1.0e+006 * 0.8282 9.0169 0.0000

dx = 1.0e+006 * 0.86 9.0353 0.0000

dx = 1.0e+006 * 0.9037 9.0582 0.0000

dx = 1.0e+006 * 0. 9.0582 0.0000

dx = 1.0e+006 * 0.9702 9.0995 0.0000

dx = 1.0e+006 * 1.0140 9.1203 0.0000

dx = 1.0e+006 * 1.2505 9.2249 0.0000 dx =1.0e+006 * 1.3054 9.2436 0.0000

dx = 1.0e+006 * 1.35 9.2671 0.0000

dx = 1.0e+006 * 1.3534 9.2671 0.0000

dx = 1.0e+006 * 1.49 9.3093

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0.0000

dx = 1.0e+006 * 1.5310 9.3307 0.0000

dx = 1.0e+006 * 1.8881 9.4376 0.0000

dx = 1.0e+006 * 1.9709 9.4568 0.0000

dx = 1.0e+006 * 2.0601 9.4808 0.0000

dx = 1.0e+006 * 2.0433 9.4808 0.0000

dx = 1.0e+006 * 2.1296 9.5029 0.0000

dx = 1.0e+006 * 2.1768 9.5140 0.0000

dx = 1.0e+006 * 2.4205 9.5698 0.0000

dx = 1.0e+006 * 2.4691 9.5797 0.0000

dx = 1.0e+006 * 2.5272 9.5921 0.0000

dx = 1.0e+006 * 2.5235 9.5921

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0.0000

Subplot(:,:,1) = 0 0 154.0046 Subplot(:,:,2) = 0 478.0011 477.0011 Subplot(:,:,1) = 0 0 154.0046 Subplot(:,:,2) = 0 478.0011 479.0011 Subplot(:,:,1) = 0 0 154.0046 Subplot(:,:,2) = 0 480.0011 479.0011 图1

2.5x 1072总资金累积量[亿元]1.510.5020102015202020252030时间[年]2035204020452050资金总量与时间时间之间的关系

1）综上所述得：国民平均收入量满足指数增长，其增长率（k-r）,故总资金积累的相对增长率k大于人口的相对增长率r时，国民平均收入才是增长的。

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图2

1.71.651.61.55x 109总人口数1.51.451.41.351.320102015202020252030时间[年]2035204020452050

图3

总人口与时间的关系

2.97062.97062.9706x 104国民平均收入[亿元]2.97062.97062.97062.97062.97062.970620102015202020252030时间[年]2035204020452050

国民平均收入与时间之间的关系上图

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分析图（2）和图（3），在两曲线的交点处

不妨设交点处对应的人口数为x20，对应的国民平均收入为x30,则有：

rx200 ，limx2(t)x20

t0b（k-r）x30，limx3(t)x3t0

由此，两曲线的交点是他们的平衡点，且该平衡点是稳定的。

综上可知：

t6N(t)(1e)10y(t)X(t) N(t)y(tt)y(t)y(t)kdX(tt)lim,t0t0dttN(t)rk大于r时，国民收入才会增加。

当人口激增时，在一定程度上，人口资金积累和人均国民收入相对减少，人们生活水平就会下降。因此，国家应该实施宏观，以控制人口增长，以保证人们的生活水平进一步提高，使人民达到小康水平。

当

七、模型的评价

１、缺点：上述模型的分析及建立，主要是依据于姜起源版《数学模型》一书中的“人口增长模型的分析及求解，对问题的思考具有一定的局限性。

２、优点：此模型的建立简单易于实现，并且可以更好的借用计算机中的matlab语言来实现，所以此模型具有较大的可操作性，便于理解。

八、参考文献

[1]姜启源.《数学建模》(第三版)．高等教育出版社，2000．

[2]傅清祥.《数据结构与算法》．王晓东．电子工业出版社 1998． [3]韩中庚.《数学建模方法及其应用》.北京高等教育出版社. [4].《资金积累、国民收入与人口增长的关系》

[5]赵静，但琦.数学建模与数学实验（第三版）[M].高等教育出版社,2008. [6]周义仓，靳祯，秦军林. 常微分方程及其应用[M]. 北京：科学出版社，2003.