高一习题 数学选修4-5-1

选修4-5 第1节

[知能演练]

一、选择题

1．不等式1<|x＋1|<3的解集为

( )

A．(0,2) B．(－2,0)∪(2,4) C．(－4,0)

D．(－4，－2)∪(0,2)

解法一：原不等式等价于

x＋1≥01或x＋1<0x≥－1



－3或x<－1



⇒0－4解法二：原不等式等价于－32．已知a，b∈R，ab>0，则下列不等式中不正确．．．

的是 ( A．|a＋b|≥a－b B．2ab≤|a＋b| C．|a＋b|<|a|＋|b| D．|baa＋b

|≥2

解析：当ab>0时，|a＋b|＝|a|＋|b|. 答案：C

3．如果存在实数x，使cosα＝x2＋1

2x

成立，那么实数x的集合是

( A．{－1,1} B．{x|x<0或x＝1} C．{x|x>0或x＝－1} D．{x|x≤－1或x≥1}

解析：由|cosα|≤1，所以|x1

2＋2x

|≤1，

)

)

x1|x|1

又|＋|＝＋≥1， 22x22|x||x|1

所以＋＝1，

22|x|又当且仅当|x|＝1时成立， 即x＝±1. 答案：A

11

4．已知不等式|2x－t|＋t－1<0的解集为(－，)，则t＝

22

( )

A．0 C．2

B．1 D．3

解析：∵|2x－t|<1－t，∴t－1<2x－t<1－t， 11

即2t－1<2x<1，t－22答案：A 二、填空题

5．设a，b，c为正数，且a＋b＋c＝1，则ab2c＋abc2的最大值为________． 1

解析：ab2c＋abc2＝abc(b＋c)＝(3a)(2b)(2c)

1213a＋b＋c427

(b＋c)≤[]＝. 124102413

当且仅当a＝，b＝c＝时取等号．

48答案：

27 1024

6．如果关于x的不等式|x－2|＋|x－3|≥a的解集为R，则a的取值范围是________． 解析：|x－2|＋|x－3|≥|(x－2)－(x－3)|＝1，由题意易得a≤1. 答案：(－∞，1] 三、解答题

7．若logxy＝－2，求x＋y的最小值． 1

解：由logxy＝－2得y＝2，

x

3xx131331xx1x13而x＋y＝x＋2＝＋＋2≥3··2＝3＝2，当且仅当＝2即x＝2时取等

x22x22x422x33号．所以x＋y的最小值为2.

2

8．已知函数f(x)＝|x－8|－|x－4|.

(1)作出函数y＝f(x)的图象； (2)解不等式|x－8|－|x－4|>2. 4， x≤4

解：(1)f(x)＝－2x＋12， 4－4， x>8图象如下图所示：

(2)不等式|x－8|－|x－4|>2，即f(x)>2， 由－2x＋12＝2得x＝5.

由函数f(x)的图象可知，原不等式的解集为(－∞，5)．

[高考·模拟·预测]

1．已知|x－a|( )

A．1

B．2

C．3

D．4

解析：由|x－a|a－b＝2

由已知得，解得a＝3，b＝1.

a＋b＝4

答案：C

2．已知关于x的不等式|x－2|－|x－5|－k>0的解集为R，则实数k的范围是________． 解析：∵||x－2|－|x－5||≤|(x－2)－(x－5)|＝3， ∴－3≤|x－2|－|x－5|≤3，

∴|x－2|－|x－5|>k的解集是R时，k<－3. 答案：k<－3

|x＋1|

3．不等式≥1的实数解为________．

|x＋2|

|x＋1|≥|x＋2|，|x＋1|

解析：≥1⇔

|x＋2|x＋2≠0

22

x＋1≥x＋2⇔ x＋2≠0，

x＋1＋x＋2x＋1－x－2≥0，即 x≠－2，

3

解得x≤－且x≠－2.

2

3

答案：(－∞，－2)∪(－2，－]

2

4．如下图，O为数轴的原点，A、B、M为数轴上三点，C为线段OM上的动点．设x表示C与原点的距离，y表示C到A距离的4倍与C到B距离的6倍的和．

(1)将y表示为x的函数；

(2)要使y的值不超过70，x应该在什么范围内取值？ 解：(1)y＝4|x－10|＋6|x－20|,0≤x≤30. (2)依题意，x满足

4|x－10|＋6|x－20|≤70， 0≤x≤30.

解不等式组，其解集为[9,23]． 所以x∈[9,23]．

5．设函数f(x)＝|x－1|＋|x－a|. (1)若a＝－1，解不等式f(x)≥3；

(2)如果∀x∈R，f(x)≥2，求a的取值范围． 解：(1)当a＝－1时，f(x)＝|x－1|＋|x＋1|， 由f(x)≥3得|x－1|＋|x＋1|≥3.

①x≤－1时，不等式化为1－x－1－x≥3， 即－2x≥3.

x≤－1，3不等式组的解集为(－∞，－]．

2fx≥3

②当－1－1不等式组的解集为Ø.

fx≥3

③当x>1时，不等式化为 x－1＋x＋1≥3，即2x≥3.

x>1，3

不等式组的解集为[，＋∞)．

2fx≥3

33

综上得，f(x)≥3的解集为(－∞，－]∪[，＋∞)．

22(2)若a＝1，f(x)＝2|x－1|，不满足题设条件． 若a<1，

－2x＋a＋1， x≤a，

f(x)＝1－a， a2x－a＋1， x≥1.f(x)的最小值为1－a. 若a>1，

－2x＋a＋1， x≤1，

f(x)＝a－1， 12x－a＋1， x≥a.f(x)的最小值为a－1.

所以∀x∈R，f(x)≥2的充要条件是|a－1|≥2，从而a的取值范围为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．