2022年北师大版《二次函数》单元检测题附答案 (1)

第二章 单元检测卷

一、选择题〔每题3分；共33分〕

，当y<0时，自变量x的取值范围是〔 〕

A. -1＜x＜3 B. x＜-1 C. x＞3 D. x＜-1或x＞3

2.如图，双曲线y=

经过抛物线y=ax2+bx〔a≠0〕的顶点〔﹣1，m〕〔m＞0〕，那么以下结

论中，正确的选项是〔 〕

A. a+b=k B. 2a+b=0 C. b＜k＜0 D. k＜a＜0

3.将抛物线y=〔x﹣1〕2+4先向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的顶点坐标为〔 〕

A. 〔5，4〕 B. 〔1，4〕 C. 〔1，1〕 D. 〔5，1〕

4.二次函数y=x2﹣x+a〔a＞0〕，当自变量x取m时，其相应的函数值y＜0，那么以下结论中正确的选项是〔 〕

A. m﹣1的函数值小于0 B. m﹣1的函数值大于0

C. m﹣1的函数值等于0 D. m﹣1的函数值与0的大小关系不确定 5.抛物线y=x2+bx+c图象向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图象的解析式为y=x2﹣2x﹣3，那么b、c的值为〔 〕

A. b=2，c=2 B. b=2，c=0 C. b=﹣2，c=﹣1 D. b=﹣3，c=2 6.抛物线y=(x+2)2+3的顶点坐标是( )

A. 〔－2，3〕 B. 〔2，3〕 C. 〔－2，－3〕 D. 〔2，－3〕

7.在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2-4先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线解析式为〔 〕

A. y=〔x+2〕2+2 B. y=〔x-2〕2-2 C. y=〔x-2〕2+2 D. y=〔x+2〕2-2 8.二次函数y=ax2+bx+c〔a≠0〕的局部图象如图③所示，图象过点〔﹣1，0〕，对称轴为直线x=2，那么下 列结论中正确的个数有〔 〕 ①4a+b=0； ②9a+3b+c＜0；

③假设点A〔﹣3，y1〕，点B〔﹣ y2；

④假设方程a〔x+1〕〔x﹣5〕=﹣3的两根为x1和x2 ， 且x1＜x2 ， 那么x1＜﹣1＜5＜x2 ．

，y2〕，点C〔5，y3〕在该函数图象上，那么y1＜y3＜

A. 1

个

B. 2

个

C. 3

个 D. 4个

9.生产季节性产品的企业，当它的产品无利润时就会及时停产，现有一生产季节性产品的企业，一年中获得利润y与月份n之间的函数关系式是y=-n2+15n-36，那么该企业一年中应停产的月份是〔 〕

A. 1月，2月 B. 1月，2月，3月 C. 3月，12月 D. 1月，2月，3月，12月

10.将抛物线y=x2﹣4x﹣4向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的函数表达式为〔 〕

A. y=〔x+1〕2﹣13 B. y=〔x﹣5〕2﹣3 C. y=〔x﹣5〕2﹣13 D. y=〔x+1〕2﹣3

11.如下图，抛物线 那么

的值为〔 〕

的对称轴是直线

，且图像经过点 〔3，0〕，

A. 0

1 C. 1 D. 2

B.

－

二、填空题〔共10题；共30分〕

12.二次函数y=﹣

x2﹣2x+1，当x________时，y随x的增大而增大．

13.〔2021•扬州〕如图，抛物线y=ax2+bx+c〔a＞0〕的对称轴是过点〔1，0〕且平行于y轴的直线，假设点P〔4，0〕在该抛物线上，那么4a﹣2b+c的值为________．

14.农机厂第一个月水泵的产量为50〔台〕，第三个月的产量y〔台〕与月平均增长率x之间的关系表示为________ ．

15.如果抛物线y=ax2﹣2ax+1经过点A〔﹣1，7〕、B〔x，7〕，那么x=________．

2+bx+c=0〔a≠0，a，b，c

为常数〕的一个解x的取值范围是 ________

x ax2+bx+c 17.如图是一次函数y=kx+b的图象的大致位置，试判断关于x的一元二次方程x2﹣2x+kb+1=0的根的判别式△________ 0〔填：“＞〞或“=〞或“＜〞〕．

18.如图，抛物线

与 轴的一个交点A在点〔－2，0〕和〔1，0〕之间〔包

括这两点〕，顶点C是矩形DEFG上〔包括边界和内部〕的一个动点，那么 的取值范围是

________．

19.形状与抛物线y=2x2﹣3x+1的图象形状相同，但开口方向不同，顶点坐标是〔0，﹣5〕的抛物线的关系式为________．

20.二次函数y=ax2+bx+c中，函数y与自变量x的局部对应值如下表：那么当2＜y＜5时，x的取值范围是________ x … ﹣1 0 1 2 3 … y … 10 5 2 1 2 … 21.假设二次函数y=2x2﹣x﹣m与x轴有两个交点，那么m的取值范围是________ .

三、解答题〔共4题；共37分〕

22.使得函数值为0的自变量的值称为函数的零点．例如，对于函数y=x﹣1，令y=0可得x=1，我们说1是函数y=x﹣1的零点．函数y=x2﹣2mx﹣2〔m+3〕〔m为常数〕 〔1〕当m=0时，求该函数的零点．

〔2〕证明：无论m取何值，该函数总有两个零点．

23.如图，王强在一次高尔夫球的练习中，在某处击球，其飞行路线满足抛物线y=﹣x2+x，其中y〔m〕是球飞行的高度，x〔m〕是球飞行的水平距离． 〔1〕飞行的水平距离是多少时，球最高？ 〔2〕球从飞出到落地的水平距离是多少？

24.二次函数图象顶点坐标〔﹣3， 与y轴的交点坐标．

〕且图象过点〔2，

〕，求二次函数解析式及图象

25.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线y=﹣x﹣3与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=x2+bx+c经过A、C两点，与x轴交于另一点B

〔1〕求抛物线的解析式；

〔2〕点D是第二象限抛物线上的一个动点，连接AD、BD、CD，当S△ACD= 时，求D点坐标；

〔3〕在〔2〕的条件下，连接BC，过点D作DE⊥BC，交CB的延长线于点E，点P是第三象限抛物线上的一个动点，点P关于点B的对称点为点Q，连接QE，延长QE与抛物线在A、D之间的局部交于一点F，当∠DEF+∠BPC=∠DBE时，求EF的长．

S四边形ACBD

参

一、选择题

A C D B B A B C D D B 二、填空题

12.＜﹣2 13. 0 14.

15. 3 16. 0.5＜x＜0.6 17.＞ 18. -

≤a≤-

19. y=﹣2x2﹣5

20. 0＜x＜1或3＜x＜4 21. m≥﹣ 三、解答题

22. 1〕解：当m=0时，令y=0，那么x2﹣6=0， 解得x=±

，

；

所以，m=0时，该函数的零点为±

〔2〕证明：令y=0，那么x2﹣2mx﹣2〔m+3〕=0， △=b2﹣4ac=〔﹣2m〕2﹣4×1×2〔m+3〕， =4m2+8m+24， =4〔m+1〕2+20，

∵无论m为何值时，4〔m+1〕2≥0， ∴△=4〔m+1〕2+20＞0，

∴关于x的方程总有不相等的两个实数根， 即，无论m取何值，该函数总有两个零点． 23.解：〔1〕∵y=﹣x2+x =﹣〔x﹣4〕2+

，

．

米；

∴当x=4时，y有最大值为

所以当球水平飞行距离为4米时，球的高度到达最大，最大高度为〔2〕令y=0，

那么﹣x2+x=0， 解得x1=0，x2=8．

所以这次击球，球飞行的最大水平距离是8米．

24.解：设二次函数的解析式为y=a〔x﹣h〕2+k， 把h=﹣3，k= ，和点〔2， 〕代

入y=a〔x﹣h〕2+k，得a〔2+3〕2+ = ，

解得a= ，

所以二次函数的解析式为y= 〔x+3〕2+ ，

当x=0时，y= ×9+ = ，

所以函数图象与y轴的交点坐标〔0， 〕

25.〔1〕解：∵令x=0得：y=﹣3， ∴C〔0，﹣3〕．

令y=0得：﹣x﹣3=0，解得x=﹣3， ∴A〔﹣3，0〕．

将A、C两点的坐标代入抛物线的解析式的： ，解得：∴抛物线的解析式为y=x2+2x﹣3 〔2〕解：如图1所示：

令y=0得：x2+2x﹣3=0，解得x=﹣3或x=1．

．

∴AB=4． ∵S△ACD=

S四边形ACBD ，

∴S△ADC：S△DCB=3：5． ∴AE：EB=3：5． ∴AE=4×

=

．

，0〕．

∴点E的坐标为〔﹣

设EC的解析式为y=kx+b，将点C和点E的坐标代入得： 解得：k=﹣2，b=﹣3．

∴直线CE的解析式为y=﹣2x﹣3．

将y=﹣2x﹣3与y=x2+2x﹣3联立，解得：x=﹣4或x=0〔舍去〕， 将x=﹣4代入y=﹣2x﹣3得：y=5． ∴点D的坐标为〔﹣4，5〕

，

〔3〕解：如图2所示：过点D作DN⊥x轴，垂足为N，过点P作PM⊥x轴，垂足为M．

设直线BC的解析式为y=kx+b，将点C和点B的坐标代入得： 解得：k=3，b=﹣3．

∴直线BC的解析式为y=3x﹣3． 设直线DE的解析式为y=﹣ ﹣

=

．

x+

．

x+n，将点D的坐标代入得：﹣

×〔﹣4〕+n=5，解得n=5

，

∴直线DE的解析式为y=﹣ 将y=3x﹣3与y=﹣

x+

联立解得：x=2，y=3．

∴点E坐标为〔2，3〕．

依据两点间的距离公式可知：BC=CE= ∵点P与点Q关于点B对称， ∴PB=BQ．

．

在△PCB和△QEB中 ∴△PCB≌△QEB． ∴∠BPC=∠Q．

，

又∵∠DEF+∠BPC=∠DBE，∠DEF=∠QEG，∠EGB=∠Q+∠QEG ∴∠DBE=∠DGB． 又∵∠DBE+∠BDE=90°，

∴∠DGB+∠BDG=90°，即∠PBD=90°． ∵D〔﹣4，5〕，B〔1，0〕， ∴DM=NB． ∴∠DBN=45°． ∴∠PBM=45°． ∴PM=MB

设点P的坐标为〔a，a2+2a﹣3〕，那么BM=1﹣a，PM=﹣a2﹣2a+3． ∴1﹣a=﹣a2﹣2a+3，解得：a=﹣2或a=1〔舍去〕． ∴点P的坐标为〔﹣2，3〕． ∴PC∥x轴． ∵∠Q=∠BPC， ∴EQ∥PC．

∴点E与点F的纵坐标相同．

将y=3代入抛物线的解析式得：x2+2x﹣3=3，解得：x=﹣1﹣ ∴点F的坐标为〔﹣1 ∴EF=2﹣〔﹣1﹣

〕=3+

，3〕．

或x=﹣1+

〔舍去〕．

参与试题解析

1．二次函数y=x2﹣4x+5的最小值是〔 〕 A．﹣1 B．1

C．3

D．5

【考点】H7：二次函数的最值． 【专题】选择题

【分析】先利用配方法将二次函数的一般式y=x2﹣4x+5变形为顶点式，再根据二次函数的性质即可求出其最小值．

【解答】解：配方得：y=x2﹣4x+5=x2﹣4x+22+1=〔x﹣2〕2+1， 当x=2时，二次函数y=x2﹣4x+5取得最小值为1． 应选B．

【点评】此题考查了二次函数最值的求法，求二次函数的最大〔小〕值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．

2．二次函数y=ax2+bx+c〔a、b、c为常数且a≠0〕中的x与y的局部对应值如下表： x y

﹣3 12

﹣2 5

﹣1 0

0 ﹣3

1 ﹣4

2 ﹣3

3 0

4 5

5 12

给出了结论：

(1)二次函数y=ax2+bx+c有最小值，最小值为﹣3； (2)当

时，y＜0；

(3)二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点，且它们分别在y轴两侧．那么其中正确结论的个数是〔 〕 A．3

B．2

C．1

D．0

【考点】H7：二次函数的最值；HA：抛物线与x轴的交点． 【专题】选择题

【分析】根据表格数据求出二次函数的对称轴为直线x=1，然后根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解．

【解答】解；由表格数据可知，二次函数的对称轴为直线x=1，

所以，当x=1时，二次函数y=ax2+bx+c有最小值，最小值为﹣4；故〔1〕小题

错误；

根据表格数据，当﹣1＜x＜3时，y＜0，

所以，﹣＜x＜2时，y＜0正确，故〔2〕小题正确；

二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点，分别为〔﹣1，0〕〔3，0〕，它们分别在y轴两侧，故〔3〕小题正确；

综上所述，结论正确的选项是〔2〕〔3〕共2个． 应选B．

【点评】此题考查了二次函数的最值，抛物线与x轴的交点，仔细分析表格数据，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．

3．将二次函数y=x2﹣2x+3化为y=〔x﹣h〕2+k的形式，结果为〔 〕 A．y=〔x+1〕2+4 B．y=〔x+1〕2+2 C．y=〔x﹣1〕2+4 D．y=〔x﹣1〕2+2 【考点】H9：二次函数的三种形式．

【专题】选择题

【分析】根据配方法进行整理即可得解． 【解答】解：y=x2﹣2x+3， =〔x2﹣2x+1〕+2， =〔x﹣1〕2+2． 应选D．

【点评】此题考查了二次函数的三种形式的转化，熟记配方法的操作是解题的关键．

4．0≤x≤，那么函数y=﹣2x2+8x﹣6的最大值是〔 〕 A．﹣10.5 B．2

C．﹣2.5

D．﹣6

【考点】H7：二次函数的最值． 【专题】选择题

【分析】把二次函数的解析式整理成顶点式形式，然后确定出最大值． 【解答】解：∵y=﹣2x2+8x﹣6=﹣2〔x﹣2〕2+2．

∴该抛物线的对称轴是x=2，且在x＜2上y随x的增大而增大．

又∵0≤x≤，

∴当x=时，y取最大值，y最大=﹣2〔﹣2〕2+2=﹣2.5． 应选C．

【点评】此题考查了二次函数的最值．确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比拟这些函数值，从而获得最值．

5．如图，二次函数y=x2+bx+c的图象过点B〔0，﹣2〕．它与反比例函数y=﹣的图象交于点A〔m，4〕，那么这个二次函数的解析式为〔 〕

A．y=x2﹣x﹣2 B．y=x2﹣x+2 C．y=x2+x﹣2 D．y=x2+x+2

【考点】H8：待定系数法求二次函数解析式；G6：反比例函数图象上点的坐标特征．

【专题】选择题

【分析】将A坐标代入反比例解析式求出m的值，确定出A的坐标，将A与B坐标代入二次函数解析式求出b与c的值，即可确定出二次函数解析式． 【解答】解：将A〔m，4〕代入反比例解析式得：4=﹣，即m=﹣2， ∴A〔﹣2，4〕，

将A〔﹣2，4〕，B〔0，﹣2〕代入二次函数解析式 得：

，

解得：b=﹣1，c=﹣2，

那么二次函数解析式为y=x2﹣x﹣2．

应选A．

【点评】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解此题的关键．

6．在二次函数y=x2﹣2x﹣3中，当0≤x≤3时，y的最大值和最小值分别是〔 〕 A．0，﹣4 B．0，﹣3 C．﹣3，﹣4 【考点】H7：二次函数的最值． 【专题】选择题

D．0，0

【分析】首先求得抛物线的对称轴，抛物线开口向上，在顶点处取得最小值，在距对称轴最远处取得最大值．

【解答】解：抛物线的对称轴是x=1， 那么当x=1时，y=1﹣2﹣3=﹣4，是最小值； 当x=3时，y=9﹣6﹣3=0是最大值． 应选A．

【点评】此题考查了二次函数的图象和性质，正确理解取得最大值和最小值的条件是关键．

7．m，n，k为非负实数，且m﹣k+1=2k+n=1，那么代数式2k2﹣8k+6的最小值为〔 〕

【考点】H7：二次函数的最值．

【专题】选择题

【分析】首先求出k的取值范围，进而利用二次函数增减性得出k=时，代数式2k2﹣8k+6的最小值求出即可．

【解答】解：∵m，n，k为非负实数，且m﹣k+1=2k+n=1， ∴m，n，k最小为0，当n=0时，k最大为：， ∴0≤k

，

∵2k2﹣8k+6=2〔k﹣2〕2﹣2，

∴a=2＞0，∴k≤2时，代数式2k2﹣8k+6的值随k的增大而减小， ∴k=时，代数式2k2﹣8k+6的最小值为：2×〔〕2﹣8×+6=2.5． 应选D．

【点评】此题主要考查了二次函数的最值求法以及二次函数增减性等知识，根据二次函数增减性得出k=时，代数式2k2﹣8k+6的最小值是解题关键．

8．当﹣2≤x≤1时，二次函数y=﹣〔x﹣m〕2+m2+1有最大值4，那么实数m的值为〔 〕 A．﹣

B．

或

C．2或

D．2或或

【考点】H7：二次函数的最值． 【专题】选择题

【分析】根据对称轴的位置，分三种情况讨论求解即可． 【解答】解：二次函数的对称轴为直线x=m， ①m＜﹣2时，x=﹣2时二次函数有最大值， 此时﹣〔﹣2﹣m〕2+m2+1=4，

解得m=﹣，与m＜﹣2矛盾，故m值不存在； ②当﹣2≤m≤1时，x=m时，二次函数有最大值， 此时，m2+1=4， 解得m=﹣

，m=

〔舍去〕；

③当m＞1时，x=1时二次函数有最大值， 此时，﹣〔1﹣m〕2+m2+1=4， 解得m=2，

综上所述，m的值为2或﹣应选C．

【点评】此题考查了二次函数的最值问题，难点在于分情况讨论．

9．定义符号min{a，b}的含义为：当a≥b时min{a，b}=b；当a＜b时min{a，b}=a．如：min{1，﹣3}=﹣3，min{﹣4，﹣2}=﹣4．那么min{﹣x2+1，﹣x}的

．

最大值是〔 〕 A．

B．

C．1

D．0

【考点】H7：二次函数的最值；F6：正比例函数的性质． 【专题】选择题

【分析】理解min{a，b}的含义就是取二者中的较小值，画出函数图象草图，利用函数图象的性质可得结论．

【解答】解：在同一坐标系xOy中，画出函数二次函数y=﹣x2+1与正比例函数y=﹣x的图象，如下图．设它们交于点A、B． 令﹣x2+1=﹣x，即x2﹣x﹣1=0，解得：x=∴A〔

，

〕，B〔

，

〕．

或

，

观察图象可知： ①当x≤大值为②当

时，min{﹣x2+1，﹣x}=﹣x2+1，函数值随x的增大而增大，其最； ＜x＜

；

时，min{﹣x2+1，﹣x}=﹣x2+1，函数值随x的增大而减小，最大．

．

时，min{﹣x2+1，﹣x}=﹣x，函数值随x的增大而减小，

其最大值为③当x≥值为

综上所示，min{﹣x2+1，﹣x}的最大值是应选A．

【点评】此题考查了二次函数与正比例函数的图象与性质，充分理解定义min{a，

b}和掌握函数的性质是解题的关键．

10．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点〔0，﹣2〕，与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，且﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，以下结论正确的选项是〔 〕

A．a＜0 B．a﹣b+c＜0 C．﹣

D．4ac﹣b2＜﹣8a

【考点】H4：二次函数图象与系数的关系；HA：抛物线与x轴的交点．【专题】选择题

【分析】由开口方向，可确定a＞0；由当x=﹣1时，y=a﹣b+c＞0，可确定B错误；由对称轴在y轴右侧且在直线x=1左侧，可确定x=﹣

＜1；由二次函数

y=ax2+bx+c的图象经过点〔0，﹣2〕，对称轴在y轴右侧，a＞0，可得最小值：＜﹣2，即可确定D正确．

【解答】解：A、∵开口向上，∴a＞0，故本选项错误； B、∵当x=﹣1时，y=a﹣b+c＞0，故本选项错误； C、∵对称轴在y轴右侧且在直线x=1左侧，∴x=﹣

＜1，故本选项错误；

D、∵二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点〔0，﹣2〕，对称轴在y轴右侧，a＞0， ∴最小值：∴4ac﹣b2＜﹣8a． 故本选项正确． 应选D．

【点评】此题考查了图象与二次函数系数之间的关系．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．

＜﹣2，

11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线所表示的函数解析式为y=﹣2〔x﹣h〕

2

+k，那么以下结论正确的选项是〔 〕

A．h＞0，k＞0 B．h＜0，k＞0 C．h＜0，k＜0 D．h＞0，k＜0 【考点】H4：二次函数图象与系数的关系．

【专题】选择题

【分析】根据抛物线所的顶点坐标在x轴的上方即可得出结论．

【解答】解：∵抛物线y=﹣2〔x﹣h〕2+k的顶点坐标为〔h，k〕，由图可知，抛物线的顶点坐标在第一象限， ∴h＞0，k＞0． 应选A．

【点评】此题考查的是二次函数的图象与系数的关系，熟知二次函数的顶点式是解答此题的关键．

12．如图，二次函数y=ax2+bx+c〔a≠0〕的图象的顶点在第一象限，且过点〔0，1〕和〔﹣1，0〕．以下结论：①ab＜0，②b2＞4a，③0＜a+b+c＜2，④0＜b＜1，⑤当x＞﹣1时，y＞0，其中正确结论的个数是〔 〕

A．5个 B．4个 C．3个 D．2个

【考点】H4：二次函数图象与系数的关系．

【专题】选择题

【分析】由抛物线的对称轴在y轴右侧，可以判定a、b异号，由此确定①正确； 由抛物线与x轴有两个交点得到b2﹣4ac＞0，又抛物线过点〔0，1〕，得出c=1，

由此判定②正确；

由抛物线过点〔﹣1，0〕，得出a﹣b+c=0，即a=b﹣1，由a＜0得出b＜1；由a＜0，及ab＜0，得出b＞0，由此判定④正确；

由a﹣b+c=0，及b＞0得出a+b+c=2b＞0；由b＜1，c=1，a＜0，得出a+b+c＜a+1+1＜2，由此判定③正确；

由图象可知，当自变量x的取值范围在一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根之间时，函数值y＞0，由此判定⑤错误．

【解答】解：∵二次函数y=ax2+bx+c〔a≠0〕过点〔0，1〕和〔﹣1，0〕， ∴c=1，a﹣b+c=0．

①∵抛物线的对称轴在y轴右侧，∴x=﹣∴a与b异号，∴ab＜0，正确；

②∵抛物线与x轴有两个不同的交点，∴b2﹣4ac＞0， ∵c=1，∴b2﹣4a＞0，b2＞4a，正确； ④∵抛物线开口向下，∴a＜0， ∵ab＜0，∴b＞0．

∵a﹣b+c=0，c=1，∴a=b﹣1， ∵a＜0，∴b﹣1＜0，b＜1， ∴0＜b＜1，正确； ③∵a﹣b+c=0，∴a+c=b， ∴a+b+c=2b＞0． ∵b＜1，c=1，a＜0，

∴a+b+c=a+b+1＜a+1+1=a+2＜0+2=2， ∴0＜a+b+c＜2，正确；

⑤抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点为〔﹣1，0〕，设另一个交点为〔x0，0〕，那么x0＞0，

由图可知，当x0＞x＞﹣1时，y＞0，错误； 综上所述，正确的结论有①②③④． 应选B．

【点评】此题主要考查二次函数图象与系数之间的关系，不等式的性质，难度适

＞0，

中．二次函数y=ax2+bx+c〔a≠0〕，a的符号由抛物线开口方向决定；b的符号由对称轴的位置及a的符号决定；c的符号由抛物线与y轴交点的位置决定；抛物线与x轴的交点个数，决定了b2﹣4ac的符号，此外还要注意二次函数与方程之间的转换．

13．用一根长为32cm的铁丝围成一个矩形，那么围成矩形面积的最大值是 cm2．

【考点】H7：二次函数的最值． 【专题】填空题

【分析】设矩形的一边长是xcm，那么邻边的长是〔16﹣x〕cm，那么矩形的面积S即可表示成x的函数，根据函数的性质即可求解．

【解答】解：设矩形的一边长是xcm，那么邻边的长是〔16﹣x〕cm． 那么矩形的面积S=x〔16﹣x〕，即S=﹣x2+16x， 当x=﹣

=﹣

=8时，S有最大值是：．

故答案是：．

【点评】此题考查了二次函数的性质，求最值得问题常用的思路是转化为函数问题，利用函数的性质求解．

2214．把二次函数y=x2﹣12x化为形如y=a〔x﹣h〕+k的形式 y=〔x﹣6〕﹣36 ．

【考点】H9：二次函数的三种形式． 【专题】填空题

【分析】由于二次项系数为1，所以直接加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．

【解答】解：y=x2﹣12x=〔x2﹣12x+36〕﹣36=〔x﹣6〕2﹣36，即y=〔x﹣6〕2﹣36．

故答案为y=〔x﹣6〕2﹣36．

【点评】此题考查了二次函数解析式的三种形式： (1)一般式：y=ax2+bx+c〔a≠0，a、b、c为常数〕； (2)顶点式：y=a〔x﹣h〕2+k；

(3)交点式〔与x轴〕：y=a〔x﹣x1〕〔x﹣x2〕．

15．抛物线y=x2+1的最小值是 1 ． 【考点】H7：二次函数的最值．【专题】填空题

【分析】根据二次函数的最值问题解答即可． 【解答】解：抛物线y=x2+1的最小值是1． 故答案为：1．

【点评】此题考查了二次函数的最值问题，是根底题，熟练掌握利用顶点式解析式求最大〔或最小〕值是解题的关键．

16．函数y=〔x﹣1〕2+3的最小值为 3 ． 【考点】H7：二次函数的最值．

【专题】填空题

【分析】根据顶点式得到它的顶点坐标是〔1，3〕，再根据其a＞0，即抛物线的开口向上，那么它的最小值是3．

【解答】解：根据非负数的性质，〔x﹣1〕2≥0， 于是当x=1时，

函数y=〔x﹣1〕2+3的最小值y等于3． 故答案为：3．

【点评】此题考查了二次函数的最值的求法．求二次函数的最大〔小〕值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．

17．二次函数y=x2+bx+c经过点〔3，0〕和〔4，0〕，那么这个二次函数的解析式是 y=x2﹣7x+12 ．

【考点】H8：待定系数法求二次函数解析式．

【专题】填空题

【分析】由于了二次函数与x轴的两交点坐标，那么可设交点式易得其解析式． 【解答】解：设二次函数的解析式为y=a〔x﹣3〕〔x﹣4〕，

而a=1，

所以二次函数的解析式为y=〔x﹣3〕〔x﹣4〕=x2﹣7x+12． 故答案为y=x2﹣7x+12．

【点评】此题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．

18．二次函数y=x2+mx+n的图象经过点P〔﹣3，1〕，对称轴是经过〔﹣1，0〕且平行于y轴的直线． (1)求m、n的值；

(2)如图，一次函数y=kx+b的图象经过点P，与x轴相交于点A，与二次函数的图象相交于另一点B，点B在点P的右侧，PA：PB=1：5，求一次函数的表达式．

【考点】H8：待定系数法求二次函数解析式；FA：待定系数法求一次函数解析式．

【专题】解答题

【分析】(1)利用对称轴公式求得m，把P〔﹣3，1〕代入二次函数y=x2+mx+n得出n=3m﹣8，进而就可求得n；

(2)根据(1)得出二次函数的解析式，根据条件，利用平行线分线段成比例定理求得B的纵坐标，代入二次函数的解析式中求得B的坐标，然后利用待定系数法就可求得一次函数的表达式．

【解答】解：(1)∵对称轴是经过〔﹣1，0〕且平行于y轴的直线，

∴﹣∴m=2，

=﹣1，

∵二次函数y=x2+mx+n的图象经过点P〔﹣3，1〕， ∴9﹣3m+n=1，得出n=3m﹣8． ∴n=3m﹣8=﹣2； (2)∵m=2，n=﹣2，

∴二次函数为y=x2+2x﹣2，

作PC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，那么PC∥BD， ∴

=

，

∵P〔﹣3，1〕， ∴PC=1，

∵PA：PB=1：5， ∴

=，

∴BD=6，

∴B的纵坐标为6，

代入二次函数为y=x2+2x﹣2得，6=x2+2x﹣2， 解得x1=2，x2=﹣4〔舍去〕， ∴B〔2，6〕， ∴

，解得

，

∴一次函数的表达式为y=x+4．

【点评】此题考查了待定系数法求二次函数的解析式和一次函数的解析式，根据

条件求得B的坐标是解题的关键．

19．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为4，顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴，抛物线y=﹣x2+bx+c经过B、C两点，点D为抛物线的顶点，连接AC、BD、CD． (1)求此抛物线的解析式．

(2)求此抛物线顶点D的坐标和四边形ABCD的面积．

【考点】H8：待定系数法求二次函数解析式；H5：二次函数图象上点的坐标特征．

【专题】解答题

【分析】(1)根据题意确定出B与C的坐标，代入抛物线解析式求出b与c的值，即可确定出解析式；

(2)把抛物线解析式化为顶点形式，找出顶点坐标，四边形ABDC面积=三角形ABC面积+三角形BCD面积，求出即可． 【解答】解：(1)由得：C〔0，4〕，B〔4，4〕， 把B与C坐标代入y=﹣x2+bx+c得：解得：b=2，c=4，

那么解析式为y=﹣x2+2x+4；

(2)∵y=﹣x2+2x+4=﹣〔x﹣2〕2+6， ∴抛物线顶点坐标为〔2，6〕，

那么S四边形ABDC=S△ABC+S△BCD=×4×4+×4×2=8+4=12．

【点评】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数图象上点的坐

，

标特征，熟练掌握待定系数法是解此题的关键．

20．抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A〔3，0〕，B〔﹣1，0〕． (1)求抛物线的解析式； (2)求抛物线的顶点坐标．

【考点】H8：待定系数法求二次函数解析式；H3：二次函数的性质． 【专题】解答题

【分析】(1)根据抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A〔3，0〕，B〔﹣1，0〕，直接得出抛物线的解析式为；y=﹣〔x﹣3〕〔x+1〕，再整理即可，

(2)根据抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3=﹣〔x﹣1〕2+4，即可得出答案． 【解答】解：(1)∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A〔3，0〕，B〔﹣1，0〕． ∴抛物线的解析式为；y=﹣〔x﹣3〕〔x+1〕， 即y=﹣x2+2x+3，

(2)∵抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3=﹣〔x﹣1〕2+4， ∴抛物线的顶点坐标为：〔1，4〕．

【点评】此题考查了用待定系数法求函数的解析式，用到的知识点是二次函数的解析式的形式，关键是根据题意选择适宜的解析式．

21．如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A〔﹣1，0〕和B〔3，0〕两点，交y轴于点E．

(1)求此抛物线的解析式．

(2)假设直线y=x+1与抛物线交于A、D两点，与y轴交于点F，连接DE，求△DEF的面积．

【考点】H8：待定系数法求二次函数解析式；H3：二次函数的性质．

【专题】解答题

【分析】(1)利用待定系数法求二次函数解析式即可；

(2)首先求出直线与二次函数的交点坐标进而得出E，F点坐标，即可得出△DEF的面积．

【解答】解：(1)∵抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A〔﹣1，0〕和B〔3，0〕两点， ∴解得：

， ，

故抛物线解析式为：y=x2﹣2x﹣3；

(2)根据题意得：

，

解得：∴D〔4，5〕，

，，

对于直线y=x+1，当x=0时，y=1，∴F〔0，1〕， 对于y=x2﹣2x﹣3，当x=0时，y=﹣3，∴E〔0，﹣3〕， ∴EF=4，

过点D作DM⊥y轴于点M． ∴S△DEF=EF•DM=8．

【点评】此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及三角形面积求法等知识，利用数形结合得出D，E，F点坐标是解题关键．

22．如图，抛物线y=x2+bx+c过点A〔﹣4，﹣3〕，与y轴交于点B，对称轴是x=﹣3，请解答以下问题： (1)求抛物线的解析式．

(2)假设和x轴平行的直线与抛物线交于C，D两点，点C在对称轴左侧，且CD=8，求△BCD的面积．

注：抛物线y=ax2+bx+c〔a≠0〕的对称轴是x=﹣

．

【考点】H8：待定系数法求二次函数解析式；H3：二次函数的性质．【专题】解答题

【分析】(1)把点A〔﹣4，﹣3〕代入y=x2+bx+c得16﹣4b+c=﹣3，根据对称轴是x=﹣3，求出b=6，即可得出答案，

(2)根据CD∥x轴，得出点C与点D关于x=﹣3对称，根据点C在对称轴左侧，且CD=8，求出点C的横坐标和纵坐标，再根据点B的坐标为〔0，5〕，求出△BCD中CD边上的高，即可求出△BCD的面积． 【解答】解：(1)把点A〔﹣4，﹣3〕代入y=x2+bx+c得： 16﹣4b+c=﹣3， c﹣4b=﹣19， ∵对称轴是x=﹣3， ∴﹣=﹣3， ∴b=6， ∴c=5，

∴抛物线的解析式是y=x2+6x+5；

(2)∵CD∥x轴，

∴点C与点D关于x=﹣3对称，

∵点C在对称轴左侧，且CD=8， ∴点C的横坐标为﹣7，

∴点C的纵坐标为〔﹣7〕2+6×〔﹣7〕+5=12， ∵点B的坐标为〔0，5〕，

∴△BCD中CD边上的高为12﹣5=7， ∴△BCD的面积=×8×7=28．

【点评】此题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质，用到的知识点是二次函数的图象和性质，此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．

23．如图，二次函数y=x2+bx+c过点A〔1，0〕，C〔0，﹣3〕 (1)求此二次函数的解析式；

(2)在抛物线上存在一点P使△ABP的面积为10，请直接写出点P的坐标．

【考点】H8：待定系数法求二次函数解析式；H3：二次函数的性质．【专题】解答题

【分析】(1)利用待定系数法把A〔1，0〕，C〔0，﹣3〕代入二次函数y=x2+bx+c中，即可算出b、c的值，进而得到函数解析式是y=x2+2x﹣3；

(2)首先求出A、B两点坐标，再算出AB的长，再设P〔m，n〕，根据△ABP的面积为10可以计算出n的值，然后再利用二次函数解析式计算出m的值即可得到P点坐标．

【解答】解：(1)∵二次函数y=x2+bx+c过点A〔1，0〕，C〔0，﹣3〕， ∴解得

， ，

∴二次函数的解析式为y=x2+2x﹣3；

(2)∵当y=0时，x2+2x﹣3=0， 解得：x1=﹣3，x2=1； ∴A〔1，0〕，B〔﹣3，0〕， ∴AB=4， 设P〔m，n〕，

∵△ABP的面积为10， ∴AB•|n|=10， 解得：n=±5，

当n=5时，m2+2m﹣3=5，

解得：m=﹣4或2， ∴P〔﹣4，5〕〔2，5〕； 当n=﹣5时，m2+2m﹣3=﹣5， 方程无解，

故P〔﹣4，5〕〔2，5〕；

【点评】此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，以及求点的坐标，关键是掌握但凡函数图象经过的点必能满足解析式．