代数式中考真题汇编[解析版]

一、初一数学代数式解答题压轴题精选（难）

1．已知整式P＝x2+x﹣1，Q＝x2﹣x+1，R＝﹣x2+x+1，若一个次数不高于二次的整式可以表示为aP+bQ+cR（其中a，b，c为常数）.则可以进行如下分类 ①若a≠0，b＝c＝0，则称该整式为P类整式； ②若a≠0，b≠0，c＝0，则称该整式为PQ类整式； ③若a≠0，b≠0，c≠0.则称该整式为PQR类整式；

（1）模仿上面的分类方式，请给出R类整式和QR类整式的定义，若，则称该整式为“R类整式”，若，则称该整式为“QR类整式”； （2）说明整式x2﹣5x+5为“PQ类整式； （3）x2+x+1是哪一类整式？说明理由.

【答案】 （1）解：若a＝b＝0，c≠0，则称该整式为“R类整式”. 若a＝0，b≠0，c≠0，则称该整式为“QR类整式”. 故答案是：a＝b＝0，c≠0；a＝0，b≠0，c≠0

（2）解：因为﹣2P+3Q＝﹣2（x2+x﹣1）+3（x2﹣x+1） ＝﹣2x2﹣2x+2+3x2﹣3x+3＝x2﹣5x+5.

即x2﹣5x+5＝﹣2P+3Q，所以x2﹣5x+5是“PQ类整式”

（3）解：∵x2+x+1＝（x2+x﹣1）+（x2﹣x+1）+（﹣x2+x+1）， ∴该整式为PQR类整式.

【解析】【分析】（1）根据题干条件，可得若a＝b＝0，c≠0，则称该整式为“R类整式”；若a＝0，b≠0，c≠0，则称该整式为“QR类整式”.

（2）根据\"PQ类整式\"定义，由 x2﹣5x+5=﹣2（x2+x﹣1）+3（x2﹣x+1） = ﹣2P+3Q，据此求出结论.

（3） 由x2+x+1＝（x2+x﹣1）+（x2﹣x+1）+（﹣x2+x+1）= PQR，据此判断即可.

2．某商场计划投入一笔资金采购一批紧俏商品，经过市场调查发现，如果月初 出售，可获利15﹪，并可用本金和利润再投资其他商品，到月末又可获利10﹪；如果月末出售可获利30﹪，但要付出仓储费用700元．

（1）若商场投资 元，分别用含 的代数式表示月初出售和月末出售所获得的利润； （2）若商场投资40000元，问选择哪种销售方式获利较多？此时获利多少元？ 【答案】 （1）由题意可得：

该商月初出售时的利润为：15%x+（1+15%）×10%x=0.265（元）； 该商月末出售时的利润为：30%x-700=（0.3x-700）（元）；

（2）当x=40000时，

该商月初出售时的利润为：0.265×40000=10600（元），

该商月末出售时的利润为：0.3×40000-700=11300（元）， ∵11300＞10600， ∴选择月末出售这种方式，

即若商场投资40000元，选择月末销售方式获利较多，此时获利11300元．

【解析】【分析】（1）根据题意列代数式表示出月初出售和月末出售两种销售方式获得的利润即可；

（2）将x=40000分别代入（1）中的代数式求值，通过比较，即可得解。

3．如图

（1）2020年9月的日历如图1所示，用1×3的长方形框出3个数.如果任意圈出一横行左右相邻的三个数，设最小的数为x，用含x的式子表示这三个数的和为________；如果任意圈出一竖列上下相邻的三个数，设最小的数为y，用含y的式子表示这三个数的和为________

（2）如图2，用一个2×2的正方形框出4个数，是否存在被框住的4个数的和为96？如果存在，请求出这四个数中的最小的数字；如果不存在，请说明理由

（3）如图2，用一个3×3的正方形框出9个数，在框出的9个数中，记前两行共6个数的和为a1 ， 最后一行3个数的和为a2.若|a1﹣a2|＝6，请求出正方形框中位于最中心的数字m的值.

【答案】 （1）3x+3；3y+21

（2）解：设所框出的四个数最小的一个为a，则另外三个分别是：（a+1）、（a+7）、（a+8），则

a+（a+1）+（a+7）+（a+8）＝96， 解得，a＝20，

由图2知，所框出的四个数存在，

故存在被框住的4个数的和为96，其中最小的数为20

（3）解：根据题意得，a1＝m+（m﹣1）+（m+1）+（m﹣7）+（m﹣6）+（m﹣8）＝6m﹣21，

a2＝（m+7）+（m+6）+（m+8）＝3m+21， ∵|a1﹣a2|＝6，

∴|（6m﹣21）﹣（3m+21）|＝6，即|3m﹣42|＝6，

解得，m＝12（因12位于最后一竖列，不可能为9数的中间一数，舍去）或m＝16，

∴m＝16.

【解析】【解答】（1）解：如果任意圈出一横行左右相邻的三个数，设最小的数为x，则三数的和为：

x+（x+1）+（x+2）＝x+x+1+x+2＝3x+3；

如果任意圈出一竖列上下相邻的三个数，设最小的数为y，则三数和为： y+（y+7）+（y+14）＝y+y+7+y+14＝3y+21. 故答案为：3x+3；3y+21

【分析】（1）由三个数的大小关系，表示另两个数，再求和并化简即可；

（2）设最小数为a，并用a的代数式表示所框出的四个数的和，再根据四个数和为96可列方程，解方程，若方程有符合条件的解，则存在，反之不存在； （3）且m表示出a1和a2 ， 再由|a1−a2|＝6列方程求解.

4．从2022年4月1日起龙岩市实行新的自来水收费阶梯水价，收费标准如下表所示： 月用水量 不超过15吨的部分 超过15吨不超过25吨的部分 超过25吨的部分 收费标准 2.2 （元/吨） 3.3 4.4 （1）某用户4月份用水量为10吨，求该用户4月份应缴水费是多少元． （2）某用户8月份用水量为24吨，求该用户8月份应缴水费是多少元． （3）若某用户某月用水量为m吨，请用含m的式子表示该用户该月所缴水费． 【答案】 （1）解：2.2×10=22元， 答：该用户4月份应缴水费是22元，

（2）解：15×2.2+（24﹣15）×3.3=62.7元， 答：该用户8月份应缴水费是 62.7元

（3）解：①当m≤15时，需交水费2.2m元；

②当15＜m≤25时，需交水费，2.2×15+（m﹣15）×3.3=（3.3m﹣16.5）元， ③当m＞25时，需交水费2.2×15+10×3.3+（m﹣25）×4.4=（4.4m﹣44）元． 【解析】【分析】（1）先根据月用水量确定出收费标准,再进行计算即可； （2） 8月份应缴水费为：不超过15吨的水费+超出的9吨的水费；

（3）分①m≤15吨,②1525吨三种情况,根据收费标准列式进行计算即可得解。

5．某服装厂生产一种夹克和T恤，夹克每件定价100元，T恤每件定价60元．厂方在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案： ① 买一件夹克送一件T恤； ② 夹克和T恤都按定价的80%付款．

现某客户要到该服装厂购买夹克30件，T恤x件（x >30）．

（1）若该客户按方案①购买，夹克需付款________元，T恤需付款________元（用含x的式子表示）；

若该客户按方案②购买，夹克需付款________元，T恤需付款________元（用含x的式子表示）；

（2）若x=40，通过计算说明按方案①、方案②哪种方案购买较为合算？

（3）若两种优惠方案可同时使用，当x=40时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方案，并说明理由． 【答案】 （1）3000；

；2400；

（2）解：当x=40时， 方案①3000+60（40-30）=3600元 方案②2400+48×40=4320元 因为3600＜4320，所以按方案①合算

（3）解：先买30套夹克，此时T恤共有30件， 剩下的10件的T恤用方案②购买，此时10件的T恤费用为：10×60×0.8=480， ∴此时共花费了：3000+480=3480＜3600 所以按方案①买30套夹克和T恤，再按方案②买10件夹克和T恤更省钱

【解析】【解答】解：（1）方案①：夹克的费用：30×100=3000元，T恤的费用为：60（x-30）元；

方案②：夹克的费用：30×100×0.8=2400元，T恤的费用为：60×0.8x=48x元；故答案为：（1）3000，60（x-30），2400，48x；

【分析】（1） 夹克每件定价100元，T恤每件定价60元 根据向客户提供两种优惠方案，分别列式计算可求解。

（2）根据x=40时，分别求出两种优惠方案所付费用，再比较大小，即可作出判断。 （3）抓住已知： 两种优惠方案可同时使用，可以先买30套夹克，此时T恤共有30件， 剩下的10件的T恤用方案②购买 ，计算出所需费用，再比较大小，可得出结论。

6．某公司派出甲车前往某地完成任务，此时，有一辆流动加油车与他同时出发，且在同一条公路上匀速行驶（速度保持不变）．为了确定汽车的位置，我们用OX表示这条公路，原点O为零千米路标，并作如下约定：速度为正，表示汽车向数轴的正方向行驶；速度为负，表示汽车向数轴的负方向行驶；速度为零，表示汽车静止．行程为正，表示汽车位于零千米的右侧；行程为负，表示汽车位于零千米的左侧；行程为零，表示汽车位于零千米处．两车行程记录如表：

时间（h） 甲车位置（km） 0 5 7 x 190 ﹣10 流动加油车位置（km） 170 270 由上面表格中的数据，解决下列问题： （1）甲车开出7小时时的位置为________km，流动加油车出发位置为________km；

（2）当两车同时开出x小时时，甲车位置为________km，流动加油车位置为________km （用x的代数式表示）；

（3）甲车出发前由于未加油，汽车启动后司机才发现油箱内汽油仅够行驶3小时，问：甲

车连续行驶3小时后，能否立刻获得流动加油车的帮助？请说明理由． 【答案】 （1）-90；-80 （2）190﹣40x；﹣80+50x

（3）解：当x=3时，甲车开出的位置是：190﹣40x=70（km）， 流动加油车的位置是：﹣80+50x=70（km）， 则甲车能立刻获得流动加油车的帮助 【解析】【解答】解：（1）根据题意得：

甲车开出7小时时的位置为：190﹣7×（200÷5）=﹣90（km）， 流动加油车出发位置为：270﹣（270﹣170）÷2×7=﹣80（km）； 故答案为：﹣90，﹣80； ⑵根据题意得：

当两车同时开出x小时时，甲车位置为：190﹣40x， 流动加油车位置为：﹣80+50x；

【分析】（1）根据题意可知甲车开出5小时时的位置为-10，得到甲车的速度是（190+10）÷5，求出甲车开出7小时时的位置；根据流动加油车出发5小时的位置是170和出发7小时的位置是270，得到流动加油车的速度是（270-170）÷2；求出流动加油车出发的位置；（2）根据题意当两车同时开出x小时时，甲车位置是190﹣40x，流动加油车位置是﹣80+50x；（3）根据题意当x=3时，甲车开出的位置是70km，流动加油车的位置是70km，得到甲车能立刻获得流动加油车的帮助.

7．某商场将进货价为40元的台灯以50元的销售价售出，平均每月能售出800个．市场调研表明：当销售价每上涨1元时，其销售量就将减少10个．若设每个台灯的销售价上涨 元．

（1）试用含 的代数式填空：

①涨价后，每个台灯的销售价为________元；

②涨价后，商场的台灯平均每月的销售量为________台； ③涨价后，商场每月销售台灯所获得总利润为________元．

（2）如果商场要想销售总利润平均每月达到20000元，商场经理甲说“在原售价每台50元的基础上再上涨40元，可以完成任务”，商场经理乙说“不用涨那么多，在原售价每台50元的基础上再上涨30元就可以了”，试判断经理甲与乙的说法是否正确，并说明理由． 【答案】 （1）

；

；

（2）解：甲与乙的说法均正确，理由如下：

依题意可得该商场台灯的月销售利润为：（600﹣10a）（10+a）；

当a=40时，（600﹣10a）（10+a）=（600﹣10×40）（10+40）=10000（元）； 当a=10时，（600﹣10a）（10+a）=（600﹣10×10）（10+10）=10000（元）； 故经理甲与乙的说法均正确

【解析】【解答】解：（1）①涨价后，每个台灯的销售价为50+a（元）； ②涨价后，商场的台灯平均每月的销售量为800-10a（元）；

③涨价后，商场的台灯台每月销售台灯所获得总利润为( 10 + a ) ( 800 − 10 a )； 故答案为：50+a，800-10a，( 10 + a ) ( 800 − 10 a )．

【分析】（1）根据题意由每个台灯的销售价上涨a元，得到每个台灯的销售价为50+a；商场的台灯平均每月的销售量为800-10a；商场每月销售台灯所获得总利润为( 10 + a ) ( 800 − 10 a )；（2）根据题意商场每月销售台灯所获得总利润为( 10 + a ) ( 800 − 10 a )，把a=40时和a=10时代入，求出月销售利润的值，判断即可.

8．用如图所示的甲、乙、丙木板做一个长、宽、高分别为a厘米，b厘米，h厘米的长方体有盖木箱（a>b），其中甲刚好能做成箱底和一个长侧面，乙刚好能做成一个长侧面和一个短侧面，丙刚好能做成箱盖和一个短侧面。

（1）填空：用含a、b、h的代数式表示以下面积： 甲的面积________;乙的面积________;丙的面积________.

（2）当h=20cm时，若甲的面积比丙的面积大200cm2 ， 乙的面积为1400cm2 ， 求a和b的值；

（3）现将一张长、宽分别为a厘米、b厘米的长方形纸板（如图①）分割成两个小长方形。左侧部分刚好分割成两个最大的等圆，和右侧剩下部分刚好做成一个圆柱体模型（如图②），且这样的圆柱体模型的高刚好与木箱的高相等。问：一个上述长方体木箱中最多可以放________个这样的圆柱体模型。

【答案】 （1）ab+ah；ah+bh；ab+bh （2）解：

，

化简得 解得：

.

，

（3）8

【解析】【解答】（1）甲的面积= ab+ah ，乙的面积= ah +bh； 丙的面积 =ab+bh； （3）设圆的直径为d，

∵将一张长、宽分别为a厘米、b厘米的长方形纸板（如图①）分割成两个小长方形。左侧部分刚好分割成两个最大的等圆，和右侧剩下部分刚好做成一个圆柱体模型， ∴b=2d，a-d=πd， ∴a=（π+1）d

∵圆柱体模型的高刚好与木箱的高相等，

∴只有比较木箱的上表面有几个正方形ACDF即可，

∴

∴可以放两层， ∴b=2r+πr ∴

故答案为：8.

∴一个上述长方体木箱中最多可以放8个这样的圆柱体模型.

【分析】（1）根据矩形的面积公式，分别求出甲，乙，丙的面积即可；

（2）根据甲的面积-丙的面积=200cm2 ， 乙的面积为1400cm2 ， 列出方程组，将h=20cm代入并解出方程组，即可求出a，b的值；

（3）设圆的直径为d，观察图像由已知可得到b=2d，a=（π+1）d，再根据圆柱体模型的高刚好与木箱的高相等，就可得到只有比较木箱的上表面有几个正方形ACDF即可，因此利用木箱的上表面的面积除以正方形ACDF的面积即可求解。

9．亚萍做一道数学题，“已知两个多项式

，

，试求

.”其中多项式 的二次项系数印刷不清楚

（1）乔亚萍看了答案以后知道 次项系数；

（2）在（1）的基础上，乔亚萍已经将多项式 正确求出，老师又给出了一个多项式 ，要求乔亚萍求出 答案为 由题意可得

mx2+4x+2（2x2-3x+1）=x2-2x+2 mx2+4x+4x2-6x+2=x2-2x+2 （m+4）x2-2x+2=x2-2x+2 ∴m+4=1 解之：m=-3

∴多项式A的二次项系数为-3.

的结果.乔亚萍在求解时，误把“ ，请你替乔亚萍求出“

”看成“

”，结果求出的

，请你替乔亚萍求出多项式 的二

”的正确答案.

【答案】 （1）解：设A的二次项系数为m，

（2）解：∵A+C=x2-5x+2 ∴-3x2+4x+C=x2-5x+2 ∴C=x2-5x+2-3x2-4x=-2x2-9x+2

∴A-C=-3x2+4x-（-2x2-9x+2）=-3x2+4x+2x2+9x-2=-x2+13x-2

【解析】【分析】（1）设A的二次项系数为M，将其代入可得到mx2+4x+2（2x2-3x+1）=x2-2x+2，就可求出m的值.

（2）根据题意可得到A+C=x2-5x+2，代入求出多项式C，然后求出A-C即可。

10．如图，有一个边长为a的大正方形与两个边长均为b的小正方形(a>b)，按如图1、2所示的方式摆放，设图1中阴影部分的面积之和为S1 ， 图2中阴影部分的面积为S2。

（1）用含a，b的代数式表示S1与S2(结果要化为最简形式)。 （2）当S1+3S2= b²时，求a：b的值。 【答案】 （1）解：S1=2(a-b)2+(2b-a)2=3a²-8ab+6b²

S2=b²-(a-b)2=2ab-a2

（2）解：∵S1+3S2= b²， ∴3a2-8ab+6b2+3(2ab-a²)= b2 化简得：5b2=4ab， ∵b≠0，

∴两边同除以b，得：5b=4a， ∴a：b=5：4

【解析】【分析】（1）根据图1可知左下角及右上角两个图形是全等的正方形，其边长为（a-b），中间的小正方形应该是 (2b-a) ，然后根据正方形面积的计算方法即可列出算式 S1=2(a-b)2+(2b-a)2 ，再根据完全平方公式展开括号，再合并同类项即可；由图2可知：阴影部分的面积=边长为b的正方形的面积-边长为（a-b）的正方形的面积，从而根据正方形面积的计算方法即可列出算式，再根据完全平方公式展开括号，再合并同类项即可； （2）根据（1）的计算结果，由 S1+3S2= b² 列出方程，化简即可得出答案.

11．已知 系数，

是常数项），我们规定

（其中 的伴随多项式是

.

，

则

它

的 .

请根据上面的材料，完成下列问题： （1）已知 （2）已知

，x=________

（3）已知二次多项式 关于 的方程 【答案】 （1）5x4 （2）10x-27；x=4； （3）解：∵

∴g（x）=2（a+3）x+16=（2a+6）x+16， 由g（x）=-2x，得（2a+6）x+16=-2x， 化简整理得：（2a+8）x=-16， ∵方程有正整数解，

，

，并且它的伴随多项式是

有正整数解，求 的整数值.

，若

，则它的伴随多项式

________.

________；若

伴

随

多

项 是各项的 ，且

如 式

，则它的伴随多项式

∴

，

∵a为整数，

∴a+4=-1或-2或-4或-8， ∴a=-5或-6或-8或-12. 【解析】【解答】解：（1）∵ ∴g（x）=5x4； 故答案为：5x4； （ 2 ）解：∵ ∴g（x）=10x-27，

由g（x）=13，得10x-27=13， 解得：x=4；

故答案为：10x-27；x=4； 【分析】（1）由题意可知n=5， 出g（x）即可；（2）先变形为

新定义确定出g（x），并求出所求x的值即可；

（3）确定出f（x）的伴随多项式g（x）=（2a+6）x+16，由g（x）=-2x得 根据方程有正整数解，确定出整数a的值即可.

，再

=

根据题中的新定义确定

，再根据题中的

=

，

，

12．某服装厂生产一种西装和领带，西装每套定价400元，领带每条定价50元．厂方在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案： 方案①：买一套西装送一条领带； 方案②：西装和领带都按定价的90%付款．

现某客户要到该服装厂购买西装20套，领带x条（x＞20）

（1）若该客户按方案①购买，需付款________元（用含x的代数式表示）； 若该客户按方案②购买，需付款________元（用含x的代数式表示）； （2）若x=30，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算？

（3）若两种优惠方案可同时使用，当x=30时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方法并计算出此种方案的付款金额． 【答案】 （1）（50x+7000）；（45x+7200） （2）解：当 方案①： 方案②：

答：此时按方案①购买较为合算.

时

（3）解：用方案①买20套西装送20条领带，再用方案②买10条领带.

总价钱为 所以可以

【解析】【解答】解：（1）按方案①购买，需付款：400×20+（x-20）×50 = =

元； （元）

按方案②购买，需付款：400×90%×20+50×90%×x

【分析】（1）根据题意分别列出代数式，并整理；（2）把x=30代入（1）中两个代数式，计算结果得结论；（3）抓住省钱想方案．两种方案都选用．