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反函数求值
例1、设互为反函数，求
有反函数
的值．
，且函数
与
分析：本题对概念要求较强，而且函数不具体，无法通过算出反函数求解，所以不妨试试“赋值法”，即给变量一些适当的值看看能得到什么后果． 解：设在函数这样即有
，则点 的图象上，即
，从而
在函数
的图象上，从而点
．由反函数定义有
．
，
小结：利用反函数的概念，在不同式子间建立联系，此题考查对反函数概念的理解，符号间关系的理解．
两函数互为反函数,确定两函数的解析式
例2 若函数的值.
与函数 互为反函数，求
分析：常规思路是根据已知条件布列关于布列？如果注意到g(x)的定义域、值域已知，又义域与值域互换，有如下解法：
的三元方程组，关键是如何 与g(x)互为反函数，其定
解：∵ g(x)的定义域为
.
且 ， 的值域为
又∵g(x) 的定义域就是 ∵g(x) 的值域为
的值域, ∴
,
.
由条件可知 ∴
.
的定义域是 , ,
∴ .
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令 , 则 即点(3,1) 在 的图象上.
又 ∵ 与g(x) 互为反函数,
的对称点(1,3) 必在g(x)的图象上.
∴ (3,1) 关于
∴ 3=1+ , .
故 .
判断是否存在反函数
例3、给出下列函数:
(1) ； (2) ； (3) ；
(4) ； (5) .
其中不存在反函数的是__________________.
分析:判断一个函数是否有反函数,从概念上讲即看对函数值域内任意一个 ,依照这函数的对应法则,自变量 总有唯一确定的值与之对应,由于这种判断难度较大,故通常对给 出的函数的图象进行观察,断定是否具有反函数.
解: (1) ,(2)都没有问题,对于(3)当
.
对于(4)
时,
和
时, 和 ,且
.对于(5)当 时, 和 .
故(3),(4),(5)均不存在反函数.
小结:从图象上观察,只要看在相应的区间内是否单调即可.
求复合函数的反函数
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例4、已知函数 分析: 由于已知是
找到
解:令
,
由
得
.于是有
,再由 ,则
,所求是 求出
, ,求 的反函数.
的反函数,因此应首先由 的表达式,再求反函数.
, ,
.
,由于 ,
又
,的反函数是
. 的值域是
, .
小结:此题涉及对抽象函数符号的认识与理解,特别是在换元过程中,相应变量的取值范围也要随之发生改变,这一点是学生经常忽略的问题.
原来的函数与反函数解析式相同求系数
例5、已知函数试指出
与其反函数
是同一个一次函数
,
的所有取值可能.
的反函数的解析式,与
分析:此题可以有两种求解思路:一是求解
比较, 让对应系数相等,列出关于 的方程,二是利用两个函数
图象的对称性,找对称点,利用点的坐标满足解析式来列方程. 解：由上, 于是 又 于是
知点
在图象上,则点
定在
的图象
(1) 过点
(2)
,则点
也在
的图象上,
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由(1)得 当
或 ,当
.
时,代入(2),此时(2)恒成立即 ;
代入(2)解得
综上, 的所有取值可能有 或 .
小结:此题是反函数概念与方程思想的综合.在这个题目中特殊点的选取一般是考虑计算简单方便,而且这种取特殊点列方程的方法在其他地方也有应用,故对此种方法要引起重 视.另外此题在最后作答时,要求写出 的所有取值可能即要把 的取值与 的取值 搭配在一起,所以解方程组时要特别小心这一点. 选题角度：
反函数图象关系、将反函数问题转化为原函数、利用性质求解析式、两函数互为反函数，确定两函数的解析式判断是否存在反函数、求出反函数解析式解关于反函数的不等式、求复合函数的反函数、由原来函数运算关系证明反函数运算。
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