学生版-高中数学必修2直线与圆的位置关系知识点总结经典例题与习题

高中数学必修2

直线与圆的位置关系

【一】、圆的定义及其方程．

（1）圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)叫做圆，定点叫做圆心，定长就是半径；（圆心是定位条件，半径是定型条件）

（2）圆的标准方程： ；圆心(a,b)，半径为r；

2222xyDxEyF0(DE4F0)；圆心 ，半径为 ； 圆的一般方程：【二】、点与圆的位置关系（仅以标准方程为例，其他形式，则可化为标准式后按同样方法处理）

设

P(x0,y0)222(xa)(yb)r与圆；若P到圆心之距为d；

①P在在圆C外 ；

②P在在圆C内 ；

③P在在圆C上 ；

【三】、直线与圆的位置关系：

222C:(xa)(yb)rl:AxByC0设直线和圆，圆心C到直线l之距为d，由直线l和圆C联立方程组

消去x（或y）后，所得一元二次方程的判别式为，则它们的位置关系如下：

相离 ；相切 ；相交 ；

注意：这里用d与r的关系来判定，称为几何法，只有对圆才实用，也是最简便的方法；利用判定称为代数法，对讨论直线和二次曲线的位置关系都适应。

【四】、两圆的位置关系：

（1）代数法：解两个圆的方程所组成的二元二次方程组；若方程组有两组不同的实数解，则两圆相交；若方程组有两组相同的实数解，则两圆相切；若无实数解，两圆相离。

（2）几何法：设圆O1的半径为r1，圆O2的半径为r2

①两圆外离 ；②两圆外切 ；

③两圆相交 ；④两圆内切

⑤两圆内含 ；

五）

已知圆C：(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)，直线L：Ax+By+C=0

1．位置关系的判定：

判定方法1：联立方程组 得到关于x(或y)的方程

(1)△>0相交；

(2)△=0相切；

(3)△<0相离。

判定方法2：若圆心(a，b)到直线L的距离为d

(1)dr相离。

例1、判断直线L：(1+m)x+(1-m)y+2m-1=0与圆O：x2+y2=9的位置关系。

例2、求圆x2+y2=1上的点到直线3x+4y=25的距离的最大最小值

1．切线问题

例4、求过下列各点的圆C：x2+y2-2x+4y-4=0的切线方程：

(1) ； （2） B(4，5)

(2)已知圆O：x2+y2=16，求过点P(4,6)的圆的切线PT的方程。

注：

(1)判断直线与圆的位置关系有两种方法，但利用圆心到直线的距离与半径的关系来判断在计算上更简洁。

(2)过圆外一点向圆引切线，应有两条；过圆上一点作圆的切线，只有一条。

例6、从直线L：2x-y+10=0上一点做圆O：x2+y2=4的切线，切点为A、B，求四边形PAOB面积的

最小值。

2、弦长问题

例8、

(1)若点P(2，-1)为圆(x-1)2+y2=25的弦AB的中点，求直线AB的方程。

(2)若直线y=2x+b与圆x2+y2=4相交于A、B两点，求弦AB的中点M的轨迹。

(3)经过原点作圆x2+y2+2x-4y+4=0的割线l，交圆于A、B两点，求弦AB的中点M的轨迹。

精选习题：

1 在直角坐标系中，直线x3y30的倾斜角是（ ）

A．6 52B．3 C．6 D．3

2 直线axbyc0同时要经过第一 第二 第四象限，则a、b、c应满足（ ）

A．ab0,bc0 B．ab0,bc0 C．ab0,bc0 D．ab0,bc0

22xy4的位置关系是（ ） 3x4y90B．3 直线与圆

A．相交且过圆心 B．相切 C．相离 D．相交但不过圆心

4 过两点(1,1)和(3,9)的直线在x轴上的截距是( )

32A．2 B．3

2C．5 D．2

5.若直线ax+by=1与圆x2+y2=1相交，则点P(a，b)的位置是____

A.在圆上 B.在圆外 C.在圆内 D.以上皆有可能

6．已知点A(1,2),B(3,1)，则线段AB的垂直平分线的方程是（ ）

A．4x2y5 B．4x2y5 C．x2y5 D．x2y5

1A(2,3),B(3,2),C(,m)27．若三点共线 则m的值为（ ）

11Ａ．2 Ｂ．2 Ｃ．2 Ｄ．2

8．直线在轴上的截距是（ ）A．B．b C．

2D．

9．直线kxy13k，当k变动时，所有直线都通过定点（ ）

A．(0,0) B．(0,1) C．(3,1) D．(2,1)

10．直线xcosysina0与xsinycosb0的位置关系是（ ） A．平行 B．垂直 C．斜交 D．与a,b,的值有关

11．直线3xy30与6xmy10平行，则它们之间的距离为（ ）

2A．4 B．13135 C．26137 D．2010

12、若直线x1的倾斜角为，则（ ）

A、0 B、45 C、90 D、不存在

13．经过圆

x22xy20的圆心C，且与直线xy0垂直的直线方程是（ ） A．xy10 B．xy10 C．xy10 D．xy10

14（安徽文）直线xy1与圆

x2y22ay0(a0)没有公共点，则a的取值范围是 （ B．(21,21) C．(21,21) D．(0,21)

15、经过点A（1，2），且在两坐标轴上的截距相等的直线共有（ ）

A、1条 B、2条 C、3条 D、4条

16、方程

x24y20表示的图形是（ ） A、两条相交而不垂直的直线 B、一个点 C、两条垂直直线 D、两条平行直线

17、下列说法正确的是

A、

若直线l1与l2的斜率相等，则l1∥l2； B、若直线l1∥l2，则l1与l2的斜率相等；

C、若一条直线的斜率存在，另一条直线的斜率不存在，则它们一定相交；

A．(0,21) ）

D、若直线l1与l2的斜率都不存在，则l1∥l2

22xy1 上移动时，它与定点B(3,0)连线的中点的轨迹方程是( ) 8 动点在圆

A．(x3)y4

22B．(x3)y1C．(2x3)4y1

222231(x)2y222 D．

19.直线l过点A(0，2)且与半圆C：(x-1)2+y2=1(y≥0)有两个不同的交点，则直线l的斜率的范围是____

2220已知点M(a,b)在直线3x4y15上，则ab的最小值为

21、m为任意实数时，直线（m－1）x＋(2m－1)y＝m－5必过定点 。

22.若圆x2+y2-4x-5=0上的点到直线3x-4y+k=0距离的最大值是4，求k

23.一个圆经过点P(2，-1)和直线x-y=1相切，且圆心在y=-2x上，求它的方程。

24.24.已知点P是圆x2+y2=4上一动点，定点Q(4，0)，求线段PQ中点的轨迹方程。

2225．已知过点M(3,3)的直线l被圆xy4y210所截得的弦长为45，求直线l 的方程．