数学归纳法知识点综合

数学归纳法是用于证明与正整数n有关的数学命题的正确性的一种严格的推理方法．在数学竞赛中占有很重要的地位． （1）第一数学归纳法

设P(n)是一个与正整数有关的命题，如果

① nn0（n0N1．数学归纳法的基本形式）时，P(n)成立；

②假设nk(kn0,kN)成立，由此推得nk1时，P(n)也成立，那么，根据①②对一切正整数nn0时，P(n)成立． （2）第二数学归纳法

设P(n)是一个与正整数有关的命题，如果 ①当nn0（n0N）时，P(n)成立；

②假设nk(kn0,kN)成立，由此推得nk1时，P(n)也成立，那么，根据①②对一切正整数nn0时，P(n)成立． 2．数学归纳法的其他形式 （1）跳跃数学归纳法

①当n1,2,3,,l时，P(1),P(2),P(3),,P(l)成立，

②假设nk时P(k)成立，由此推得nkl时，那么，根据①②对一切正整数n1P(n)也成立，时，P(n)成立． （2）反向数学归纳法

设P(n)是一个与正整数有关的命题，如果 ① P(n)对无限多个正整数n成立；

②假设nk时，命题P(k)成立，则当nk1时命题P(k1)也成立，那么根据①②对一切正整数n1时，P(n)成立．

例如，用数学归纳法证明：

在证明中，由

真，不易证出

为非负实数，有

真；然而却很容易证出

真，又容易证 ，不等式成立．

明不等式对无穷多个 （只要（3）螺旋式归纳法

型的自然数）为真；从而证明

P（n），Q（n）为两个与自然数 有关的命题，假如 ①P(n0)成立；

②假设 P(k) (k>n0)成立，能推出Q(k)成立，假设 Q(k)成立，能推出 P(k+1)成立； 综合（1）（2）,对于一切自然数n（>n0），P(n),Q(n)都成立； （4）双重归纳法 设①②若由

是一个含有两上自然数 与

对任意自然数 和

的命题． 成立；

成立； 均成立．

成立，能推出

对一切自然数

根据（1）、（2）可断定，3．应用数学归纳法的技巧

（1）起点前移：有些命题对一切大于等于1的正整数正整数n都成立，但命题本身对n0也成立，而且验证起来比验证n1时容易，因此用验证n0成立代替验证n1，同理，其他起点也可以前移，只要前移的起点成立且容易验证就可以．因而为了便于起步，有意前移起点． （2）起点增多：有些命题在由nk向nk1跨进时，需要经其他特殊情形作为基础，此时往往需要补充验证某些特殊情形，因此需要适当增多起点．

（3）加大跨度：有些命题为了减少归纳中的困难，适当可以改变跨度，但注意起点也应相应增多．

（4）选择合适的假设方式：归纳假设为一定要拘泥于“假设nk时命题成立”不可，需要根据题意采取第一、第二、跳跃、反向数学归纳法中的某一形式，灵活选择使用．

（5）变换命题：有些命题在用数学归纳证明时，需要引进一个辅助命题帮助证明，或者需要改变命题即将命题一般化或加强命题才能满足归纳的需要，才能顺利进行证明． 5．归纳、猜想和证明

在数学中经常通过特例或根据一部分对象得出的结论可能是正确的，也可能是错误的，这种不严格的推理方法称为不完全归纳法．不完全归纳法得出的结论，只能是一种猜想，其正确与否，必须进一步检验或证明，经常采用数学归纳法证明．不完全归纳法是发现规律、解决问题极好的方法．

从0以外的数字开始

如果我们想证明的命题并不是针对全部自然数，而只是针对所有大于等于某个数字b的自然数，那么证明的步骤需要做如下修改：

第一步，证明当n=b时命题成立。 第二步，证明如果n=m(m≥b)成立，那么可以推导出n=m+1也成立。 用这个方法可以证明诸如“当n≥3时，n2>2n”这一类命题。 只针对偶数或只针对奇数

如果我们想证明的命题并不是针对全部自然数，而只是针对所有奇数或偶数，那么证明的步骤需要做如下修改： 奇数方面：

第一步，证明当n=1时命题成立。 第二步，证明如果n=m成立，那么可以推导出n=m+2也成立。 偶数方面：

第一步，证明当n=0或2时命题成立。 第二步，证明如果n=m成立，那么可以推导出n=m+2也成立。

递降归纳法

数学归纳法并不是只能应用于形如“对任意的n”这样的命题。对于形如“对任意的n=0,1,2,...,m”这样的命题，如果对一般的n比较复杂，而n=m比较容易验证，并且我们可以实现从k到k-1的递推，k=1,...,m的话，我们就能应用归纳法得到对于任意的n=0,1,2,...,m，原命题均成立。

（一）第一数学归纳法：

一般地，证明一个与自然数n有关的命题P(n），有如下步骤：

（1）证明当n取第一个值n0时命题成立。n0对于一般数列取值为0或1，但也有特殊情况；

（2）假设当n=k（k≥n0，k为自然数）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。 综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），命题P(n）都成立。 （二）第二数学归纳法：

对于某个与自然数有关的命题P(n）， （1）验证n=n0时P(n）成立；

（2）假设n0≤n<=k时P(n）成立，并在此基础上，推出P(k+1）成立。 综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），命题P(n）都成立。 （三）倒推归纳法（反向归纳法）：

（1）验证对于无穷多个自然数n命题P(n）成立（无穷多个自然数可以是一个无穷数列中的数，如对于算术几何不等式的证明，可以是2^k，k≥1）；

（2）假设P(k+1）（k≥n0）成立，并在此基础上，推出P(k）成立， 综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），命题P(n）都成立； （四）螺旋式归纳法

对两个与自然数有关的命题P(n），Q(n）， （1）验证n=n0时P(n）成立；

（2）假设P(k）（k>n0）成立，能推出Q(k）成立，假设 Q(k）成立，能推出 P(k+1）成立；

综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），P(n），Q(n）都成立。