控制论

第三章 控制系统的运动分析

3-1 线性定常连续系统状态方程求解

一、齐次状态方程的解

X(t)eAtX(0)

eAtIAt1221AtAktk 2!k!eAtX(0)X(t)

二、非齐次状态方程的解

X(t)e式中eA(tt0)A(tt0)X(t0)eA(t)BU()d

t0t称为状态转移矩阵，以通用符号(tt0)代之，上式又可写为

tt0X(t)(tt0)X(t0)(t)BU()d

这里，右边第一项是输入向量为零时初始状态的转移，或称为系统的零输入响应，描述了由初

始状态引起的自由运动；右边第二项是系统初始状态为零时，起因于输入向量的状态转移，也称为系统的零状态响应，反映了系统在输入向量控制作用下引起的受控运动。需要指出的是，正是由于第二项的存在，才提供了对系统施加有效控制的可能性，我们可以通过选择合适的输入向量U(t)，使系统的状态X(t)按我们期望的要求动作。 三、 拉氏变换法

对非齐次状态方程式

(t)AX(t)BU(t) X设初始时刻t0=0，初始状态为X(t0），对上式进行拉氏变换，得 sX(s)-X(t0）AX(s)BU(s) 即 X(s)(sI-A)-1X(t0）+(sI-A)-1BU(s) 再对上式两边作拉氏反变换，有

-11-1 X(t)L1(SI-A)X(t0)L(SI-A)BU(s) 由微分方程解的唯一性可推出

-1(t)eAtL1(SI-A)

3-2 状态转移矩阵的性质及其计算方法

一、状态转移矩阵的计算方法

状态转移矩阵(t)或eAt的计算方法较常用的有四种。 1． 根据定义直接计算法

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2. 拉氏变换计算法

3．化系统矩阵A为规范形计算法

（1） A矩阵特征值两两互异时 （2）A矩阵具有重特征值时

由此可知，通过线性变换规范化计算状态转移矩阵的意义在于，当eAt较难计算时，可先将A矩阵作非奇异线性变换使之规范化，再利用易于得到的规范形系统矩阵Λ（或J）的矩阵指数et（或eJt）来求取系统状态转移矩阵(t)，亦即eAt。这种方法的关键步骤就是找到使系统矩阵规范化的变换矩阵。

4. 待定系数计算法

所谓待定系数计算法就是应用凯莱—哈密顿（Cayley-Hamilton）定理求取(t)的方法。 凯莱——哈密顿定理告诉我们：n×n矩阵A满足自身的特征多项式。由该定理可推导出，矩阵无穷级数eAt可等价为一个A的最高次幂为n-1的有限项（n项）幂级数表达式，即

(t)eAtIAt1221nnAtAt （1） 2!n!n10(t)I1(t)An1(t)A式中，i(t),i0,1,,(n1)为待定系数。 i(t)的计算方法是：

（1）A的特征值1,2,,n两两互异时

应用凯莱——哈密顿定理，i和A均是特征多项式的零根，即 eit0(t)1(t)1n1(t)in1111 i1,2,,n

e1te2t或写成： ten2n1111(t)0n122221(t) （2）

n2n111n1n(t)n10(t)于是有： 1(t)(t)2211222n2nn11n12n1ne1te2t （3） nte（2）A的特征值均相同时

设系统矩阵A的特征值均为1，则待定系统i(t)的计算公式为

0 000(t)0(t)001 n3(t)001n2(t)0121n1(t)1211 011n2(n1)1(n1)(n2)n312!(n1)1n21n1111n11tt(n1)!e1n21tt(n2)!e （4）

121tte2!1tte1te35

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（3）当A的n个特征值有重特征值和互异特征值时，待定系数i(t)可以根据式（4）和式（3）确定；然后代入式（1）求出状态转移矩阵(t)。

3-3 线性离散系统状态方程求解

线性定常离散系统的状态空间表达式为

X(K1)AX(K)BU(K) （5） Y(K)CX(K)DU(K) （6） 式中，X(k)为n维状态向量；U(k)为r维输入向量；Y(k)为l维输出向量。A为n×n矩阵，B为n×r矩阵，C为l×n矩阵，D为l×r矩阵。

离散系统状态方程的求解方法主要有两种：一种是迭代法，也称递推法，它对定常和时变离散系统都适用；还有一种是Z变换法，它只能应用于定常离散系统。

一、 迭代法

迭代法就是根据已知的矩阵差分方程，从初始状态出发，一步一步递推求解的方法。 如对式（5）所描述的系统，若给定k=0时的初始状态X（0），以及K=0，1，2，……时的输入向量U(k)，对于k>0的任意时刻，系统的状态变化可递推求出，即为

X(1)AX(0)BU(0)X(2)AX(1)BU(1)A2X(0)ABU(0)BU(1)

X(3)AX(2)BU(2)A3X(0)A2BU(0)ABU(1)BU(2)X(K)AX(k1)BU(k1)AkX(0)Ak1BU(0)Ak2BU(1)ABU(k2)BU(k1)

或写成

X(k)AX(0)kAj0k1kj1BU(j) （7）

式中，K=1，2，3，…；j=0，1，2，…，k-1。

这里得到的式（7）就是线性定常离散系统状态方程的通解形式，此式也称为系统的状态转移方程。

分析以上所得离散系统状态方程的求解公式，可得到如下几点结论：

（1）离散系统状态方程的解是状态空间中的一条离散轨迹。它与连续系统状态方程的解是相似的，也分两部分：第一部分AkX(0)只与系统的初始状态有关，它是由初始状态引起的自由运动分量；第二部分是由输入的各次采样信号引起的受控运动分量，其值与控制作用U的大小、性质及系统的结构有关。

（2）在输入引起的响应中，系统第k个采样时刻的状态只取决于所有此时刻前的输入采样值，而与第k个采样时刻的输入量U (k)无关。这表明惯性是一切实际物理系统的基本特性。

（3）与连续系统状态方程的解对照，对于线性定常离散系统来说，状态转移矩阵就是A，即

k(k)Ak （8）

因此，式（7）即线性定常离散系统状态方程的解也可表示为

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k1j0 X(k)(k)X(0)(kj1)BU(j) （9）

若进行变量代换，令I = k - j - 1，则式（9）改写为 X(k)(k)X(0)(i)BU(ki1) （10）

i0k1相应地，式（6）离散系统的输出方程可写为 Y(k)C(k)X(0)C或

Y(k)C(k)X(0)C(kj1)BU(j)DU(k) （11）

j0k1(i)BU(ki1)DU(k) （12）

j0k1显然，用迭代法求解，得到的解的形式为数值序列，解式的计算很繁琐，但用计算机计算却非常方便。

二、 Z变换法

对于线性定常离散系统的状态方程，也可用Z变换方法求解。

如式（5）所描述的线性定常离散系统，先对状态方程的两边进行Z变换，有 ZX(z)ZX(0)AX(z)BU(z) 移项、整理后得

11 X(z)(ZIA)ZX(0)(ZIA)BU(z)

对上式两边取Z反变换，便得到离散状态方程的时域解

X(k)Z1[(ZIA)1ZX(0)]Z1[(ZIA)1BU(z)] （13） 比较式（7）和式（13），可知

AkX(0)Z1[(ZIA)1ZX(0)] 和

Aj0k1kj1BU(j)Z[(ZIA)BU(z)]

11显然，线性定常离散系统的状态转移矩阵为

(k)Z1[(ZIA)1Z] （14）

从这里我们也看到，用Z变换法求得的是一种闭合形式的解析解，将k = 0，1，2，3，…代入X(k)，就得到系统状态变化的离散轨迹。

至于求系统的输出响应，同迭代法一样，只要将求得的X（k）代入系统的输出方程即可，也就是式（11）。同连续系统一样，离散系统的输出Y（k）也包含三部分。在式（11）或式（12）中，右边第一项为系统的零输入响应；第二项为零状态响应；第三项为直接传输项，有时等于零。

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3-4 线性定常连续状态方程的离散化求解

数字计算机只能处理离散并已量化的数字量，因此，当采用数字计算机对连续时间状态方程求解时，必须先将其化为离散时间状态方程。我们把将系统的矩阵微分方程转化为矩阵差分方程的这种转化，就称之为连续状态方程的离散化。

下面我们讨论线性定常连续系统状态方程的离散化。

在前面3-1线性定常连续系统状态方程的求解一节中，我们已获取，其解的一般式为 X(t)eA(tt0)X(t0)tt0eA(t)BU()d

在上式中，取t0kT,t(k1)T，可得 X[(k1)T]eATX(KT)再对上式的积分式作变量代换，即

KT （式中 0T） （16） 则有

X[(k1)T]eATX(KT)(k1)TKTeA[(K1)T]BU()d （15）

T0eA(T)BU(KT)d （17）

若输入向量U(t)的各元ui(t)均为阶梯函数，即在每个采样周期内为常数，存在以下关系式 ui(KT)ui(KT) （18） 这里，i=1，2，…；k=0，1，2，…。

于是式（17）可改写为

X[(k1)T]eATX(KT)T0eA(T)BdU(KT) （19）

显然，一旦采样周期T取定，则X（KT）和U（KT）前面的量就是常系数矩阵，我们把它们记为

A(T)eAT （20） B(T)T0eA(T)BdeAtBdteAtBdt （21）

T00T这样，就得到了连续状态方程的离散化方程

X[(k1)T]A(T)X(KT)B(T)U(KT) （22）

有了式（22）离散化方程后，线性定常连续系统的状态方程的解也就能方便地利用数字计算机求得。我们也看到，离散化求解的关键就是根据选定的采样周期T计算出A(T)和B(T)。其余的步骤，包括输出方程求解，均与离散系统状态空间表达式的求解毫无二致。

最后还需指出，在采样周期T取值较小时，即一般当T为系统最小时间常数的1/10左右时，离散化的状态方程可近似表示为

X[(k1)T](ITA)X(KT)TBU(KT) （23）

亦即

A(T)ITA （24） B(T)TB （25）

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例2.3.5 试将下列连续状态方程离散化

 X00 10X1u 2解 a. 按式（2-3-47）和式（2-3-48）计算A(T)和B(T)：

A(T)eAt11L(SIA)tTtT1s 11 L0s2

101(1e2T)2e2TTTB(T)eAtBdt0012t1 (1e)0dt22t10e1e2T1

(T)02211(1e2T)2

T0111(Te2T)22212T1e22b. 由式（22）写出离散化状态方程

1e2T112T2(T2)1 (1e)X(KT)X[(k1)T]u(KT) 22T1(1e2T)0e2T1 00T11TA02T012T 01 c. 按式（24）和式（25）作近似离散化，则有 A(T)eAT0 B(T)TBT

d. 将上述两种计算方法在选择不同采样周期T时的计算结果列表比较，可知在T=0.01 Sec时，两者已吻合。见表2-3-1。

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表2-3-1 采样周期T的取值对离散化的影响

A(T) B(T)  按式（20）计算 1012T(1e) 22Te按式（24）计算 按式（21）计算 2T1e1(T)22 12T(1e)2按式（25）计算 0 TT=秒 1 T02T T=1秒 101010 0.432 0.135 0.091 0.819 0.01 0.981 101 10100.2840.432 0.0048 0.0910 10 0.10 0.01T=0.1秒 0.1 0.8 0.01 0.98T=0.01秒

00.01  40