高考数学压轴专题2020-2021备战高考《三角函数与解三角形》分类汇编附解析

一、选择题

1．设函数f(x)3sin(2x)cos(2x)(||称，则（ ）

A．yf(x)的最小正周期为，且在(0,B．yf(x)的最小正周期为

2)，且其图像关于直线x0对

2)上为增函数

，且在(0,)上为增函数 24C．yf(x)的最小正周期为，且在(0,)上为减函数

2D．yf(x)的最小正周期为，且在(0,)上为减函数

24【答案】C 【解析】

试题分析：f(x)3sin(2x)cos(2x)2sin(2x线x0对称，

∴函数f(x)为偶函数，∴∵0x6)，∵函数图像关于直

3，∴f(x)2cos2x，∴T2， 22，∴02x，∴函数f(x)在(0,2)上为减函数.

考点：1.三角函数式的化简；2.三角函数的奇偶性；3.三角函数的周期；4.三角函数的单调性.

sin(xa),x02．已知函数f(x)的图像关于y轴对称，则ysinx的图像向左平移

cos(xb),x0（ ）个单位，可以得到ycos(xab)的图像（ ）. A．

 4B．

 3C．

 2D．

【答案】D 【解析】 【分析】

根据条件确定a,b关系，再化简ycosxab，最后根据诱导公式确定选项. 【详解】

sinxa,x0因为函数fx的图像关于y轴对称，所以

cosxb,x0sinacosb，sinacosb，即22sinbcosa，sinacosb，因此abπ2kπ(kZ)， 2从而ycosxabsinxsinx,选D. 【点睛】

本题考查偶函数性质、诱导公式、三角函数图象变换，考查基本分析识别能力，属中档题.

3．已知函数f（x）＝2x－1，gxacosx2,x0?（a∈R），若对任意x1∈[1，＋2x2a,x0137U1,21,U,2 D．224∞），总存在x2∈R，使f（x1）＝g（x2），则实数a的取值范围是（） A．,1 2B．2, 3C．,【答案】C 【解析】 【分析】

对a分a=0,a＜0和a＞0讨论，a＞0时分两种情况讨论，比较两个函数的值域的关系，即得实数a的取值范围. 【详解】

当a=0时，函数f（x）＝2x－1的值域为[1,+∞），函数gx的值域为[0,++∞），满足题意. 当a＜0时，y=x2a(x0)的值域为（2a,+∞）, y=acosx2x0的值域为[a+2,-a+2],

2因为a+2-2a=2-a>0,所以a+2＞2a, 所以此时函数g(x)的值域为（2a,+∞）, 由题得2a＜1，即a＜

21，即a＜0. 2当a＞0时，y=x2a(x0)的值域为（2a,+∞）,y=acosx2x0的值域为[-a+2,a+2], 当a≥

a212,1a2. -a+2≤2a,时，由题得3a22a211时，-a+2＞2a，由题得2a＜1，所以a＜.所以0＜a＜. 3221或1≤a≤2， 2当0＜a＜

综合得a的范围为a＜故选C. 【点睛】

本题主要考查函数的图象和性质，考查指数函数和三角函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

4．已知函数f(x)2sin(x)0,,的部分图象如图所示，其中f01，

2|MN|5，则点M的横坐标为（ ） 2

A．

1 2B．2 5C．1 D．2 3【答案】C 【解析】 【分析】 由f(0)1求出【详解】

由函数f(x)2sin(x)0,,的部分图象，

255，由|MN|，再根据f(x)2可得答案.

236可得f(0)2sin1，25， 6512， |MN|222345函数f(x)2sinx，

365令2sinx63得

2， 3x52k,k0得x1. 62故选：C. 【点睛】

本题主要考查三角函数的图象与性质，考查了数形结合思想的应用，解题的关键是利用勾股定理列方程求出3，属于中档题.

5．如图，直三棱柱ABCABC的侧棱长为3，ABBC，ABBC3，点E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AEBF，当三棱锥BEBF的体积取得最大值时，则异面直线AF与AC所成的角为（ ）

A．

 2B．

 3C．

 4D．

 6【答案】C 【解析】 【分析】

设AEBFa，VBEBF1SVEBFBB，利用基本不等式，确定点 3E，F的位置，然后根据EF//AC，得到AFE即为异面直线AF与AC所成的角，再利用余弦定理求解. 【详解】

设AEBFa，则VBEBFa3a119a3a3，当且仅当32882a3a，即a3时等号成立， 2即当三棱锥BEBF的体积取得最大值时，点E，F分别是棱AB，BC的中点， 方法一：连接AE，AF，则AE3395，AF5，AFAA2AF2，222EF132， AC22因为EF//AC，所以AFE即为异面直线AF与AC所成的角，

81945AFEFAE4242， 由余弦定理得cosAFE932AFEF22222∴AFE．

4方法二：以B为坐标原点，以BC、BA、BB分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，

222

则A0,3,0，C3,0,0，A0,3,3，F3,0,0， 2uuuur3uuur∴AF,3,3，AC3,3,0，

29uuuuruuur9uuuuruuurAFAC2uruuur2所以cosAF,ACuuu，

92AFAC322所以异面直线AF与AC所成的角为故选：C 【点睛】

本题主要考查异面直线所成的角，余弦定理，基本不等式以及向量法求角，还考查了推理论证运算求解的能力，属于中档题.

． 4

6．已知在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若

2bcosCccosB，则

A．111的最小值为（ ） tanAtanBtanCC．27 3B．5 7 3D．25 【答案】A 【解析】 【分析】

先根据已知条件，把边化成角得到B,C关系式，结合均值定理可求. 【详解】

∵2bcosCccosB，∴2sinBcosCsinCcosB， ∴tanC2tanB.又ABC， ∴

tanAtanBCtanBCtanBtanC3tanB3tanB，

1tanBtanC12tan2B2tan2B1271112tan2B111tanB. ∴6tanBtanAtanBtanC3tanBtanB2tanB3又∵在锐角ABC中, tanB0,∴

272727，当且tanB2tanB36tanB36tanB3仅当tanB7时取等号， 2∴11271，故选A. tanAtanBtanC3min【点睛】

本题主要考查正弦定理和均值定理，解三角形时边角互化是求解的主要策略，侧重考查数算的核心素养.

7．在ABC中，若sinA:sinB:sinC2:3:4，则ABC是（ ） A．直角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】

由题意利用正弦定理，推出a，b，c的关系，然后利用余弦定理求出cosC的值，即可得解． 【详解】

∵sinA：sinB：sinC=2：3：4

∴由正弦定理可得：a：b：c=2：3：4， ∴不妨令a=2x，b=3x，c=4x，

B．钝角三角形

C．锐角三角形

D．等腰直角三角形

1a2b2c24x29x216x2==﹣， ∴由余弦定理：c=a+b﹣2abcosC，所以cosC=

422x3x2ab∵0＜C＜π， ∴C为钝角． 故选B． 【点睛】

本题是基础题，考查正弦定理，余弦定理的应用，考查计算能力，常考题型．

2

2

2

x2y28．已知F1、F2分别为双曲线1的左、右焦点，M为双曲线右支上一点且满足

46uuuuvuuuuvMF1MF20，若直线MF2与双曲线的另一个交点为N，则MF1N的面积为（ ）

A．12 【答案】C 【解析】 【分析】

设MF1MF2，可求出m6，n2，再1m，MF2n，根据双曲线的定义和MF设NF2t，则NF14t根据勾股定理求出t6即可求出三角形的面积. 【详解】

解：设MF1m，MF2n，

B．122

C．24

D．242 x2y2∵F1、F2分别为双曲线1的左、右焦点，

46∴mn2a4，F1F22c210.

uuuuvuuuuv∵MF， 1MF20∴MF1MF2，

∴m2n24c240， ∴mnm2n22mn， 即2mn401624， ∴mn12， 解得m6，n2，

设NF2t，则NF12at4t， 在RtNMF1中可得4tt262， 解得t6， ∴MN628， ∴MF1N的面积S故选C．

22211MNMF18624. 22

【点睛】

本题考查了双曲线的定义和向量的数量积和三角形的面积，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．

9．定义在R上的函数fx既是偶函数又是周期函数，若fx的最小正周期是π，且当

πx0,时，fxsinx，则

2A．5πf的值为( ) 3C．3 21 2B．3 2D．

1 2【答案】B

【解析】 分析：要求f53，则必须用fxsinx来求解，通过奇偶性和周期性，将变量转化到区间0，上，再应用其解析式求解 详解：Qfx的最小正周期是

2

5f35f2f 33Qfx是偶函数

ff，

335f3f 3Q当x0，时，fxsinx，

253故选B

则f3 f sin332点睛：本题是一道关于正弦函数的题目，掌握正弦函数的周期性是解题的关键，考查了函数的周期性和函数单调性的性质．

10．在ABC中，A600,BC10,D是边AB上的一点，CD为1，

则BD的长为（ ） A．

2,CBD的面积

3 2B．4 C．2 D．1

【答案】C 【解析】

11210sinBCD1sinBCD 25BD210221022224BD2,选C 5

11．函数fxcos2xx,2的图象与函数gxsinx的图象的交点横坐标的和为（ ） A．

5π 3B．2

C．

7 6D．

【答案】B 【解析】

【分析】

根据两个函数相等，求出所有交点的横坐标，然后求和即可. 【详解】

令sinxcos2x，有sinx12sin2x，所以sinx1或sinx所以x1.又x,2，235或x或x或x，所以函数fxcos2xx,2的图2266象与函数gxsinx的图象交点的横坐标的和s【点睛】

2352，故选B. 266本题主要考查三角函数的图象及给值求角，侧重考查数学建模和数算的核心素养.

12．已知函数f(x)3cos(2f(x)f(x2)成x2)，若对于任意的xR，都有f(x1)剟立，则x1x2的最小值为（ ） A．4 【答案】D 【解析】 【分析】

由题意得出fx的一个最大值为fx2，一个最小值为fx1，于此得出x1x2的最小值为函数yfx的半个周期，于此得出答案． 【详解】

B．1

C．

1 2D．2

fxfx2成立. 对任意的xR，fx1剟所以fx2fxmin3，fx2fxmax3，所以x1x2【点睛】

本题考查正余弦型函数的周期性，根据题中条件得出函数的最值是解题的关键，另外就是灵活利用正余弦型函数的周期公式，考查分析问题的能力，属于中等题．

minT2，故选D． 2

13．已知0,，sinA．

3cos2，则（ ） 356C．

24 25B．24 257 25D．7 25【答案】B 【解析】 【分析】

根据余弦的二倍角公式先利用sin3求得cos223.再由诱导公式求出sin2,再利用同角三角函数关系中的平方关系求得cos2.根据角的取值范

66围,舍去不合要求的解即可. 【详解】 因为sin3 352由余弦二倍角公式可得cos23而cos2732 12sin123525223cos2sin2

6267 25所以sin22cos263由同角三角函数关系式可得cos2因为0, 则2421sin2 66254,3333sin,而0 35所以则, 33, 33所以22,2 3332,3262又因为sin2故cos232,,即662 732, 0,所以626250 6所以cos2故选:B 【点睛】

24 625本题考查了同角三角函数关系式及诱导公式的化简应用,三角函数恒等变形及角的范围确定,

综合性较强,属于中档题.

yaf(x)tanx14．直线与函数(0)的图象的相邻两个交点的距离为42，若fx在m,mm0上是增函数，则m的取值范围是（ ）

A．(0,

4

] B．(0,]

2C．(0,3] 4D．(0,3] 2【答案】B 【解析】 【分析】

根据直线ya与函数fx的图象的相邻两个交点的距离为一个周期，得到1，则21fxtanx，然后求得其单调增区间，再根据fx在m,mm0上是增

42函数，由(m,m)是增区间的子集求解. 【详解】

因为直线ya与函数fx的图象的相邻两个交点的距离为一个周期， 所以由k11，fxtanx，

42213xk，得2kx2k(kZ)， 242223,上是增函数， 222所以fx在由(m,m)解得0m故选：B 【点睛】

3,， 22.

2本题主要考查正切函数的图象和性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题

15．在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且ABC的面积S25cosC，且

a1,b25，则c（ ）

A．15 【答案】B 【解析】

B．17

C．19 D．21 由题意得，三角形的面积S 所以cosC1absinC25cosC，所以tanC2， 25， 5 由余弦定理得c2a2b22abcosC17，所以c17，故选B.

16．在三角形ABC中，给出命题p:“abc2”，命题q:“CA．充分不必要条件 C．充分必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】

由余弦定理将c2化为a2b22abcosC，整理后利用基本不等式求得12cosC2，求出C范围，即可判断充分性，取a4，b7，c6，则可判断必要性不成立，两者结合可得正确的选项. 【详解】

充分性：由余弦定理，c2a2b22abcosC， 所以abc2，即aba2b22abcosC，

3”，则p是q的（ ）

B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

a2b2整理得，12cosC，

aba2b22a2b2由基本不等式，2，

abab当且仅当ab时等号成立， 此时，12cosC2，即cosC充分性得证；

必要性：取a4，b7，c6，则cosC故C164936291，

2475621，解得C， 233，但ab28c2，故C3推不出abc2.

故必要性不成立； 故p是q的充分不必要条件. 故选：A 【点睛】

本题主要考查充分必要条件的判断、余弦定理的应用和基本不等式的应用，考查学生分析转化能力，属于中档题.

17．函数f(x)sin(x)3cos(x)（ω＞0）的图像过点（1，2），若f（x）相邻的两个零点x1，x2满足|x1－x2|＝6，则f（x）的单调增区间为（ ） A．[－2＋12k，4＋12k]（k∈Z） C．[1＋12k，7＋12k]（k∈Z） 【答案】B 【解析】 【分析】

由题意得fx2sinxB．[－5＋12k，1＋12k]（k∈Z） D．[－2＋6k，1＋6k]（k∈Z）

，根据相邻两个零点满足x1x26得到周期为3．再根据函数图象过点1,2求出2k(kZ)，于是可得函6数的解析式，然后可求出单调增区间． 【详解】

T12，于是可得由题意得fxsinx3cosx2sinx∵fx相邻的两个零点x1，x2满足x1x26， ∴函数fx的周期为T12， ∴， 3， 6∴fx2sinx．

36又函数图象过点1,2， ∴2sin2sin2cos2，

362∴cos1， ∴2k(kZ)， ∴fx2sin由x．

362k,kZ，

2632得512kx112k,kZ，

x∴fx的单调增区间为512k,112kkZ． 故选B． 【点睛】

解答本题的关键是从题中所给的信息中得到相关数据，进而得到函数的解析式，然后再求出函数的单调递增区间，解体时注意整体代换思想的运用，考查三角函数的性质和应用，

2k属于基础题．

18．

40cos2xdx（ ）

cosxsinxB．21

C．21

D．22 A．2(21) 【答案】C 【解析】 【分析】

利用三角恒等变换中的倍角公式，对被积函数进行化简，再求积分. 【详解】

cos2xcos2xsin2x因为cosxsinx，

cosxsinxcosxsinx44cos2xdx(cosxsinx)dx(sinxcosx)421，故选C． ∴cosxsinx000【点睛】

本题考查三角恒等变换知与微积分基本定理的交汇.

19．化简

sin235sin2012=（ ）

B．A．

1 21 2C．1 D．1

【答案】B 【解析】 【分析】

利用降次公式和诱导公式化简所求表达式，由此求得正确结论. 【详解】

1cos70o11cos70o1sin20o1，故选B. 依题意，原式22sin20o2sin20o2sin20o2【点睛】

本小题主要考查三角函数降次公式，考查三角函数诱导公式，属于基础题.

20．将函数ysin(2x4(m,m)上无极值点，则m的最大值为（ ）

)的图象向左平移

个单位，所得图象对应的函数在区间43 8A．

 8B．

 4C．D．

 2【答案】A 【解析】 【分析】

由三角函数的图象变换，求得函数ysin2x，求得增区间433,，进而根k,k,kZ，令，可得函数的单调递增区间为k08888ysin2x据函数在区间m,m上无极值点，即可求解. 4【详解】

由题意，将函数ysin2x可得函数ysin2x令4的图象向左平移

个单位， 42sin2x， 4442k,kZ，解得3kxk,kZ 8822k2x4即函数ysin2x4的单调递增区间为3k,k,kZ，

88令k0，可得函数的单调递增区间为又由函数ysin2x【点睛】

3,， 884在区间m,m上无极值点，则m的最大值为

，故选A. 8本题主要考查了三角函数的图象变换，以及三角函数的性质的应用，其中解答中熟练应用三角函数的图象变换得到函数的解析式，再根据三角函数的性质，求得其单调递增区间是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于中档试题.