2021-2022学年江苏省徐州市沛县八年级(上)期中数学试卷(附答案详解)

2021-2022学年江苏省徐州市沛县八年级（上）期中数学

试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分） 1. 下列图形中，是轴对称图形的是( )

A.

B. C.

D.

2. 如图，两个三角形是全等三角形，则∠𝛼的度数是( )

A. 50° B. 58° C. 60° D. 72°

3. 如图，△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=𝐴𝐶，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶于点𝐷，下列结

论中不一定正确的是( )

A. ∠𝐵=∠𝐶 B. 𝐵𝐶=2𝐵𝐷 C. ∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐶𝐴𝐷 D. 𝐴𝐷=2𝐵𝐶

4. 如图，木工师傅做门框时，常用木条𝐸𝐹固定长方形门框𝐴𝐵𝐶𝐷，

使其不易变形，这种做法的依据是( )

1

A. 三角形稳定性 B. 长方形是轴对称图形 C. 两点之间线段最短 D. 两点确定一条直线

5. 使两个直角三角形全等的条件是( )

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A. 一个锐角对应相等 C. 一条边对应相等

B. 两个锐角对应相等 D. 两条边对应相等

6. 如图，已知𝐴𝑃平分∠𝐵𝐴𝐶，点𝑀、𝑁分别在边𝐴𝐵、𝐴𝐶上，若

添加一个条件，即可推出𝐴𝑀=𝐴𝑁，则该条件不可以是( )

A. 𝑀𝑁⊥𝐴𝑃 B. 𝑀𝑃=𝑁𝑃 C. ∠𝐴𝑃𝑀=∠𝐴𝑃𝑁 D. ∠𝐴𝑀𝑃=∠𝐴𝑁𝑃

7. 用三张正方形纸片，按如图所示方式构成图案，若要使所围

成阴影部分的三角形是直角三角形，则选取的三个正方形纸片的面积不可以是( )

A. 1，2，3 B. 2，2，4 C. 3，4，5 D. 2，3，5

8. 如图，直线𝑙1、𝑙2相交于点𝐴，点𝐵是直线外一点，在直

线𝑙1、𝑙2上找一点𝐶，使△𝐴𝐵𝐶为一个等腰三角形．满足条件的点𝐶有( )

A. 2个 B. 4个 C. 6个 D. 8个

二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）

9. 如图，在正方形方格中，阴影部分是涂黑7个小正方形所形成

的图案，再将方格内空白的一个小正方形涂黑，使得到的新图案成为一个轴对称图形的涂法有______种．

10. 甲、乙两人同时从同一地点出发，甲往北偏东45°方向走了120𝑚，乙往南偏东45°方

向走了90𝑚，这时甲、乙相距______𝑚.

11. 在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶=90°，点𝐷为边𝐴𝐵的中点，且𝐶𝐷=4，则𝐴𝐵=______．

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𝑂𝑃平分∠𝐴𝑂𝐵，𝑃𝐷⊥𝑂𝐴于点𝐷，12. 如图，点𝐸是射线𝑂𝐵

上的一个动点，若𝑃𝐷=3，则𝑃𝐸的最小值是______．

13. 若△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹，𝐴𝐵=𝐷𝐸=4，△𝐷𝐸𝐹面积为10，则在△𝐴𝐵𝐶中𝐴𝐵边上的高为

______．

14. 如图，△𝐴𝐵𝐶中，点𝐷在边𝐵𝐶上，将点𝐷分别以𝐴𝐵、𝐴𝐶为对称轴，画出对称点𝐸、

𝐹，连接𝐴𝐸、𝐴𝐹.根据图中标示的角度，可知∠𝐸𝐴𝐹=______°.

𝐴𝐶=2，15. 如图，将△𝐴𝐵𝐶折叠，使点𝐵落在𝐴𝐶边的中点𝐷处，折痕为𝑀𝑁，若𝐵𝐶=3，

则△𝐶𝐷𝑁的周长为______．

16. 如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=𝐴𝐶，按如下步骤尺规作图：

(1)分别以𝐵、𝐶为圆心，𝐵𝐶的长为半径作弧，两弧交于点𝐷；(2)作射线𝐴𝐷，连接𝐵𝐷，𝐶𝐷．

则下列结论中：①△𝐵𝐶𝐷是等边三角形；②𝐴𝐷垂直平⑤𝑆四边形𝐴𝐵𝐷𝐶=分𝐵𝐶；③𝐷𝐶⊥𝐴𝐶；④∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐶𝐴𝐷；𝐴𝐷⋅𝐵𝐶.其中一定正确的结论是：______(填序号)．

三、解答题（本大题共9小题，共84.0分）

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17. 如图，在△𝐴𝐵𝐶和△𝐴𝐵𝐷中，𝐴𝐶与𝐵𝐷相交于点𝐸，

𝐴𝐷=𝐵𝐶，𝐴𝐶=𝐵𝐷.求证：∠𝐶=∠𝐷．

𝐶𝐷是中线，△𝐴𝐵𝐶18. 已知：如图，在△𝐴𝐵𝐶中，且𝐶𝐷=2𝐴𝐵.求证：

是直角三角形．

19. 如图，在等边△𝐴𝐵𝐶中，点𝐷在边𝐵𝐶上，过点𝐷作𝐷𝐸//𝐴𝐵交𝐴𝐶于点𝐸，过点𝐸作𝐸𝐹⊥

𝐷𝐸，交𝐵𝐶的延长线于点𝐹． (1)求∠𝐹的度数； (2)求证：𝐷𝐶=𝐶𝐹．

1

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20. 如图，格点△𝐴𝐵𝐶在网格中的位置如图所示．

(1)画出△𝐴𝐵𝐶关于直线𝑀𝑁的对称△𝐴′𝐵′𝐶′；

(2)若网格中每个小正方形的边长为1，则△𝐴′𝐵′𝐶′的面积为______； (3)在直线𝑀𝑁上找一点𝑃，使𝑃𝐴+𝑃𝐶最小(不写作法，保留作图痕迹)．

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21. 如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=𝐴𝐶，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶于点𝐷．

(1)若∠𝐶𝐴𝐷=50°，求∠𝐵的度数；

(2)如图，𝐴𝐸=𝐸𝐹． 若点𝐸在边𝐴𝐶上，过点𝐸作𝐸𝐹//𝐴𝐵交𝐴𝐷的延长线于点𝐹，求证：

22. 如图，点𝐴是网红打卡地诗博园，市民可在云龙湖边的游客观光车站𝐵或𝐶处乘车前

往，且𝐴𝐵=𝐵𝐶，因市政建设，点𝐶到点𝐴段现暂时封闭施工，为方便出行，在湖边的𝐻处修建了一临时车站(点𝐻在线段𝐵𝐶上)，由𝐻处亦可直达𝐴处，若𝐴𝐶=1𝑘𝑚，𝐴𝐻=0.8𝑘𝑚，𝐶𝐻=0.6𝑘𝑚． (1)判断△𝐴𝐶𝐻的形状，并说明理由； (2)求路线𝐴𝐵的长．

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23. 等腰直角△𝐴𝐵𝐶按如图所示放置，𝐴𝐶=𝐵𝐶，直角顶点𝐶在直线𝑚上，分别过点𝐴，

𝐵作𝐴𝐸⊥直线𝑚于点𝐸，𝐵𝐷⊥直线𝑚于点𝐷． (1)求证：𝐸𝐶=𝐵𝐷；

(2)设△𝐴𝐸𝐶三边长分别为𝐸𝐶=𝑎，𝐴𝐸=𝑏，𝐴𝐶=𝑐，试通过两种方法计算直角梯形𝐴𝐸𝐷𝐵的面积证明勾股定理．

24. 在“延时课堂”数学实践活动中，同学们了解到，工人师傅常用角尺作一个已知角

∠𝐴𝑂𝐵是一个任意角，𝑂𝐵上分别取𝑂𝑀=的角平分线．作法如下：如图①，在边𝑂𝐴、𝑂𝑁，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与𝑀、𝑁重合，过角尺0刻度的顶点𝑃的射线𝑂𝑃就是∠𝐴𝑂𝐵的角平分线．

(1)联系三角形全等的条件，通过证明△𝑂𝑀𝑃≌△𝑂𝑁𝑃，可知∠𝐴𝑂𝑃=∠𝐵𝑂𝑃，即𝑂𝑃平分∠𝐴𝑂𝐵.则这两个三角形全等的依据是______；

(2)在活动的过程，同学们发现用两个全等的三角形纸片也可以作一个已知角的角平分线．如图②所示，△𝐶𝐷𝐸≌△𝑆𝑇𝑅，将全等三角形的一组对应边𝐷𝐸、𝑇𝑅分别放在∠𝐴𝑂𝐵的两边𝑂𝐴、𝑂𝐵上，同时使这组对应边所对的顶点𝐶、𝑆分别落在𝑂𝐵、𝑂𝐴上，此时𝐶𝐸和𝑆𝑅的交点设为点𝑄，则射线𝑂𝑄即为∠𝐴𝑂𝐵的角平分线．你认为他们的作法正确吗？并说明理由．

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𝐴𝐵=𝐴𝐶，𝐷是直线𝐵𝐶上一点，25. 在△𝐴𝐵𝐶中，以𝐴𝐷为一条边在𝐴𝐷的右侧作△𝐴𝐷𝐸，

使𝐴𝐸=𝐴𝐷，∠𝐷𝐴𝐸=∠𝐵𝐴𝐶，连接𝐶𝐸．

(1)如图，当点𝐷在𝐵𝐶延长线上移动时，若∠𝐵𝐴𝐶=25°，则∠𝐷𝐶𝐸=______． (2)设∠𝐵𝐴𝐶=𝛼，∠𝐷𝐶𝐸=𝛽．

①当点𝐷在𝐵𝐶延长线上移动时，𝛼与𝛽之间有什么数量关系？请说明理由； ②当点𝐷在直线𝐵𝐶上(不与𝐵，𝐶两点重合)移动时，𝛼与𝛽之间有什么数量关系？请直接写出你的结论．

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答案和解析

1.【答案】𝐶

【解析】解：𝐴.不是轴对称图形，故此选项不合题意； B.不是轴对称图形，故此选项不合题意； C.是轴对称图形，故此选项符合题意； D.不是轴对称图形，故此选项不合题意． 故选：𝐶．

根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．

本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．

2.【答案】𝐴

【解析】解：

∵△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹， ∴∠𝛼=∠𝐴， ∵∠𝐴=50°， ∴∠𝛼=50°， 故选：𝐴．

根据图形得出△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹，根据全等三角形的性质得出∠𝛼=∠𝐴，再代入求出答案即可．

本题考查了全等三角形的性质，能熟记全等三角形的性质是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．

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3.【答案】𝐷

【解析】解：∵𝐴𝐷⊥𝐵𝐶， ∴∠𝐴𝐷𝐵=∠𝐴𝐷𝐶=90°， 在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐷和𝑅𝑡△𝐴𝐶𝐷中， 𝐴𝐵=𝐴𝐶{， 𝐴𝐷=𝐴𝐷

∴𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐷≌𝑅𝑡△𝐴𝐶𝐷(𝐻𝐿)，

∴∠𝐵=∠𝐶，𝐵𝐷=𝐶𝐷，∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐶𝐴𝐷， ∴𝐵𝐶=2𝐵𝐷，

当∠𝐵𝐴𝐶=90°时，𝐴𝐷=2𝐵𝐶， 故选：𝐷．

证𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐷≌𝑅𝑡△𝐴𝐶𝐷(𝐻𝐿)，得∠𝐵=∠𝐶，𝐵𝐷=𝐶𝐷，∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐶𝐴𝐷，则𝐵𝐶=2𝐵𝐷，当∠𝐵𝐴𝐶=90°时，𝐴𝐷=2𝐵𝐶，即可得出结论．

本题考查了全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．

11

4.【答案】𝐴

【解析】解：加上𝐸𝐹后，原不稳定的四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中具有了稳定的△𝐸𝐶𝐹，故这种做法根据的是三角形的稳定性． 故选：𝐴．

用木条𝐸𝐹固定矩形门框𝐴𝐵𝐶𝐷，即是组成△𝐶𝐸𝐹，故可用三角形的稳定性解释． 本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．

5.【答案】𝐷

【解析】解：𝐴、一个锐角对应相等，利用已知的直角相等，可得出另一组锐角相等，但不能证明两三角形全等，故A选项错误；

B、两个锐角相等，那么也就是三个对应角相等，但不能证明两三角形全等，故B选项

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错误；

C、一条边对应相等，再加一组直角相等，不能得出两三角形全等，故C选项错误； D、两条边对应相等，若是两条直角边相等，可利用𝑆𝐴𝑆证全等；若一直角边对应相等，一斜边对应相等，也可证全等，故D选项正确． 故选：𝐷．

利用全等三角形的判定来确定．做题时，要结合已知条件与三角形全等的判定方法逐个验证．

本题考查了直角三角形全等的判定方法；三角形全等的判定有𝐴𝑆𝐴、𝑆𝐴𝑆、𝐴𝐴𝑆、𝑆𝑆𝑆、𝐻𝐿，可以发现至少得有一组对应边相等，才有可能全等．

6.【答案】𝐷

【解析】解：∵𝐴𝑃平分∠𝐵𝐴𝐶， ∴∠𝐵𝐴𝑃=∠𝐶𝐴𝑃， A、∵𝑀𝑁⊥𝐴𝑃， ∴∠𝐴𝑃𝑀=∠𝐴𝑃𝑁=90°，

又由∠𝐵𝐴𝑃=∠𝐶𝐴𝑃，𝐴𝑃=𝐴𝑃，能判定△𝐴𝑃𝑀≌△𝐴𝑃𝑁(𝐴𝑆𝐴)， ∴𝐴𝑀=𝐴𝑁，故选项A不符合题意；

B、由∠𝐵𝐴𝑃=∠𝐶𝐴𝑃，𝑃𝑀=𝑃𝑁，𝐴𝑃=𝐴𝑃，不能判定△𝐴𝑃𝑀≌△𝐴𝑃𝑁， ∴不能推出𝐴𝑀=𝐴𝑁，故选项B符合题意；

C、由∠𝐵𝐴𝑃=∠𝐶𝐴𝑃，𝐴𝑃=𝐴𝑃，∠𝐴𝑃𝑀=∠𝐴𝑃𝑁，能判定△𝐴𝑃𝑀≌△𝐴𝑃𝑁(𝐴𝑆𝐴)， ∴𝐴𝑀=𝐴𝑁，故选项C不符合题意；

D、由∠𝐵𝐴𝑃=∠𝐶𝐴𝑃，𝐴𝑃=𝐴𝑃，∠𝐴𝑀𝑃=∠𝐴𝑁𝑃，能判定△𝐴𝑃𝑀≌△𝐴𝑃𝑁(𝐴𝐴𝑆)， ∴𝐴𝑀=𝐴𝑁，故选项D不符合题意； 故选：𝐷．

根据已知条件结合三角形全等的判定方法，验证各选项提供的条件是否能证△𝐴𝑃𝑀≌△𝐴𝑃𝑁即可．

本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．

7.【答案】𝐶

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【解析】解：由图可知，

三个正方形的面积正好是直角三角形三边的平方， ∵1+2=3，2+2=4，3+4≠5，2+3=5， ∴选项A、𝐵、𝐷不符合题意，选项C符合题意， 故选：𝐶．

根据图形可知，三个正方形的面积正好是直角三角形三边的平方，再根据两直角边的平方之和等于斜边的平方，从而可以判断哪个选项符合题意．

本题考查勾股定理、正方形的面积，解答本题的关键是发现三个正方形的面积正好是直角三角形三边的平方．

8.【答案】𝐷

【解析】解：以𝐴为圆心，𝐴𝐵长为半径画弧，交𝑙1、𝑙2于4个点；

以𝐵为圆心，𝐴𝐵长为半径画弧交𝑙1、𝑙2于2个点， 再作𝐴𝐵的垂直平分线交𝑙1、𝑙2于2个点， 共有8个点， 故选：𝐷．

以𝐴为圆心，𝐴𝐵长为半径画弧；以𝐵为圆心，𝐴𝐵长为半径画弧，再作𝐴𝐵的垂直平分线分别找出交𝑙1、𝑙2点的个数即可．

此题主要考查了等腰三角形的判定，关键是掌握两边相等的三角形是等腰三角形．

9.【答案】3

【解析】解：在1，2，3处分别涂黑都可得一个轴对称图形， 故涂法有3种， 故答案为：3．

根据轴对称图形的概念：把一个图形沿着某条直线折叠，直线两旁

的部分能够完全重合及正方形的对称轴是两条对角线所在的直线和两组对边的垂直平分线，得出结果．

考查了利用轴对称设计图案，此题要首先找到大正方形的对称轴，然后根据对称轴，进

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一步确定可以涂黑的正方形．

10.【答案】150

【解析】解：如图所示：由题意可得，∠𝐴𝑂𝐵=90°，𝐴𝑂=120𝑚，𝐵𝑂=90𝑚，

则𝐴𝐵=√𝐴𝑂2+𝐵𝑂2=150(𝑚)． 故答案为：150．

直接利用方向角画出图形，进而利用勾股定理得出答案． 此题主要考查了勾股定理的应用，正确画出图形是解题关键．

11.【答案】8

【解析】解：在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶=90°，点𝐷为边𝐴𝐵的中点，且𝐶𝐷=4， ∴𝐴𝐵=2𝐶𝐷=8． 故答案是：8．

根据“斜边上的中线等于斜边的一半”计算即可．

本题考查的是直角三角形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．

12.【答案】3

【解析】解：过𝑃作𝑃𝐸⊥𝑂𝐵于𝐸，此时𝑃𝐸的长最小，

∵𝑂𝑃平分∠𝐴𝑂𝐵，𝑃𝐷⊥𝑂𝐴，𝑃𝐸⊥𝑂𝐵， ∴𝑃𝐸=𝑃𝐷， ∵𝑃𝐷=3， ∴𝑃𝐸=3， 即𝑃𝐸的最小值是3，

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故答案为：3．

过𝑃作𝑃𝐸⊥𝑂𝐵于𝐸，根据垂线段最短得出此时𝑃𝐸的长最小，根据角平分线的性质得出𝑃𝐸=𝑃𝐷，再求出答案即可．

本题考查了垂线段最短和角平分线的性质，能找出当𝑃𝐸最小时点𝐸的位置是解此题的关键．

13.【答案】5

【解析】解：设△𝐴𝐵𝐶的边𝐴𝐵上的高为ℎ， ∵△𝐴𝐵𝐶≌△𝐷𝐸𝐹，△𝐷𝐸𝐹面积为10， ∴△𝐵𝐴𝐶的面积是10， ∵𝐴𝐵=4， ∴2×4×ℎ=10， 解得：ℎ=5，

即△𝐴𝐵𝐶中𝐴𝐵边上的高为5， 故答案为：5．

根据全等三角形的性质得出△𝐴𝐵𝐶的面积也是10，再根据三角形的面积公式求出𝐴𝐵上的高即可．

本题考查了三角形的面积和全等三角形的性质，能根据全等三角形的性质得出△𝐴𝐵𝐶的面积是10是解此题的关键，注意：如果两三角形是全等三角形，那么这两个三角形的面积相等．

1

14.【答案】106

【解析】解：如图，连接𝐴𝐷，

∵𝐷点分别以𝐴𝐵、𝐴𝐶为对称轴，画出对称点𝐸、𝐹，

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∴∠𝐸𝐴𝐵=∠𝐵𝐴𝐷，∠𝐹𝐴𝐶=∠𝐶𝐴𝐷， ∵∠𝐵=55°，∠𝐶=72°，

∴∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐵𝐴𝐷+∠𝐷𝐴𝐶=180°−55°−72°=53°， ∴∠𝐸𝐴𝐹=2∠𝐵𝐴𝐶=106°， 故答案为：106．

连接𝐴𝐷，利用轴对称的性质解答即可．

此题考查轴对称的性质，三角形内角和定理等知识，关键是利用轴对称的性质解答．

15.【答案】4

【解析】解：∵将△𝐴𝐵𝐶折叠，使点𝐵落在𝐴𝐶边的中点𝐷处， ∴𝐵𝑁=𝐷𝑁，𝐶𝐷=2𝐴𝐶，

∴△𝐶𝐷𝑁的周长为𝐷𝑁+𝐶𝑁+𝐶𝐷=𝐵𝐶+2𝐴𝐶， ∵𝐵𝐶=3，𝐴𝐶=2， ∴𝐵𝐶+2𝐴𝐶=3+1=4， ∴△𝐶𝐷𝑁的周长为4， 故答案为：4．

根据折叠的性质知𝐵𝑁=𝐷𝑁，将△𝐶𝐷𝑁的周长转化为𝐵𝐶+𝐶𝐷即可． 本题主要考查了折叠的性质，将△𝐶𝐷𝑁的周长转化为𝐵𝐶+𝐶𝐷是解题的关键．

1

1

1

16.【答案】①②④

【解析】解：由作法得𝐵𝐷=𝐶𝐷=𝐵𝐶， ∴△𝐵𝐶𝐷为等边三角形，所以①正确； ∵𝐷𝐵=𝐷𝐶，𝐴𝐵=𝐴𝐶， ∴𝐴𝐷垂直平分𝐵𝐶，所以②正确； ∵△𝐵𝐶𝐷为等边三角形， ∴∠𝐷𝐶𝐵=60°，

∴只有当∠𝐴𝐶𝐵=30°时，𝐷𝐶⊥𝐴𝐶，所以③错误； 𝐵𝐶与𝐴𝐷相交于点𝑂，如图， ∵𝐴𝐵=𝐴𝐶，𝐴𝑂⊥𝐵𝐶，

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∴𝐴𝑂平分∠𝐵𝐴𝐶，

∴∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐶𝐴𝐷，所以④正确； ∵𝐴𝐷垂直平分𝐵𝐶， ∴𝑂𝐵=𝑂𝐶，

∵𝑆△𝐴𝐵𝐷=⋅𝑂𝐵⋅𝐴𝐷，𝑆△𝐴𝐵𝐷=⋅𝑂𝐶⋅𝐴𝐷，

2

2

1

1

∴𝑆四边形𝐴𝐵𝐷𝐶=2⋅𝑂𝐵⋅𝐴𝐷+2𝑂𝐶⋅𝐴𝐷=2(𝑂𝐵+𝑂𝐶)⋅𝐴𝐷=2𝐵𝐶⋅𝐴𝐷，所以⑤错误． 故答案为：①②④．

利用基本作图得到𝐵𝐷=𝐶𝐷=𝐵𝐶，则根据等边三角形的定义可对①进行判断；根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理可对②进行判断；利用△𝐵𝐶𝐷为等边三角形得到∠𝐷𝐶𝐵=60°，则只有当∠𝐴𝐶𝐵=30°时，𝐷𝐶⊥𝐴𝐶，于是可对③进行判断；𝐵𝐶与𝐴𝐷相交于点𝑂，如图，由于𝐴𝐵=𝐴𝐶，𝐴𝑂⊥𝐵𝐶，根据等腰三角形的性质可对④进行判断；利用三角形面积公式可对⑤进行判断．

本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质和等边三角形的判定与性质．

1111

17.【答案】证明：在△𝐴𝐷𝐵与△𝐵𝐶𝐴中，

𝐴𝐷=𝐵𝐶{𝐴𝐶=𝐵𝐷， 𝐴𝐵=𝐵𝐴

∴△𝐴𝐷𝐵≌△𝐵𝐶𝐴(𝑆𝑆𝑆)， ∴∠𝐶=∠𝐷．

【解析】根据𝑆𝑆𝑆证明△𝐴𝐷𝐵与△𝐵𝐶𝐴全等，进而利用全等三角形的性质解答即可． 此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据𝑆𝑆𝑆证明△𝐴𝐷𝐵与△𝐵𝐶𝐴全等解答．

18.【答案】证明：∵𝐶𝐷是中线，

∴𝐴𝐷=𝐵𝐷=2𝐴𝐵． ∵𝐶𝐷=2𝐴𝐵， ∴𝐴𝐷=𝐵𝐷=𝐶𝐷．

∴∠𝐴=∠𝐷𝐶𝐴，∠𝐵=∠𝐷𝐶𝐵．

又∵∠𝐴+∠𝐷𝐶𝐴+∠𝐵+∠𝐷𝐶𝐵=180°，

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1

1

∴∠𝐷𝐶𝐴+∠𝐷𝐶𝐵=90°． ∴∠𝐴𝐶𝐵=90°． ∴△𝐴𝐵𝐶是直角三角形．

【解析】由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”推知△𝐴𝐶𝐷与△𝐵𝐶𝐷均为等腰三角形，所以运用等腰三角形的性质和三角形内角和定理证得结论．

本题主要考查了直角三角形斜边上的中线．定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．该定理可以用来判定直角三角形．

19.【答案】(1)解：∵△𝐴𝐵𝐶是等边三角形，

∴∠𝐵=60°， ∵𝐷𝐸//𝐴𝐵，

∴∠𝐵=∠𝐸𝐷𝐶=60°， ∵𝐷𝐸⊥𝐸𝐹， ∴∠𝐷𝐸𝐹=90°，

∴∠𝐹=∠𝐷𝐸𝐹−∠𝐸𝐷𝐹=90°−60°=30°； (2)证明：∵△𝐴𝐵𝐶是等边三角形， ∴∠𝐵=∠𝐴𝐶𝐵=60°， ∵𝐷𝐸//𝐴𝐵，

∴∠𝐵=∠𝐸𝐷𝐶=60°，

∴∠𝐸𝐷𝐶=∠𝐸𝐶𝐷=∠𝐷𝐸𝐶=60°， ∴△𝐷𝐸𝐶是等边三角形， ∴𝐶𝐸=𝐶𝐷，

∵∠𝐸𝐶𝐷=∠𝐹+∠𝐶𝐸𝐹，∠𝐹=30°， ∴∠𝐶𝐸𝐹=∠𝐹=30°， ∴𝐸𝐶=𝐶𝐹， ∴𝐶𝐷=𝐶𝐹．

【解析】(1)由平行线的性质求出∠𝐸𝐷𝐶，再由三角形的内角和定理解决问题即可． (2)证△𝐷𝐸𝐶是等边三角形，得𝐶𝐸=𝐶𝐷，再证∠𝐶𝐸𝐹=∠𝐹=30°，得𝐸𝐶=𝐶𝐹，即可得出结论．

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本题考查等边三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

20.【答案】2

【解析】解：(1)如图所示，△𝐴′𝐵′𝐶′即为所求．

7

(2)△𝐴′𝐵′𝐶′的面积为3×3−2×2×3−2×1×2−2×1×3=2， 故答案为：2；

(3)如图所示，点𝑃即为所求．

(1)分别作出三个顶点关于直线𝑀𝑁的对称点，再首尾顺次连接即可； (2)用矩形的面积减去周围三个三角形的面积即可； (3)连接𝐴′𝐶，与直线𝑀𝑁的交点即为所求．

本题主要考查作图—轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的定义与性质．

7

1117

21.【答案】(1)解：∵𝐴𝐵=𝐴𝐶，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶于点𝐷，

∴∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐶𝐴𝐷，∠𝐴𝐷𝐶=90°， 又∵∠𝐶𝐴𝐷=50°，

∴∠𝐶=90°−∠𝐶𝐴𝐷=40°， ∴∠𝐵=∠𝐶=40°；

(2)证明：∵𝐴𝐵=𝐴𝐶，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶于点𝐷， ∴∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐶𝐴𝐷， ∵𝐸𝐹//𝐴𝐵， ∴∠𝐹=∠𝐵𝐴𝐷，

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∴∠𝐶𝐴𝐷=∠𝐹， ∴𝐴𝐸=𝐹𝐸．

【解析】(1)根据等腰三角形的性质得到∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐶𝐴𝐷，根据三角形的内角和即可得到∠𝐵=40°；

(2)根据等腰三角形的性质得到∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐶𝐴𝐷，根据平行线的性质得到∠𝐹=∠𝐵𝐴𝐷，等量代换得到∠𝐶𝐴𝐷=∠𝐹，于是得到结论．

本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，正确的识别图形是解题的关键．

22.【答案】解：(1)△𝐴𝐶𝐻是直角三角形，理由如下：

∵𝐴𝐶=1𝑘𝑚，𝐴𝐻=0.8𝑘𝑚，𝐶𝐻=0.6𝑘𝑚， ∴𝐴𝐶2=𝐴𝐻2+𝐶𝐻2， ∴△𝐴𝐶𝐻是直角三角形； 解：(2)∵△𝐴𝐶𝐻是直角三角形， ∴𝐴𝐻⊥𝐵𝐶，

设𝐴𝐵=𝐵𝐶=𝑥 𝑘𝑚，则𝐵𝐻=𝐵𝐶−𝐻𝐶=(𝑥−0.6)𝑘𝑚， 由勾股定理得：𝐴𝐵2=𝐴𝐻2+𝐵𝐻2， 即𝑥2=12+(𝑥−0.6)2， 解得：𝑥=15， ∴𝐴𝐵=

【解析】(1)根据勾股定理的逆定理解答即可； (2)根据勾股定理解答即可．

此题考查了学生利用勾股定理解决实际问题的能力，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形，难度不大．

1715

17

𝑘𝑚．

23.【答案】证明：(1)∵∠𝐴𝐶𝐵=90°，

∴∠𝐴𝐶𝐸+∠𝐵𝐶𝐷=90°． ∵∠𝐴𝐶𝐸+∠𝐶𝐴𝐸=90°， ∴∠𝐶𝐴𝐸=∠𝐵𝐶𝐷． 在△𝐴𝐸𝐶与△𝐵𝐶𝐷中，

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∠𝐶𝐸𝐴=∠𝐵𝐷𝐶{∠𝐶𝐴𝐸=∠𝐵𝐶𝐷， 𝐴𝐶=𝐶𝐵

∴△𝐶𝐴𝐸≌△𝐵𝐶𝐷(𝐴𝐴𝑆)． ∴𝐸𝐶=𝐵𝐷；

(2)由①知：𝐵𝐷=𝐶𝐸=𝑎，𝐶𝐷=𝐴𝐸=𝑏， ∴𝑆梯形𝐴𝐸𝐷𝐵=2(𝑎+𝑏)(𝑎+𝑏)=2𝑎2+𝑎𝑏+2𝑏2．

又∵𝑆梯形𝐴𝐸𝐷𝐵=𝑆△𝐴𝐸𝐶+𝑆△𝐵𝐶𝐷+𝑆△𝐴𝐵𝐶=2𝑎𝑏+2𝑎𝑏+2𝑐2=𝑎𝑏+2𝑐2． ∴2𝑎2+𝑎𝑏+2𝑏2=𝑎𝑏+2𝑐2． 整理，得𝑎2+𝑏2=𝑐2．

【解析】(1)通过𝐴𝐴𝑆证得△𝐶𝐴𝐸≌△𝐵𝐶𝐷，根据全等三角形的对应边相等证得结论； (2)利用等面积法证得勾股定理．

本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理的证明，解本题的关键是判断两三角形全等．

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

24.【答案】𝑆𝑆𝑆

【解析】解：(1)在△𝑃𝑂𝑀和△𝑃𝑂𝑁中， 𝑃𝑂=𝑃𝑂

{𝑂𝑀=𝑂𝑁．， 𝑃𝑀=𝑃𝑁∴△𝑃𝑂𝑀≌△𝑃𝑂𝑁(𝑆𝑆𝑆)， ∴∠𝑃𝑂𝐴=∠𝑃𝑂𝐵， 故答案为：𝑆𝑆𝑆；

(2)正确．

理由：如图2中，∵△𝐶𝐷𝐸≌△𝑆𝑇𝑅， ∴𝐸𝐶=𝑅𝑆，∠𝐶𝐸𝐷=∠𝑆𝑅𝑇， 在△𝐸𝐶𝑂和△𝑅𝑆𝑂中， ∠𝐸𝑂𝐶=∠𝑅𝑂𝑆{∠𝐶𝐸𝑂=∠𝑂𝑅𝑆， 𝐸𝐶=𝑅𝑆

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∴△𝐸𝐶𝑂≌△𝑅𝑆𝑂(𝐴𝐴𝑆)， ∴𝑂𝐸=𝑃𝑅，

同法可证，△𝑆𝑇𝑂≌△𝐶𝐷𝑂(𝐴𝐴𝑆)， ∴𝑂𝑆=𝑂𝐶， ∴𝑆𝐸=𝐶𝑅，

在△𝑆𝑄𝐸和△𝐶𝑄𝑅中， ∠𝐸𝑄𝑆=∠𝑅𝑄𝐶{∠𝑄𝐸𝑆=∠𝑄𝑅𝐶， 𝐸𝑆=𝑅𝐶

∴△𝑆𝑄𝐸≌△𝐶𝑄𝑅(𝐴𝐴𝑆)， ∴𝑆𝑄=𝐶𝑄，

在△𝑂𝑄𝑆和△𝑂𝑄𝐶中， 𝑂𝑄=𝑂𝑄{𝑂𝑆=𝑂𝐶， 𝑆𝑄=𝐶𝑄

∴△𝑂𝑄𝑆≌△𝑂𝑄𝐶(𝑆𝑆𝑆)， ∴∠𝑄𝑂𝐴=∠𝑄𝑂𝐵．

(1)利用𝑆𝑆𝑆证明三角形全等即可；

(2)证明△𝐸𝐶𝑂≌△𝑅𝑆𝑂(𝐴𝐴𝑆)，推出𝑂𝐸=𝑃𝑅，同法可证，△𝑆𝑇𝑂≌△𝐶𝐷𝑂(𝐴𝐴𝑆)，推出𝑂𝑆=𝑂𝐶，𝑆𝐸=𝐶𝑅，再证明△𝑆𝑄𝐸≌△𝐶𝑄𝑅(𝐴𝐴𝑆)，推出𝑆𝑄=𝐶𝑄，证明△𝑂𝑄𝑆≌△𝑂𝑄𝐶(𝑆𝑆𝑆)，可得∠𝑄𝑂𝐴=∠𝑄𝑂𝐵．

本题考查作图−应用与设计作图，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．

25.【答案】(1)25°；

(2)解：当点𝐷在线段𝐵𝐶的延长线上移动时，𝛼与𝛽之间的数量关系是𝛼=𝛽，理由是： ∵∠𝐷𝐴𝐸=∠𝐵𝐴𝐶，

∴∠𝐷𝐴𝐸+∠𝐶𝐴𝐷=∠𝐵𝐴𝐶+∠𝐶𝐴𝐷， ∴∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐶𝐴𝐸， 在△𝐵𝐴𝐷和△𝐶𝐴𝐸中 𝐴𝐵=𝐴𝐶

∵{∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐶𝐴𝐸， 𝐴𝐷=𝐴𝐸∴△𝐵𝐴𝐷≌△𝐶𝐴𝐸(𝑆𝐴𝑆)， ∴∠𝐵=∠𝐴𝐶𝐸，

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∵∠𝐴𝐶𝐷=∠𝐵+∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐴𝐶𝐸+∠𝐷𝐶𝐸， ∴∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐷𝐶𝐸， ∵∠𝐵𝐴𝐶=𝛼，∠𝐷𝐶𝐸=𝛽， ∴𝛼=𝛽；

(3)解：当𝐷在线段𝐵𝐶上时，𝛼+𝛽=180°，当点𝐷在线段𝐵𝐶延长线或反向延长线上时，𝛼=𝛽． 【解析】

(1)解：∵∠𝐷𝐴𝐸=∠𝐵𝐴𝐶，

∴∠𝐷𝐴𝐸+∠𝐶𝐴𝐷=∠𝐵𝐴𝐶+∠𝐶𝐴𝐷， ∴∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐶𝐴𝐸， 在△𝐵𝐴𝐷和△𝐶𝐴𝐸中 𝐴𝐵=𝐴𝐶

∵{∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐶𝐴𝐸， 𝐴𝐷=𝐴𝐸∴△𝐵𝐴𝐷≌△𝐶𝐴𝐸(𝑆𝐴𝑆)， ∴∠𝐵=∠𝐴𝐶𝐸，

∵∠𝐴𝐶𝐷=∠𝐵+∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐴𝐶𝐸+∠𝐷𝐶𝐸， ∴∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐷𝐶𝐸， ∵∠𝐵𝐴𝐶=25°， ∴∠𝐷𝐶𝐸=25°， 故答案为：25°； (2)见答案； (3)见答案． 【分析】

(1)证△𝐵𝐴𝐷≌△𝐶𝐴𝐸，推出∠𝐵=∠𝐴𝐶𝐸，根据三角形外角性质求出即可； (2)①证△𝐵𝐴𝐷≌△𝐶𝐴𝐸，推出∠𝐵=∠𝐴𝐶𝐸，根据三角形外角性质求出即可 ②𝛼+𝛽=180°或𝛼=𝛽，根据三角形外角性质求出即可．

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本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的外角性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．

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