线性代数中关于特征值和特征向量的方法(刘妍原创)

线性代数中关于特征值和特征向量的方法

万学教育 海文考研 考研教学与研究中心 刘妍

基础阶段的复习我们一般在进入4月份以后，很多同学都开始启动线性代数的复习了。有些同学对于线代总是感觉知识点很散，对于一些解题的方法感觉学起来不容易记。其实线性代数是方法性比较强的一门学科，如果能把各个章节串联的去学习，那么对于线性代数的学习可能会更加的游刃有余一些。下面我就特征值，特征向量这一部分给大家说几种结题方法：

一、方法一：

(1) 取定数域上的线性空间V的一个基, 写出线性变换T在该基下的矩阵;

n(2) 求出的特征多项式（）在数域P上的全部根, 它们就是T的全部特征值;

(3) 把求出的特征值逐个代入方程组, 解出矩阵的属于每个特征值的全部线性

无关的特征向量;

(4) 以的属于每个特征值的特征向量为V中取定基下的坐标, 即得T的相应特征

n向量.

122212221, 的特征值与特征向量. 例1 求矩阵

解 容易算出的多项式

12det()=2222121(1)2(5),

所以T的特征值是11(二重)和25.

(1,0,1)(0,1,1)(A)x0特征方程的一个基础解系为, .

T的属于1的两个线性无关的特征向量为y1x1x3, y2x2x3.

所以T的属于1的全部特征向量为k1y1k2y2 (其中k1,k2k且不同时为零). 特征方程

(1,1,1)的一个基础解系为. 记y3123, 则T的属于2 的全体特征向量为k3y3(k3k且

不为零).

方法二： 利用矩阵的初等变换求特征值与特征向量

例2求实数域上矩阵

212212= 221

的特征值及特征向量.

解

12T[()|] =221210020101001 2221 220100 212100120102100

10011011(1)(5)31122= [D()|P()].

2(1)(5)0, 特征值为121(二重), D()令的主对角线元素之积为0, 即

35.

当121时,

2220010000110112[D()|P()]=00,

R(D())1, 于是, 121对应的特征向量为

1011TT1=112=2, 2011=1.

所以, 的属于121的全部特征向量为k11k22, 其中k1,k2是不全为零的常数. 当35时,

224001066011000111[D(3)|P(3)] =111200211011066000111

R(D(3))2, 于是35对应的特征向量为

11T13(1,1,1)==,

所以, 的属于35的全部特征向量为k33, 其中k3不为零.

以上方法利用初等变换求特征值, 再观察直接得出特征向量, 可以看出来, 特征值

与特征向量的求法是同步的, 计算量较少.

方法三：求抽象矩阵的特征值与特征向量的方法

(1) 根据, 0, 满足此关系式的与分别是的特征值与特征向量; (2) 满足关系式||0的即为的特征值;

(3) 若满足某个关系式g()0, 则的特征值必满足:

g()0, 但要注意的是g()0只是是特征值的必要条件, 并不是充分条件.

例3 设n阶矩阵有特征值

(1) 证明和有相同的特征值;

T22(2) 求, 2的特征值;

1*1(3) 若可逆, 求, , 的特征值.

TT|||()|||, 即与T 有相同的特征多项式解 (1) 因为

|||T|, 从而与T有相同的特征值.

22(2) 设是的属于的特征向量, 即, 0, 则=()= .

(22)222(221), 由此可知2, 分别是2,

22的特征值, 仍是其对应的特征向量.

(3) 若可逆, 则0, 设是其对应的特征向量, 则 (a)

||1式(a)两端左乘以, 得,.

111*||1()

(1)11(11),

||1从而得到, ,11*11 分别是, , 的特征值, 仍是其对应的特征向量.

同学们在做题目的时候得及时的总结方法，并且加强这方面的联系，在学习线代的道路上越走越通畅。