2018年上海市春季高考数学试卷

2018.01

一． 填空题（本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 1. 不等式x1的解集为 2. 计算：lim3n1

nn23. 设集合Ax|0x2，Bx|1x1，则A4. 若复数z1i（i是虚数单位），则zB 2 z5. 已知an是等差数列，若a2a810，则a3a5a7

6. 已知平面上动点P到两个定点1,0和1,0的距离之和等于4，则动点P的轨迹方程

为

7. 如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB3，BC4，AA15，O是A1C1的中

点，则三棱锥AAOB11的体积为

8. 某校组队参加辩论赛，从6名学生中选出4人分别担任一、二、三、四辩，若其中甲必

须参赛且不担任四辩，则不同的安排方法种数为 （结果用数值表示）

2a9. 设aR，若x2与x2的二项式展开式种的常数项相等，则a

xx2210. 设mR，若z是关于x的方程xmxm10的一个虚根，则z的取值范围是

99 11. 设a0，函数fxx21xsinax，x0,1，若函数y2x1与yfx

的图像有且仅有两个不同的公共点，则a的取值范围是

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12. 如图，正方形ABCD的边长为20米，圆O的半径为1米，圆心是正方形的中心，点P、Q分别在线段AD、CB上，若线段PQ与圆O有公共点，则称点Q在点P的“盲区”中，已知点P以1.5米/秒的速度从A出发向D移动，同时，点Q以1米/秒的速度从C出发向B移动，则在点P从A移动到D的过程中，点Q在点P的盲区中的时长约为 秒（精确到0.1）

二． 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13. 下列函数中，为偶函数的是（ ）

A. yx B. yx C. yx

14. 如图，在直三棱柱ABCA1B1C1的棱所在的直线中，与直线

12213 D. yx

3BC1异面的直线的条数为（ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

15. 设Sn为数列an的前n项和，“an是递增数列”是“Sn是递增数列”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件

C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件

16. 已知A、B为平面上的两个定点，且AB2，该平面上的动线段PQ的端点P、Q，

满足AP5，APAB6，AQ2AP，则动线段PQ所形成图形的面积为（ ） A. 36 B. 60 C. 81 D. 108

三． 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分） 17. 已知ycosx. (1) 若f1，且0,，求3f的值；

3(2) 求函数yf2x2fx的最小值。

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x218. 已知aR，双曲线:2y21.

a(1) 若点2,1在上，求的焦点坐标；

(2) 若a1，直线ykx1与相交于A、B两点，且线段AB中点的横坐标为1，求实

数k的值。

19. 利用“平行于圆锥母线的平面截圆锥面，所得截线是抛物线”的几何原理，某快餐店用

两个射灯（射出的光锥为圆锥）在广告牌上投影出其标识，如图1所示，图2是投影射出的抛物线的平面图，图3是一个射灯投影的直观图，在图2与图3中，点O、A、B在抛物线上，OC是抛物线的对称轴，OCAB于C，AB3米，OC4.5米。 (1) 求抛物线的焦点到准线的距离；

(2) 在图3中，已知OC平行于圆锥曲线的母线SD，AB、DE是圆锥底面的直径，求圆锥

的母线与轴的夹角的大小（精确到0.01°）

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20. 设a0，函数fx1.

1a2x1(1) 若a1，求fx的反函数fx；

(2) 求函数yfxfx的最大值（用a表示）；

(3) 设gxfxfx1，若对任意x,0，gxg0恒成立，求a的取值

范围。

21. 若cn是递增数列，数列an满足：对任意nN，存在mN，使得

**amcn0，

amcn1则称an是cn的“分隔数列”.

(1) 设cn2n，ann1，证明：数列an是cn的分隔数列；

(2) 设cnn4，Sn是cn的前n项和，dnc3n2，判断数列Sn是否是数列dn的分

隔数列，并说明理由； (3) 设cnaqn1，Tn是cn的前n项和，若数列Tn是cn的分隔数列，求实数a、q的

取值范围。

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