五种期权期货风险对冲方法
金融机构的交易平台被称为前台“front office”；管理银行所面临的整体风险、资本充足率以及监管法规的部门被称为中台；管理银行账目的部门被成为后台“backoffice”。
交易平台的风险在两个层次被得以管理：
（1）前台交易人员通过对冲手段来控制单一风险额度以达到风险管理目的。
（2）中台管理人员将所有交易员的单一风险暴露进行汇总来测算银行面临的整体风险，并检验整体风险是否可以被接收。
（一）含义
灵敏度方法(Sensitivity Measures)的基本思想可以通过基于Taylor展示式的资产组合价值随市场因子变化的二阶形式来展现：
金融衍生品的价格F可以表示成下面的形式
F=F(S, t, r, σ)
其中：S表示标的物资产的当前价格，t表示当前时间，r表示无风险利率，σ表示标的物资产价格的波动率。
根据多元函数的泰勒展开式，期权价格变化可以近似表示为：
金融衍生产品灵敏度指标的含析：
（二）远期/期货/期权风险对冲介绍
灵敏度方法的优劣势：
主要特点： （1）简明直观； （2）应用方便；（3）最适合于由单个市场风险因子驱动的金融工具且市场因子变化很小的情形。
不足：（1）可靠性难以保证； （2）难以定义受多个市场风险因子影响的资产组合的灵敏度指标；（3）无法对不同市场因子驱动的风险大小进行横向比较；（4）不能给出资产组合价值损失的具体数值；（5）一阶灵敏度方法一般不考虑风险因子之间的相关性。
定义：Delta表示衍生产品价格变动与现货市场价格变动之比率。
（一）远期合约的Delta
1.考虑一个无股息股票的远期合约
由远期合约的价值为f=S0-Kexp(-rT)，其中，K表示支付价格,T为远期的期限。在其他变量不变的情况下，当股票价格变化为ΔS时，股票远期合约的价格变化也为ΔS，因此远期合约的长头寸的Delta永远为1。这意味着一个股票远期合约的长头寸可以用一个股票的短头寸进
行对冲，同理，一个股票远期合约的短头寸可以用一个股票的长头寸进行对冲。
2.考虑连续股息收益率为q的资产
由远期合约的价值为f=S0exp(-qT)-Kexp(-rT)，在其他变量不变的情况下，当股票价格变化为时，股票远期合约的价格变化也为ΔS0exp(-qT)，因此远期合约的长头寸的Delta永远为exp(-qT)。这意味着一个股票远期合约的长头寸可以用exp(-qT)个股票的短头寸进行对冲，同理，一个股票远期合约的短头寸可以用exp(-qT)个股票的长头寸进行对冲。
Eg. 对于股指期货远期,q等于股息收益率；对于汇率远期，q等于外币无风险利率rf。
（二）期货合约的Delta
1.考虑一个无股息股票的期货合约
由期货合约的价值为f=S0exp(rT)，其中，T为期货的期限。在其他变量不变的情况下，当股票价格变化为ΔS时，股票期货合约的价格变化也为ΔS0exp(rT)。因为期货价格每天按市场定价，期权合约长头寸的持有者在股票价格变化为ΔS后，几乎马上回到得到ΔSexp(rT)数量的收益，因此期货合约的Delta为exp(rT)。
2.考虑股息收益率为q的股票
由远期合约的价值为f=S0exp[(r-q)T]，在其他变量不变的情况下，当股票价格变化为ΔS时，股票远期合约的价格变化也为ΔS0exp[(r-q)T]，因此远期合约的长头寸的Delta永远为
exp[(r-q)T]。
注：由于每日结算会造成期货Delta与远期Delta有微小的差别。
Eg. 利用期货来对冲外汇交易组合的风险
假定一家美国银行持有一外汇期货交易组合，该银行可通过卖出458 000英镑来达到Delta中性。
假定美国无风险利率为4%，英国无风险利率为7%。由此可知，采用9个月期的货币期货来对冲所需要的短头寸数量为458 000*exp[-(0.04-0.07)*9/12]=468 442 英镑
因为每一个期货合约是关于卖入或买出62 500英镑，可见银行需要买进7（468 442/62500）个合约的短头寸，可达到对冲风险的目的。
（三）期权合约的Delta
1. 分析的逻辑
如上图所示，股票价格为100美元，期权价格为10美元。某金融机构的交易员卖出了20份该股票的看涨期权（期权持有者有权购买2000股股票）。交易员的头寸可以通过购买0.6*2000=1200股股票来对冲。
期权头寸所对应的盈利（亏损）会被股票头寸上的亏损（盈利）来抵消。例如：如果股票
价格上涨1美元（买入的股票会升值1200美元），期权价格将上涨0.6*1=0.6美元（卖出期权头寸会带来损失1200美元）；如果股票价格下跌1美元（买入股票会损失1200美元），期权价格下跌0.6美元（卖出期权会带来1200美元收益）。
交易期权头寸的Delta为0.6*（-2000）=-1200
股票本身的Delta为1，则持有1200分股票的Delta值为1200
所以，投资者整体的Delta为0，被称为Delta中性（DeltaNeutral），这些静态对冲也被称为对冲即遗忘策略。
但是，必须指出的是Delta会变动，因此投资者的Delta对冲状态只能维持在一段短暂的时间内，对冲策略需要不断调整，这种调整过程被称为再均衡（rebalancing）。
Eg. 采用Delta对冲
以上面为例：
第一次对冲
交易员买入1200股票来生成Delta中心头寸
在下一个交易日，股票价格上涨到110美元，Delta变为0.65，期权头寸的Delta变为0.65*2000=1300。
对冲再均衡
交易员买入100股股票来保证0.6*2000=1200中性头寸。
2. 欧式期权的Delta
对于股股息股票期权的Delta，我们可以证明：
欧式看涨期权长头寸的Delta为：△（看涨期权）=N(d1)
欧式看涨期权短头寸的Delta为：-N(d1)
其中，d1由B-S公式中定义，N(x)是标准正态分布的累积分布函数。
对于一个期权长头寸做对冲时，需要持有N(d1)股股票的短头寸。
对于一个期权短头寸做对冲时，需要持有N(d1)股股票的长头寸。
2.期权的Delta动态对冲
以例子说明动态对冲过程：
· 股票当前市价为49美元
· 期权行使价格为50美元
· 无风险利率为5%
· 股票波动率为20%
· 期权期限为20周
实值期权：
看涨期权：行使价格大于当时现货价格
看跌期权：行使价格小于当时现货价格
虚值期权：
看涨期权：行使价格大于当时现货价格
看跌期权：行使价格大于当时现货价格
Eg. 采用股票期货的Delta对冲的动态特征
（有权购买100 000股股票）
注：Theta通常以天结算，为计算公历日的Theta，天数为365；为计算交易日的Theta，天数为252。
期权长头方的Theta通常为负，因为在其他条件不变的情况下，随着期限的减少，期权价值会有所降低。下图给出了一个看涨期权的Theta与标的资产关系的曲线。
Theta for Call Option: S0=K=50, s = 25%, r = 5% T = 1
注：Theta与Delta等希腊字母值有所不同，因为未来股票的价格有很大的不定性，但事件走向却没有不定性。通过对冲消除交易组合关于标的资产的风险十分有意义，但通过对冲来消除交易组合对时间的不定性就毫无意义。
Gamma度量了金融衍生产品价格变化对标的资产价格变化的非线性灵敏感。
当Gamma绝对值很小时，Delta变化缓慢，这时为保证Delta中性所做的交易调整并不需要太频繁。但是，当Gamma绝对值很大时，交易组合的Delta对标的资产价格变动就变得很敏感，此时在任何一段时间内不对一个Delta中性的交易组合做调整都将会非常危险。
图：非线性所引入的对冲误差
Eg.将交易组合变为Delta中性及Gamma中性
某交易员的交易组合为Delta中性，其Gamma为-3000。某交易所交易期权的Delta与Gamma分别为0.62及1.5，该交易员为了使得交易组合的Delta与Gamma均为中性，他可
以进行以下交易：
· 买入2000股期权（20个期权合约）保证Gamma中性
· 卖入1240份标的资产以保证Delta中性。
对于一个Delta中性的交易组合进行Gamma中性可以看作是对Delta中**易中无法连续改变标的资产数来那个这一却缺陷的校正。
Delta中性保证了在对冲再均衡之间交易组合价值不受股票价格微小变化的影响；而Gamma中性则保证了对冲再均衡之间，交易组合价值不受股票价格较大变化的影响。
假定一交易组合为Delta中性，其Gamma量为-3000，而对应于交易所交易期权的Delta及Gamma分别为0.62及1.50。在交易组合中加入3000/1.5=2000份期权会使得此交易组合变成Gamma中性。但是因此交易组合的Delta也会从0变为2000*0.62=1240，也保证新的交易组合Delta中性我们必须卖出1240股标的股票。上例给出了此交易策略的总结。
Gamma计算
对于一个无股息看涨及看跌期权，Gamma关系为：
看涨期权长头寸Gamma为正，并且与的变化如下图所示。
Gamma for Call or Put Option: S0=K=50,s = 25%, r = 5% T = 1
看涨期权的Gamma与标的资产价格的关系
Eg.Gamma对一个Delta中性证券组合价值的影响
采用上面的例子。
· 股票当前市价为49美元
· 期权行使价格为50美元
· 无风险利率为5%
· 股票波动率为20%
· 期权期限为20周
Vega测量衍生产品价格对其标的资产价格波动率从的线性或一阶敏感性。
上面的分析假定的前提是标的资产波动率为常数，但实践中，波动率随时间会有所变化，这意味着衍生证券价格会随着标的资产价格与期限的变化而变化，同时也会随波动率的变化而变化。
但不幸的是，一个Gamma中性的交易组合一般不会是Vega中性，一个投资者要想使得一个交易组合同时达到Gamma和Vega中性，就必须引入与标的产品有关的两种不同衍生产
品才能达到目的。
以一个例子来说明：
Eg.如何使交易组合的Delta、Gamma、Vega均为中性
假定某一交易组合为Delta中性，Gamma为-5 000，Vega为-8000。假定某个交易所交易期权的Gamma为0.5，Vega为2.0，Delta为0.6.购买4000个交易所交易期权会使得交易组合成为Vega中性，这样做同时会使得Delta增至2400，因此为了保证Delta中性必须卖出2400个单位的标的资产，交易组合的Gamma也会从-5000变成-3000.
为了保证组合Gamma及Vega呈中性，我们必须引入第二个交易所交易期权。此期权的Gamma为0.8，Vega为1.2，Delta为0.5.用来表示和两个可交易期权的头寸，则有：
-5000+0.5W1+0.8W2=0
-8000+0.2W1+1.2W2=0
以上两式的解为W1=400和W2=6000。因此分别加入400个第一个交易所交易期权及6000个第二个交易所交易期权会使得交易组合Gamma及Vega都呈中性。加入这两种期权后，交易组合的Delta变为400*0.6+6000*0.5=3240，因此必须卖出3240份标的资产才能保持组合为Delta中性。
Vega计算
对于一个无股息看涨期权，Vega公式为：
欧式及美式期权的Vega总为正，并且与S0的变化如下图所示。
Vega for Call or Put Option: S0=K=50,s = 25%, r = 5% T = 1
期权的Vega与标的资产价格的关系
Eg.股票期权的Vega
采用上面的例子。
· 股票当前市价为49美元
· 期权行使价格为50美元
· 无风险利率为5%
· 股票波动率为20%
· 期权期限为20周
注：BS公式假定波动率为常数。理论上，有一个及爱的那个Vega为随机变量的模型来计算Vega更为合理。但结果表明，由随机波动模型得到的Vega与BS模型的Vega很接近，因
此，假定波动率为常数而得出的Vega用起来很好。
一个期货组合的Rho为交易组合价值变化与利率变化的比率，测量的是交易组合对利率变化的敏感性。
对于一个无股息股票欧式看涨期权和看跌期权，其Rho为
BS分析表明，对于一个无股息资产上由看涨、看跌期权以及其他金融衍生产品所组成的交易组合一定满足：
该式说明当θ很大并且为正时，交易组合的Gamma虽然也很大，但为负，反之亦然。上式同时解释了为什么对于Delta中性的交易组合，我们可以将Theta作为Gamma的近似。
1.附录：相关的数学证明。（不付红利的欧式看涨期权希腊字母证明）
2. 六种波动率估计方法
3. 四种期权定价方法
