朱俊辉相似三角形模型讲解-一线三等角问的题目讲义

个性化讲义编号： hy05

学生编号： 年 级： 九年级 课时数：2 学生姓名：朱俊辉 辅导科目：数学 学科教师：高老师 最佳吸收渠道：听觉 最佳表达风格：书写 最佳复习时间： 课后最佳复习方式： 完成 辅导类型：（基础巩固型，强化提高型，综合拓展型） 授课主题 授课时间 教材区域 授课方法 讲授法、作业练习法、点拨法、师生互动法 相似三角形提高训练（历年模拟、中考题） 2013 年10月26日 学员授课过程

第一部分 相似三角形模型分析

一、相似三角形判定的基本模型认识

（一）A字型、反A字型（斜A字型）

AADDEEC

B（平行）

BC（不平行）

（二）8字型、反8字型

AAOCDCBBJD（蝴蝶型）

（平行） （不平行）

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实用标准文案

（三）母子型

AADDBC

C

（四）一线三等角型：

三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景

（五）一线三直角型：

（六）双垂型：

AD

C

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二、相似三角形判定的变化模型

精彩文档旋转型：由A字型旋转得到。

8字型拓展

AAEFGDBCE共享性BC

一线三等角的变形

一线三直角的变形

实用标准文案

第二部分 相似三角形典型例题讲解

母子型相似三角形

例1：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，BE∥CD交CA延长线于E． 求证：OCOAOE．

2

例2：已知：如图，△ABC中，点E在中线AD上, DEBABC．

B 2求证：（1）DBDEDA； （2）DCEDAC．

D E C A

例3：已知：如图，等腰△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，CG∥AB，BG分别交AD、AC于E、F． 求证：BEEFEG．

2

相关练习：

1、如图，已知AD为△ABC的角平分线，EF为AD的垂直平分线．求证：FDFBFC．

2

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实用标准文案

2、已知：AD是Rt△ABC中∠A的平分线，∠C=90°，EF是AD的垂直平分线交AD于M，EF、BC的延长线交于一点N。

求证：(1)△AME∽△NMD; (2)ND=NC·NB

3、已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，E是AC上一点，CF⊥BE于F。 求证：EB·DF=AE·DB

2

4.在ABC中，AB=AC，高AD与BE交于H，EFBC，垂足为F，延长AD到G，使DG=EF，M是AH的中点。 求证：GBM90

5．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）、（3）小题满分各5分）

已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，AC=4，P是斜边AB上的一个动点，PD⊥AB，交边AC于点D（点D与点A、C都不重合），E是射线DC上一点，且∠EPD=∠A．设

B AMEHBDFGCA、P两点的距离为x，△BEP的面积为y．

（1）求证：AE=2PE；

（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域； （3）当△BEP与△ABC相似时，求△BEP的面积．

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P A D E （第25题图）

C 实用标准文案

双垂型

1、如图，在△ABC中，∠A=60°，BD、CE分别是AC、AB上的高 求证：（1）△ABD∽△ACE；（2）△ADE∽△ABC；(3)BC=2ED

AED2、如图，已知锐角△ABC，AD、CE分别是BC、AB边上的高，△ABC和△BDE的面积分别是27和3，DE=62，求：点B到直线AC的距离。

BACEBDC

共享型相似三角形

1、△ABC是等边三角形,D、B、C、E在一条直线上,∠DAE=120，已知BD=1，CE=3，,求等边三角形的边长.

AD2、已知：如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠DAE=45°．

BCE

求证：（1）△ABE∽△ACD； （2）BC22BECD．

一线三等角型相似三角形

A

例1：如图，等边△ABC中，边长为6，D是BC上动点，∠EDF=60°

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BDA ECE F

实用标准文案

（1）求证：△BDE∽△CFD

（2）当BD=1，FC=3时，求BE

例2：（1）在ABC中，ABAC5，BC8，点P、Q分别在射线CB、AC上（点P不与点C、点B重合），且保持APQABC.

①若点P在线段CB上（如图），且BP6，求线段CQ的长；

②若BPx，CQy，求y与x之间的函数关系式，并写出函数的定义域；

A Q B

（2）正方形ABCD的边长为5（如下图），点P、Q分别在直线．．CB、DC上（点P不与点C、点B重合），且保持APQ90.当CQ1时，求出线段BP的长.

A

D

A

D

A

D

P

C

B

A

A C

备用图

B

备用图

C

B

C

B

C

B

C

例3：已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，且AD＝5，AB＝DC＝2．

（1）如图8，P为AD上的一点，满足∠BPC＝∠A． ①求证；△ABP∽△DPC ②求AP的长．

B C

A P D （2）如果点P在AD边上移动（点P与点A、D不重合），且满足∠BPE＝∠A，PE交直线BC于点E，同时交直线DC于点Q，那么

①当点Q在线段DC的延长线上时，设AP＝x，CQ＝y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定

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实用标准文案

义域；

②当CE＝1时，写出AP的长．

ADBC

ADBC

例4：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，ABCDBC6，AD3．点M为边BC的中点，以M为顶点作EMFB，射线ME交腰AB于点E，射线MF交腰CD于点F，联结EF． （1）求证：△MEF∽△BEM；

（2）若△BEM是以BM为腰的等腰三角形，求EF的长； （3）若EFCD，求BE的长．

相关练习：

1、如图，在△ABC中，ABAC8，BC10，D是BC边上的一个动点，点E在AC边上，且

ADEC．

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实用标准文案

(1) 求证：△ABD∽△DCE；

(2) 如果BDx，AEy，求y与x的函数解析式，并写出自变量x的定义域； (3) 当点D是BC的中点时，试说明△ADE是什么三角形，并说明理由．

A E

B D

C

2、如图，已知在△ABC中， AB=AC=6，BC=5，D是AB 上一点，BD=2，E是BC 上一动点，联结DE，并作

DEFB，射线EF交线段AC于F．

（1）求证：△DBE∽△ECF； （2）当F是线段AC中点时，求线段BE的长； （3）联结DF，如果△DEF与△DBE相似，求FC的长．

AFDBE

C3、已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，且BC =6，AB=DC=4，点E是AB的中点．

（1）如图，P为BC上的一点，且BP=2．求证：△BEP∽△CPD； （2）如果点P在BC边上移动（点P与点B、C不重合），且满足∠EPF=∠C，PF交直线CD于点F，同

时交直线AD于点M，那么

①当点F在线段CD的延长线上时，设BP=x，DF=y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义

域； ②当SDMF

9SBEP时，求BP的长． 4A D

A E C

D

E B P B C

（第25题（备用图）

BCABCCF14、如图，已知边长为3的等边，点F在边上，，点E是射线BA上一动点，以线段EF为边向右侧作等边EFG，直线EG,FG交直线AC于点M,N，

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实用标准文案

（1）写出图中与BEF相似的三角形； （2）证明其中一对三角形相似；

（3）设BEx,MNy，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （4）若AE1，试求GMN的面积．

备用图

一线三直角型相似三角形

例1、已知矩形ABCD中，CD=2，AD=3，点P是AD上的一个动点，且和点A,D不重合，过点P作PECP，交边AB于点E,设PDx,AEy，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围。

例2、在ABC中，C90,AC4,BC3,O是AB上的一点，且

oAPDEBAO2，点P是AC上的一个动AB5C点，PQOP交线段BC于点Q，（不与点B,C重合），设APx,CQy，试求y关于x的函数关系，并写出定义域。

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CQPBOA实用标准文案

【练习1】

在直角ABC中，C90,AB5,tanBo3，点D是BC的中点，点E是AB边上的动点，DFDE4A交射线AC于点F （1）、求AC和BC的长 （2）、当EF//BC时，求BE的长。 （3）、连结EF,当DEF和ABC相似时，求BE的长。

【练习2】

EFCDBAEFCDB在直角三角形ABC中，C90o,ABBC,D是AB边上的一点，E是在AC边上的一个动点，（与A,C不重合），DFDE,DF与射线BC相交于点F. (1)、当点D是边AB的中点时，求证：DEDF

DEADm，求的值

DFDBAD1，设AEx,BFy,求y关于x的函数关系式，并写出定义域 （3）、当ACBC6,DB2(2)、当

精彩文档 ECCFFEADBADB实用标准文案

【 练习4】]如图，在ABC中，C90，AC6，tanB3，D是BC边的中点，E为AB边上4的一个动点，作DEF90，EF交射线BC于点F．设BEx，BED的面积为y．

（1）求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（2）如果以B、E、F为顶点的三角形与BED相似，求BED的面积.

【 练习5】、

如图,在梯形ABCD中，ABCD, AB2,AD4,tanC4，ADCDAB900,P是腰BC3上一个动点(不含点B、C),作PQAP交CD于点Q.(图1) (1)求BC的长与梯形ABCD的面积； (2)当PQDQ时,求BP的长；(图2)

(3)设BPx,CQy,试求y关于x的函数解析式,并写出定义域.

A B P P A B

D C D Q Q

（图1） （图2）

C

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