著名不等式

内蒙古赤峰市翁牛特旗乌丹一中 熊明军

新课程改革推出了知识模块，把高等数学中一些领域的知识进行了简化，下放到高中。选修4-5中给出了许多著名不等式的特例，下面对课本上的这些不等式及其一般形式做一下介绍。

绝对值的三角不等式（ 定理：若

为实数，则

，当且仅当

时，等号成立。

）：

绝对值的三角不等式一般形式：

，简记为

柯西不等式（

定理：（向量形式）设 当 当立。

定理：（代数形式）设且仅当

柯西不等式的一般形式（ 定理：设

为实数，则

）

时，等号成立。

均为实数，则

或

为零向量时，规定零向量与任何向量平行，即当及

为非零向量时，等号成立

及

共线

存在实数

为平面上的两个向量，则

）

。

。

，使。

时，上式依然成

， 当

，

当且仅当

闵可夫斯基不等式（ 定理：设

）

时，等号成立（当某时，认为）。

均为实数，则

， 当且仅当存在非负实数

（不同时为

0），使时，等号成立。

闵可夫斯基不等式的一般形式： 定理：设

是两组正数，

，则

或

，

当且仅当

排序不等式（ 定理：设

）

时，等号成立。

为两组实数

的任一排列，则有

。

为

当且仅当

排序原理可简记作：反序和

切比晓夫不等式（

）：

乱序和

顺序和。

或

时，等号成立。

定理：设 ①如果

或

，则有

为任意两组实数，

②如果

或

，则有

①②两式，当且仅当

平均值不等式（

）

或

时，等号成立。

定理：设为个正数，则，当且仅当

时，等号成立。

当

时，，当且仅当时，等号成立。

加权平均不等式（ 定理：设那么

杨格不等式（

）

为正数，

。

都是正有理数，并且，

）：

定理：设为有理数，满足条件（互称为共

轭指标），

为正数，则。

当

时，，此时的杨格不等式就是熟知的基本不等式。

贝努利不等式（ 定理：设

）：

，且，为大于1的自然数，则。

贝努利不等式的一般形式： （1）设

（2）设

，则①当，①②当且仅当

时，有

时等号，成立。

；②当

或

时，有

，且同号，则

；