一次函数专题
一、定义:形如ykxbk,b为常数k0的函数叫一次函数。特别地当b0时叫正比例函数。 理解一次函数概念应注意下面三点 ⑴、解析式中自变量x的次数是1次 ⑵、比例系数k≠0
(3)、自变量的取值范围是全体实数(实际问题考虑实际意义) 例:已知 y(m2)xm23n3,则当m、n 满足什么条件时,①y是x一次函数。 ②y是x正比例函数。
二、
求函数关系式。
例 等腰三角形的周长为30,写出底边长y与腰长x之间的函数关系式,并写出自变量的取值范围。
例 (广东)某自来水公司为了鼓励居民节约用水,采取了按月用水量分段收费办法,如每月用水量不超过15
吨,每吨2元,如超过15吨,则超过的部分每吨3元。 1、写出某户居民应交水费y(元)与用水量x(吨)的函数关系 (2)若某户该月用水21吨,则应交水费多少元?
三、
待定系数法求关系式
例.(点在直线上问题)下列给出的四个点中,不在直线y=2x-3上的是 ( ) A.(1, -1) B.(0, -3) C.(2, 1) D.(-1,5) 例:(两点确定直线方程问题)一次函数经过A(1,2) B(2,3)两点求函数关系式。
已知y-3与x成正比例,且x=2时,y=7.(1)写出y与x之间的函数关系式;(2)当x=4时,求y的值; (3)当y=4时,求x的值
例题:正比例函数y1k1x与一次函数y2k2xb的图像如图所示,它们的交点P的坐标为(4,3),点Q在
y轴的负半轴上,且OP=OQ,求这两个函数的解析式。
y
P O x Q 四、一次函数y=kx+b的图象的画法
根据几何知识:经过两点能画出一条直线,并且只能画出一条直线,即两点确定一条直线,所以画一次函数的图象时,只要先描出两点,再连成直线即可. 再连成直线即可.
一般情况下:是先选取它与两坐标轴的交点:(0,b),(bk,0).即横坐标或纵坐标为0的点.
1、同一平面直角坐标系中画出下列每组函数的图象. Y (1)要画y=2x的图象,可以取两点 (0, )和(1, ) 4 3 (2)要画y=x-2的图象,可以取两点 (0, )和(1, )
2 (3)要画y=2x+3的图象,可以取两点 (0, )和(-1, ) 1 解:如右图所示:
-4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 X -1 -2
-3 五、图象与性质
-4 ykxb与y轴交点坐标 与x轴交点坐标 ykxb k0 k0 b0 b0 b>0 b<0 图象 象限 一、二、三 一、三、四 一、二、四 二、三、四 性质 y随x的增大而增大 y随x的增大而减少 练习
1若m<0, n>0, 则一次函数y=mx+n的图象不经过 ( )
A.第一象限 B. 第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.当a0,b0时,函数y=ax+b与ybxa在同一坐标系中的图象大致是( )
3.函数y=(k-1)x,y随x增大而减小,则k的范围是 ( )
A.k0 B.k1 C.k1 D.k1
4 P1(x1,y1),P2(x2,y2)是正比例函数y= -x图象上的两点,则下列判断正确的是( ) A.y1>y2
B.y1y2D.当x1六、交点坐标例:求函数y2x3与函数y3x4的交点坐标。
例:函数yx4与函数y3x3图象相交于点P,与x轴分别交于点A,点B。 1、求P的坐标。 2、求PAB的面积。
3、根据图象回答但x取何值得时候yx4的函数值大于y3x3的 函数值
七、一次函数图象信息题
1、假定甲乙两人在一次赛跑中,路程S与时间t的关系如图6-6-1所示,那么可以知道: (1)这是一次______米赛跑; (2)甲、乙两人中先到达终点的是______; (3)乙在这次赛跑中的速度为______米/秒.
2、如图6-6-2,l
1反映了甲离开A的时间与离A地的距离的关系,l2反映了乙离开A地的时间与离A地的距离之间的关系,根据图象填空:
(1)当时间为0小时时,甲离A地 千米,乙离A地 千米;
(2)当时间为 时,甲、乙两人离A地距离相等;
(3)l1对应的函数表达式为 ,l2对应的函数表达式为 ;
3、深圳向北京打长途电话,设通话时间x(分)需付电话费y(元),通话3分以内话费为3.6元.请你根据图6-5-5所示的图象,找出通话5分钟需付电话费_________元.
4、某地区的电力资源丰富,并且得到了较好的开发.该地区一家供电公司为了鼓励居民用电,采用分段计费的
方法来计算电费.月用电量x(度)与相应电费y(元)之间的函数图像如图6-5-4所示. (1)月用电量为100度时,应交电费 元; (2)当x≥100时,求y与x的函数关系式; y(元)
110 60
O 100 200 5、旅客乘车按规定可携带一定重量的行李,如果超过规定则需购行李票,设行李
x(度)
费(元)是行李重量(千克)的一次函数,其图象如图6-4-4. y/元(1)求y与x之间的函数关系式; (2)旅客最多可免费携带多少千克行李? 10 5 O6090x/千克
6、汽车的油箱中的余油量Q(升)是它行驶的时间t(小时)的一次函数.某天该汽车外
出时,油箱中余油量与行驶时间的变化关系如图6-4-3: (1)根据图象,求油箱中的余油Q与行驶时间t的函数关系,并求出t的取值范围. (2)从开始算起,如果汽车每小时行驶40千米,当油箱中余油 20升时,该汽车行驶了多少千米?