等腰三角形“手拉手”模型的拓展

在初中几何中，模型教学的几何直观性有着很强的指导意义，同时，模型教学也是提升数学学科核心素养的一个重要途径.本文将对传统“手拉手”模型作进一步探究. 一、模型及性质

模型如图1，两个等腰三角形ABD和BCE,ABBD,BEBC且

ABDCBE,AE与CD相交于于点F，连接BF.则有:

(1) ABEDBC; (2) AFD; (3) BF平分AFC.

注 两个相似等腰三角形共顶点旋转，我们称之为等腰三角形的“手拉手”，可得上述三个最基本的结论. 二、模型的拓展

例1 如图2 , ACB和DAE均为等边三角形，EC与BD相交于点F，连结AF. 求证: CFAFBF;DFAFEF.

解析 ACB和DAE均为等边三角形.由手拉手基本结论(1)，可知CAEBAD，易得ECAABD.

在CF上截取CG，使CGBF.只需要证明GFAF即可.

由于BCA为等边三角形，可得ACAB，于是可证ACGABF. 得AGAF, CAGFAB. QCAGGAB60， FABGAB60， 即GAF60，

AGF为等边三角形，故FGAF. CFCGFGBFAF ,

1

同理可得DFAFEF.

例2 如图3 , ACB和DAE均为等腰直角三角形，CABDAE90,EC与

BD相交于点F，连结AF.

求证: CF DF2AFBF;

2AFEF.

解析 ACB和DAE均为等腰直角三角形，由手拉手基本结论(1)，可知CAEDAB,易得ECAABD.

在CF上截取CG，使CGBF.只需要证明GF2AF即可.

由于BCA为等腰直角三角形，可得ACAB，于是可证ACGABF. 得AGAF, CAGFAB. QCAGGAB90， FABGAB90， 即GAF90,

AGF为等腰直角三角形， FG2AF.

CFCGFGBF2AF, 同理可得DF2AFEF.

CABDAE,EC与BD相 例3 如图4, ACB和DAE均为等腰三角形，

交于点F，连结AF. 求证: CF2AFsin DF2AFsin2BF;

2 解析 ACB和DAE均为等腰三角

形.由手拉手基本结论(1)，可知CAEDAB，易得ECAABD.

EF.

2

在CF上截取CG，使CGBF.只需要证明GF2AFsin2 作AHCE于点H，由于BCA为等腰三角形，可得ACAB, 于是可证ACGABF

AGAF,CAGFAB. QCAGGAB, FABGAB, 即GAF,

AGF为等腰三角形且顶角为. 在RtAGH中， 解得GHAGsin 则GF2AFsin CF2AFsin即可.

2,

AFsin2，

22BF.

同理可得DF2AFsin2EF.

综合上述分析，我们在原有基本模型的基础上进行了拓展发散，从一般到特殊，展示了探究知识生长的过程，“手拉手”模型的基本结论便是拓展的生长源，然后通过截长法，巧妙的实现线段之间的转化.当然也可以采用补短法实现转化，还可以通过再构造等腰三角形达成目标.无论哪一种解题策略，都是在基本模型结论的基础上的一种探究和延伸.因此，在数学教学中，我们要更好地重视模型的指导意义，充分展示几何元素之间位置和数量的关系，从而提高我们的数学思维能力.

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