考点三：对数函数例1、求函数的定义域和值域，并确定函数的单调区间．
例2、已知函数f(x)=lg(ax2＋2x＋1)（a∈R）.
（1）若函数f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围； （2）若函数f(x)的值域为R，求实数a的取值范围.
例3、已知
例4、已知f(x)=loga(ax－1)（a＞0，a≠1）. （1）求f(x)的定义域； （2）讨论f(x)的单调性；
的最大值和最小值以及相应的x值.
（3）求函数y=f(2x)与y=f1(x)的图象交点的横坐标.
例1 解：由－x2＋2x＋3＞0 ，得 x2－2x－3＜0，∴－1＜x＜3， 定义域为 (－1，3)； 又令 g(x)=－x2＋2x＋3=－(x－1)2＋4，∴当 x∈(－1，3) 时， 0＜g(x)≤4.
－
∴ f(x)≥=－2 ，即函数 f(x) 的值域为[－2，＋∞）；
∵ g(x)=－(x－1)2＋4 的对称轴为 x=1.
∴当－1＜x≤1 时， g(x) 为增函数，∴
当 1≤x＜3 时， g(x)为减函数，∴ f(x)为增函数．
为减函数.
即 f(x) 在（－1，1] 上为减函数；在 [1，3 ）上为增函数．
例2、分析：令g(x)=ax2＋2x＋1，由f(x)的定义域为R，故g(x)＞0对任意x∈R均成立，问题转化为g(x)＞0恒成立，求a的取值范围问题；若f(x)的值域为R，则g(x)的值域为B必满足B
（0，＋∞），通过对a的讨论即可．
2
解答：（1）令g(x)=ax＋2x＋1，因f(x)的定义域为R，∴ g(x)＞0恒成立．
∴∴函数f(x)的定义域为R时，有a＞1.
（0，＋∞）.
（2）因f(x)的值域为R，设g(x)=ax2＋2x＋1的值域为B，则B
若a＜0，则B=（－∞，1－]（0，＋∞）；
若a=0，则B=R，满足B（0，＋∞）.
若a＞0，则△=4－4a≥0，∴ a≤1.
综上所述，当f(x)的值域为R时，有0≤a≤1.
例3、分析：题中条件给出了后面函数的自变量的取值范围，而根据
对数的运算性质，可将函数数在闭区间上的最值问题来求解.
化成关于log2x的二次函数，再根据二次函
解答：
当t=3时，y有最大值2，此时，由log2x=3，得x=8.
∴当x=2时，y有最小值－.
当x=8时，y有最大值2.
例4、 分析：题设中既含有指数型的函数，也含有对数型的函数，在讨论定义域，讨论单调性时应注意对底数a进行讨论，而（3）中等价于求方程f(2x)=f(x)的解． 解答：（1）ax－1＞0得ax＞1.
∴当a＞1时，函数f(x)的定义域为（0，＋∞）， 当0＜a＜1时，函数f(x)的定义域为（－∞，0）.
（2）令g(x)=ax－1，则当a＞1时，g(x)=ax－1在（0，＋∞）上是增函数. 即对0＜x1＜x2，有0＜g(x1)＜g(x2)， 而y=logax在（0，＋∞）上是增函数， ∴ logag(x1) ＜logag(x2)，即f(x1)＜f(x2)． ∴ f(x)= loga(a－1)在（0，＋∞）上是增函数； 当0＜a＜1时，g(x)=ax－1在(－∞,0)上是减函数. 即对x1＜x2＜0，有g(x1)＞g(x2)＞0． 而y=logax在（0，＋∞）上是减函数， ∴ logag(x1) ＜logag(x2)，即f(x1)＜f(x2)． ∴ f(x)=loga(ax－1)在（－∞，0）上是增函数. 综上所述，f(x)在定义域上是增函数．
（3）∵ f(2x)= loga(a－1)，令y=f(x)= loga(a－1)， 则ax－1=ay，∴ ax=ay＋1，∴ x= loga (ay＋1)(y∈R)．
2x
x
x
－1
∴ f－1(x)= loga (ax＋1)（x∈R）．
由f(2x)=f－1(x)，得loga(a2x－1)= loga(ax＋1)． ∴ a2x－1= ax＋1，即(ax)2－ax－2=0. ∴ ax=2或ax=－1（舍）． ∴ x=loga2.
即y=f(2x)与y= f－1(x)的图象交点的横坐标为x=loga2．
变式训练：
一、选择题
1、当a>1时，在同一坐标系中，函数y=a－x与y=logax的图象是（ ）
A． B．C． D．
2、将y=2x的图象（ ），再作关于直线y=x对称的图象，可得函数y=log2(x＋1)和图象．
A．先向左平行移动1个单位 B．先向右平行移动1个单位 C．先向上平行移动1个单位 D．先向下平行移动1个单位
3、函数的定义域是（ ）
A．（1，＋∞） B．（2，＋∞） C．（－∞，2） D．（1，2] 4、函数y=lg(x－1)＋3的反函数f－1(x)=（ ）
A．10x＋3＋1 B．10x－3－1 C．10x＋3－1 D．10x－3＋1
5、函数的递增区间是（ ）
A．（－∞，1） B．（2，＋∞） C．（－∞，） D．（，＋∞）
6、已知f(x)=|logax|，其中0A． B．C． D．
7、是（ ）
A．奇函数而非偶函数 B．偶函数而非奇函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既非奇函数也非偶函数 8、已知01，且ab>1，则下列不等式中正确的是（ ）A． B．
C． D．
9、函数f(x)的图象如图所示，则y=log0.2f(x)的图象示意图为（ ）
A． B．C． D．
10、关于x的方程（a＞0，a≠1），则（ ）
A．仅当a＞1时有唯一解 B．仅当0＜a＜1时有唯一解 C．必有唯一解 D．必无解 二、填空题
11、函数的单调递增区间是___________.
12、函数___________.
在2≤x≤4范围内的最大值和最小值分别是
13、若关于x的方程至少有一个实数根，则a的取值范围是___________.
14、已知围.
（a＞0，b＞0），求使f(x)＜0的x的取值范
15、设函数f(x)=x2－x＋b，已知log2f(a)=2，且f(log2a)=b(a>0且a≠1)， (1)求a，b的值；
(2)试在f(log2x)>f(1)且log2f(x)16、已知函数f(x)=loga(x－3a)（a＞0且a≠1），当点P（x，y）是函数y=f(x)图象上的点时，点Q（x－2a，－y）是y=g(x)图象上的点.（1）写出y=g(x)的解析式；
（2）若当x∈[a＋2，a＋3]时，恒有|f(x)－g(x)|≤1，试求a的取值范围. 答案及提示：1-10 DDDDA BBBCC
1、当a>1时，y=logax是单调递增函数，知D正确. ∴应选D.
是单调递减函数，对照图象可
2、解法1：与函数y=log2(x＋1)的图象关于直线y=x对称的曲线是反函数y=2x－1的图象，为了得到它，只需将y=2x的图象向下平移1个单位.
解法2：在同一坐标系内分别作出y=2x与y=log2(x＋1)的图象，直接观察，即可得D.
3、由≥0，得 05、应注意定义域为（－∞，1）∪（2，＋∞），答案选A.6、不妨取，可得选项B正确．
7、由f(－x)=f(x)知f(x)为偶函数，答案为B.
8、由ab>1，知，故且，故答案选B.
10、当a＞1时，0＜＜1，当0＜a＜1时，＞1，
作出y=ax与y=的图象知，两图象必有一个交点.
11、答案：（－∞，－6）
提示： x2＋4x－12＞0 ，则 x＞2 或 x＜－6. 当 x＜－6 时， g(x)=x2＋4x－12 是减函数，
∴在（－∞，－6）上是增函数 .
12、答案：11，7 ：∵ 2≤x≤4，∴.
则函数，
∴当时，y最大为11； 当时，y最小为7.
13、答案：（－∞，] 提示：原方程等价于
由③得. ∴当x＞0时，9a≤，即a≤.
又∵ x≠3，∴ a≠2，但a=2时，有x=6或x=3（舍）.∴ a≤.
14、解：要使f(x)＜0，即.
当a＞b＞0时，有x＞；
当a=b＞0时，有x∈R；
当0＜a＜b时，有x＜.
15、解：(1)∵f(log2a)=b,f(x)=x2－x＋b,
∴(log22a)－log2a＋b=b，解得a=1(舍去)，a=2， 又log2f(a)=2，
∴log2(a2－a＋b)=2，将a=2代入， 有log2(2＋b)=2, ∴b=2；
(2)由log2f(x)由f(log22x)>f(1)得(log2x)－log2x＋2>0， 解得02，∴x∈(0，1)．
16、解：（1）设Q（x′，y′），则， ∵点P（x，y）在y=f(x)的图象上，
∴．
（2）当x∈[a＋2，a＋3]时，有x－3a＞0且＞0成立.
而x－3a≥a＋2－3a=2－2a＞0，
∴ 0＜a＜1，且恒成立.
∴ 0＜a＜1.
由 |f(x)－g(x)|≤1，即
∴ r(x)=x2－4ax＋3a2在[a＋2，a＋3]上是增函数. ∴ h(x)=loga(x2－4ax＋3a2)在[a＋2，a＋3]上是减函数. ∴当x=a＋2时，h(x)max=h(a＋2)=loga(4－4a)， 当x=a＋3时，h(x)min=h(a＋3)=loga(9－6a).
